গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করা

৫ম শ্রেণিতে গণিত পাঠ।

"আপনি যদি সাঁতার শিখতে চান তবে সাহসের সাথে জলে প্রবেশ করুন, এবং আপনি যদি সমস্যাগুলি সমাধান করতে শিখতে চান তবে সেগুলি সমাধান করুন।".
ডি পলিয়া

পাঠের লক্ষ্য ও উদ্দেশ্য:

একটি গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধান করার ক্ষমতা বিকাশ;

সৃজনশীল ক্ষমতার বিকাশ, জ্ঞানীয় আগ্রহ;

যৌক্তিক চিন্তার বিকাশ;

বিষয়ের প্রতি ভালবাসা লালন করা;

গাণিতিক চিন্তাধারার সংস্কৃতি গড়ে তোলা।

সরঞ্জাম: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 নম্বর সহ সংকেত কার্ড।

ক্লাস চলাকালীন

I. সাংগঠনিক মুহূর্ত (1 মিনিট.)

পাঠটি একটি গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের জন্য উত্সর্গীকৃত। আজ আমরা বিভিন্ন ধরনের সমস্যার সমাধান করব, কিন্তু সমীকরণের সাহায্য ছাড়াই সবগুলো সমাধান হবে।

২. ঐতিহাসিক রেফারেন্স (1 মিনিট.)

ঐতিহাসিকভাবে, দীর্ঘকাল ধরে, গাণিতিক জ্ঞান তাদের সমাধান সহ ব্যবহারিক সমস্যার একটি তালিকা আকারে প্রজন্ম থেকে প্রজন্মে প্রেরণ করা হয়েছিল। প্রাচীনকালে, যে কেউ জানত যে কীভাবে অনুশীলনে সম্মুখীন হওয়া নির্দিষ্ট ধরণের সমস্যার সমাধান করতে হয় তাকে প্রশিক্ষিত বলে মনে করা হত।

III. গা গরম করা (মৌখিকভাবে সমস্যা সমাধান করা - 6 মিনিট।)
ক) কার্ডে সমস্যা।
প্রতিটি শিক্ষার্থীকে একটি সমস্যা সহ একটি কার্ড দেওয়া হয়, যা সে মৌখিকভাবে সমাধান করে এবং একটি উত্তর দেয়। কর্ম 3 - 1 = 2 এর জন্য সমস্ত কাজ।

(শিক্ষার্থীরা সমস্যাগুলি সঠিকভাবে সমাধান করে, এবং কিছু নয়। সমস্ত মৌখিকভাবে। তারা কার্ডগুলি উত্থাপন করে এবং শিক্ষক দেখেন কে সমস্যাটি সমাধান করেছে; কার্ডগুলিতে 2 নম্বর থাকা উচিত।)

খ) কবিতায় সমস্যা এবং যৌক্তিক সমস্যা। (শিক্ষক উচ্চস্বরে সমস্যাটি পড়েন, শিক্ষার্থীরা সঠিক উত্তর দিয়ে কার্ডটি উত্থাপন করে।

হেজহগ হাঁসের বাচ্চা দিয়েছে
ছেলেদের মধ্যে কোনটি উত্তর দেবে?
আটটি চামড়ার বুট
কয়টি হাঁসের বাচ্চা ছিল?
(চার.)

দুটি চটকদার শূকর
তারা এত ঠান্ডা ছিল, তারা কাঁপছিল।
গণনা করুন এবং বলুন:
আমি কত বুট তাদের কিনতে হবে?
(আট.)

একটা পাইন বনে ঢুকলাম
এবং আমি একটি মাছি agaric দেখেছি
দুটি মধু মাশরুম,
আরো দুইজন।
তিনটি তেলের ক্যান,
দুই লাইন...
কার উত্তর প্রস্তুত আছে:
আমি কত মাশরুম খুঁজে পেয়েছি?
(দশ.)

4. মুরগি এবং কুকুর উঠানে হাঁটছিল। ছেলেটি তাদের থাবা গুনেছে। দশটা হয়ে গেল। কয়টা মুরগি আর কয়টা কুকুর থাকতে পারে? (দুটি কুকুর এবং একটি মুরগি, একটি কুকুর এবং তিনটি মুরগি.)

5. ডাক্তারের প্রেসক্রিপশন অনুযায়ী, আমরা ফার্মেসিতে 10টি ট্যাবলেট কিনেছি। ডাক্তার আমাকে প্রতিদিন 3টি ট্যাবলেট খেতে নির্দেশ দিয়েছেন। কত দিন চলবে এই ওষুধ? (পূর্ণ দিন।)

6. ভাইয়ের বয়স 7 বছর, এবং বোনের বয়স 5। ভাইয়ের বয়স 10 বছর হলে বোনের বয়স কত হবে?

7. প্রদত্ত সংখ্যা: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9। কোনটি বড়: তাদের গুণ বা যোগফল?

8. বেড়া তৈরি করার সময়, ছুতাররা একটি সরল রেখায় 5টি স্তম্ভ স্থাপন করেছিল। পোস্টের মধ্যে দূরত্ব 2 মিটার বেড়ার দৈর্ঘ্য কত?

IV সমস্যা সমাধান

(শিশুদের জন্য কাজগুলি কার্ডে দেওয়া হয় - 15 মিনিট। শিশুরা বোর্ডে সমস্যা সমাধান করে)
টাস্ক a) এবং b) যোগ এবং বিয়োগের ক্রিয়াকলাপের সাথে "বেশি... বেশি" এবং "দ্বারা... কম" সম্পর্কের মধ্যে সংযোগের পুনরাবৃত্তি করার লক্ষ্যে।

ক) একজন টার্নারের শিক্ষানবিস প্রতি শিফটে 120টি অংশ পরিণত করে এবং টার্নার আরও 36 অংশে পরিণত হয়। টার্নার এবং তার শিক্ষানবিশ একসাথে কয়টি অংশে পরিণত হয়েছিল?

খ) প্রথম দলটি শিফটের সময় 52টি ডিভাইস সংগ্রহ করেছিল, দ্বিতীয়টি - প্রথমটির চেয়ে 9টি কম ডিভাইস এবং তৃতীয়টি - শিফটের সময় তিনটি দল কতটি ডিভাইস সংগ্রহ করেছিল?

সমস্যা c ব্যবহার করে), শিক্ষার্থীদের "বিপরীতভাবে" সমস্যার সমাধান দেখানো যেতে পারে।

গ) তিনটি ক্লাসে 44 জন মেয়ে আছে - এটি ছেলেদের তুলনায় 8 কম। তিন ক্লাসে কত ছেলে আছে?

সমস্যা ঘ) ছাত্ররা বিভিন্ন সমাধান প্রস্তাব করতে পারে।

ঘ) তিন বোনকে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল: "প্রত্যেক বোনের বয়স কত?" ভেরা উত্তর দিয়েছিলেন যে তিনি এবং নাদিয়া একসাথে 28 বছর বয়সী, নাদিয়া এবং লিউবার একসাথে 23 বছর বয়সী এবং তিনজনেরই বয়স 38 বছর। বোনদের প্রত্যেকের বয়স কত?

টাস্ক e) "আরও ইন..." এবং "কম ইন..." এর মধ্যে সংযোগের পুনরাবৃত্তি করার উদ্দেশ্যে করা হয়েছে।

e) ভাস্যের 46 নম্বর ছিল। এক বছরের মধ্যে, তার সংগ্রহ 230 টি স্ট্যাম্প বেড়েছে। তার সংগ্রহ কত গুণ বেড়েছে?

V. শারীরিক শিক্ষা মিনিট (২ মিনিট.)

এক পায়ে দাঁড়ান
যেন আপনি একজন অবিচল সৈনিক।
আপনার বাম পা বাড়ান।
দেখুন, পড়ে যাবেন না।
এখন বাম দিকে দাঁড়ান,
আপনি যদি একজন সাহসী সৈনিক হন।

VI. প্রাচীন, ঐতিহাসিক সমস্যা। রূপকথার বিষয়বস্তু নিয়ে সমস্যা (10 মিনিট)

সমস্যা ঙ) দুটি সংখ্যা তাদের যোগফল এবং পার্থক্য দ্বারা খুঁজে বের করতে।

ঙ)(এলএন টলস্টয়ের "পাটিগণিত" থেকে)

দুই ব্যক্তির 35টি ভেড়া আছে। একটির অন্যটির চেয়ে 9টি বেশি। প্রতিটি ব্যক্তির কত ভেড়া আছে?

আন্দোলনের টাস্ক।

এবং)(একটি পুরানো সমস্যা।)দুটি ট্রেন একই সময়ে মস্কো থেকে Tver এর উদ্দেশ্যে ছেড়ে গেছে। প্রথমটি প্রতি ঘন্টায় 39 versts গতিতে পাস করেছিল এবং দ্বিতীয়টির চেয়ে দুই ঘন্টা আগে Tver-এ পৌঁছেছিল, যা প্রতি ঘন্টায় 26 versts ভ্রমণ করেছিল। মস্কো থেকে Tver পর্যন্ত কত মাইল?

(একটি সমীকরণ ব্যবহার করে উত্তর পাওয়া সহজ। কিন্তু শিক্ষার্থীদেরকে সমস্যাটির একটি গাণিতিক সমাধান খুঁজতে উৎসাহিত করা হয়।)

1) 26 * 2 = 52 (versts) - দ্বিতীয় ট্রেনটি প্রথম থেকে অনেক মাইল পিছিয়ে ছিল;

2) 39 - 26 = 13 (versts) - এত মাইল দ্বিতীয় ট্রেনটি প্রথম থেকে 1 ঘন্টা পিছিয়ে ছিল;

3) 52: 13 = 4 (h) - প্রথম ট্রেনটি ভ্রমণ করতে কতক্ষণ সময় নিয়েছে;

4) 39 * 4 = 156 (versts) - মস্কো থেকে Tver পর্যন্ত দূরত্ব।

আপনি কিলোমিটারে দূরত্ব খুঁজে পেতে রেফারেন্স বই দেখতে পারেন।

1 verst = 1 কিমি 69 মি.

কাজটি অংশে বিভক্ত।

জ)কিকিমোরার কাজ।মারমান কিকিমোরকে হা-হা করে বিয়ে করার সিদ্ধান্ত নেন। তিনি তার কিকিমোর ঘোমটাতে বেশ কয়েকটি জোঁক রোপণ করেছিলেন, এবং তার কেপে দ্বিগুণ। ছুটির সময়, 15টি জোঁক পড়েছিল এবং কিকিমোরার পর্দায় মাত্র 435টি ছিল?

(সমস্যাটি একটি সমীকরণ ব্যবহার করে সমাধান করার জন্য দেওয়া হয়েছে, তবে আমরা এটি একটি গাণিতিক উপায়ে সমাধান করি)

VII. লাইভ সংখ্যা (আনলোডিং বিরতি - 4 মিনিট।)

শিক্ষক 10 জন শিক্ষার্থীকে বোর্ডে ডাকেন এবং তাদের 1 থেকে 10 পর্যন্ত নম্বর দেন। শিক্ষার্থীরা বিভিন্ন কাজ পায়;

ক) শিক্ষক নম্বরগুলি কল করেন; যাদের নাম দেওয়া হয়েছে তারা এক ধাপ এগিয়ে যান (যেমন: 5, 8, 1, 7);

খ) শুধুমাত্র নামযুক্ত সংখ্যার প্রতিবেশীরা বেরিয়ে আসে (উদাহরণস্বরূপ: সংখ্যা 6, 5 এবং 7 বেরিয়ে আসে);

গ) শিক্ষক উদাহরণ নিয়ে আসেন, এবং শুধুমাত্র যার কাছে এই উদাহরণ বা সমস্যার উত্তর আছে সে বেরিয়ে আসে (উদাহরণস্বরূপ: 2 ´ 4; 160: 80; ইত্যাদি);

ঘ) শিক্ষক বেশ কয়েকটি হাততালি দেন এবং একটি সংখ্যাও দেখান (এক বা দুটি); একজন শিক্ষার্থীকে অবশ্যই বেরিয়ে আসতে হবে যার সংখ্যাটি সমস্ত শোনা এবং দেখা সংখ্যার যোগফল (উদাহরণস্বরূপ: 3টি হাততালি, 5 নম্বর এবং 1 নম্বর);

কোন সংখ্যা 4 চার থেকে বড়?

আমি একটি সংখ্যার কথা ভেবেছিলাম, এটি থেকে 3 বিয়োগ করেছি, আমি 7 পেয়েছি। আমি কোন সংখ্যার কথা ভেবেছিলাম?

আপনি যদি উদ্দিষ্ট সংখ্যার সাথে 2 যোগ করেন, আপনি 8 পাবেন। অভিপ্রেত সংখ্যাটি কী?

আমাদের অবশ্যই কাজগুলি নির্বাচন করার চেষ্টা করতে হবে যাতে উত্তরগুলিতে একই নম্বরগুলি পুনরাবৃত্তি না হয়, যাতে প্রত্যেকে সক্রিয়ভাবে গেমটিতে অংশগ্রহণ করতে পারে।

অষ্টম। পাঠের সারসংক্ষেপ (২ মিনিট.)

- আমরা আজ ক্লাসে কি করলাম?

- পাটিগণিত ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের অর্থ কী?

- আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে সমস্যার সমাধানটি অবশ্যই সমস্যার শর্ত পূরণ করতে হবে।

IX. হোমওয়ার্ক নিয়োগ. গ্রেডিং (২ মিনিট.)

№ 387 (পাটিগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করুন), দুর্বল শিক্ষার্থীদের জন্য। গড় এবং শক্তিশালী ছাত্রদের জন্য, কার্ডে হোমওয়ার্ক অ্যাসাইনমেন্ট দেওয়া হয়।

1. বেকারিতে 645 কেজি কালো এবং সাদা রুটি ছিল। 215 কেজি কালো এবং 287 কেজি সাদা রুটি বিক্রি করার পরে, উভয় ধরণের রুটির সমান পরিমাণ অবশিষ্ট ছিল। বেকারিতে আলাদাভাবে কত কেজি কালো এবং সাদা রুটি ছিল?

ভাই এবং বোন বনে 25টি পোরসিনি মাশরুম খুঁজে পেয়েছেন। ভাই তার বোনের চেয়ে 7 টি বেশি মাশরুম খুঁজে পেয়েছেন। আপনার ভাই কয়টি পোরসিনি মাশরুম খুঁজে পেয়েছেন?

কম্পোটের জন্য, আমরা আপেলের 6 অংশ, নাশপাতির 5 অংশ এবং শব্দের 3 অংশ নিয়েছি। দেখা গেল যে নাশপাতি এবং প্লাম একসাথে 2 কেজি 400 গ্রাম গ্রহণ করা আপেলের ভর নির্ধারণ করুন; সমস্ত ফলের ভর।

সাহিত্য

ভিলেনকিন এন., জোখভ ভি., চেসনোকভ এ।অংক. 5 ম গ্রেড. - এম।, "মেমোসিন", 2002।

শেভকিন এ.ভি.একটি স্কুল গণিত কোর্সে পাঠ্য সমস্যা. - এম.: শিক্ষাগত বিশ্ববিদ্যালয় "সেপ্টেম্বরের প্রথম", 2006।

ভোলিনা ভি।সংখ্যার ছুটি। - এম.: জ্ঞান, 1994।

শব্দ সমস্যা সমাধান করতে শেখা গাণিতিক জ্ঞানের বিকাশে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। শব্দ সমস্যা শিক্ষার্থীদের চিন্তাভাবনা বিকাশের জন্য অনেক সুযোগ প্রদান করে। সমস্যাগুলি সমাধান করতে শেখা মানে শুধুমাত্র কিছু সাধারণ পরিস্থিতিতে সঠিক উত্তর পাওয়ার কৌশল শেখানো নয়, বরং সমাধান খোঁজার জন্য একটি সৃজনশীল পদ্ধতি শেখা, মানসিক ক্রিয়াকলাপে অভিজ্ঞতা অর্জন করা এবং বিভিন্ন ধরণের সমাধানের ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীদের গণিতের ক্ষমতা প্রদর্শন করা। সমস্যার যাইহোক, 5-6 গ্রেডে শব্দ সমস্যা সমাধান করার সময়, একটি সমীকরণ প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। কিন্তু পঞ্চম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের চিন্তাভাবনা এখনও সমীকরণ সমাধানে জড়িত আনুষ্ঠানিক পদ্ধতির জন্য প্রস্তুত নয়। সমস্যা সমাধানের গাণিতিক পদ্ধতির বীজগণিত পদ্ধতির তুলনায় অনেক সুবিধা রয়েছে কারণ প্রতিটি পদক্ষেপের ফলাফল স্পষ্ট এবং আরও নির্দিষ্ট, এবং পঞ্চম-গ্রেডারের অভিজ্ঞতার বাইরে যায় না। শিক্ষার্থীরা সমীকরণ ব্যবহার করার চেয়ে ভালো এবং দ্রুত ক্রিয়া ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করে। বাচ্চাদের চিন্তাভাবনা কংক্রিট, এবং এটি অবশ্যই নির্দিষ্ট বস্তু এবং পরিমাণের উপর বিকশিত হতে হবে, তারপর ধীরে ধীরে বিমূর্ত চিত্রগুলির সাথে অপারেটিংয়ে যেতে হবে।

টাস্কে কাজ করার সাথে শর্তের পাঠ্যটি সাবধানে পড়া, প্রতিটি শব্দের অর্থ বোঝা জড়িত। আমি সমস্যাগুলির উদাহরণ দেব যা সহজে এবং সহজভাবে পাটিগণিত ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।

কার্যক্রম 1.জ্যাম তৈরি করতে, তিন ভাগ চিনি থেকে দুই ভাগ রাস্পবেরি নিন। 2 কেজি 600 গ্রাম রাস্পবেরির জন্য আপনাকে কত কিলোগ্রাম চিনি নিতে হবে?

"অংশগুলিতে" একটি সমস্যা সমাধান করার সময়, আপনাকে অবশ্যই সমস্যার শর্তগুলি কল্পনা করতে শিখতে হবে, যেমন অঙ্কন উপর নির্ভর করা ভাল।

1. 2600:2=1300 (g) - জ্যামের এক অংশের জন্য দায়ী;
2. 1300*3= 3900 (g) - আপনাকে চিনি নিতে হবে।

টাস্ক 2।প্রথম শেলফে দ্বিতীয়টির চেয়ে 3 গুণ বেশি বই ছিল। দুটি শেলফে একসঙ্গে 120টি বই ছিল। প্রতিটি শেলফে কত বই ছিল?

1) 1+3=4 (অংশ) - সমস্ত বইয়ের হিসাব;

2) 120:4=30 (বই) - একটি অংশের জন্য হিসাব (দ্বিতীয় শেলফে বই);

3) 30*3=90 (বই) - প্রথম শেলফে দাঁড়িয়ে।

টাস্ক 3।খাঁচায় বসে আছে তিতির আর খরগোশ। মোট 27টি মাথা এবং 74টি পা রয়েছে। তিতির সংখ্যা এবং খাঁচায় খরগোশের সংখ্যা খুঁজে বের করুন।

আসুন কল্পনা করা যাক যে খাঁচার ঢাকনায় আমরা একটি গাজর রাখি যেখানে তিতির এবং খরগোশ বসে আছে। তারপরে সমস্ত খরগোশ তাদের পিছনের পায়ে দাঁড়াবে এটি পৌঁছানোর জন্য। তারপর:

1. 27*2=54 (পা) - মেঝেতে দাঁড়াবে;
2. 74-54=20 (পা) - শীর্ষে থাকবে;
3. 20:2=10 (খরগোশ);
4. 27-10=17 (তিতির)।

টাস্ক 4।আমাদের ক্লাসে 30 জন ছাত্র আছে। 23 জন যাদুঘরে ভ্রমণে গিয়েছিলেন, এবং 21 জন সিনেমায় গিয়েছিলেন, এবং 5 জন লোক ভ্রমণ বা সিনেমায় যাননি। ট্যুর এবং সিনেমা উভয়েই কতজন গিয়েছিলেন?

"ইউলেরিয়ান সার্কেল" শর্ত বিশ্লেষণ করতে এবং একটি সমাধান পরিকল্পনা নির্বাচন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

1. 30-5=25 (ব্যক্তি) - হয় সিনেমায় বা ভ্রমণে গিয়েছিল,
2. 25-23=2 (ব্যক্তি) - শুধুমাত্র সিনেমায় গিয়েছিলেন;
3. 21-2=19 (ব্যক্তি) - সিনেমায় গিয়েছিলেন এবং একটি ভ্রমণে।

টাস্ক 5।তিনটি হাঁসের বাচ্চা এবং চারটি হাঁসের বাচ্চার ওজন 2 কেজি 500 গ্রাম এবং চারটি হাঁসের বাচ্চা এবং তিনটি গসলিং 2 কেজি 400 গ্রাম। এক গসলিং ওজন কত?

1. 2500+2400=2900 (g) - সাতটি হাঁসের বাচ্চা এবং সাতটি গসলিংয়ের ওজন;
2. 4900:7=700 (g) - একটি হাঁসের বাচ্চা এবং একটি গসলিং এর ওজন;
3. 700*3=2100 (g) - 3টি হাঁসের বাচ্চা এবং 3টি গসলিংয়ের ওজন;
4. 2500-2100=400 (g) – শুঁয়োপোকার ওজন।

টাস্ক 6।আমরা কিন্ডারগার্টেনের জন্য 20টি পিরামিড কিনেছি: বড় এবং ছোট - 7 এবং 5টি রিং। সমস্ত পিরামিডের 128টি রিং রয়েছে। কয়টি বড় পিরামিড ছিল?

আসুন কল্পনা করি যে আমরা সমস্ত বড় পিরামিড থেকে দুটি রিং সরিয়েছি। তারপর:

1) 20*5=100 (রিং) - বাম;

2) 128-100-28 (রিং) - আমরা সরিয়েছি;

3) 28:2=14 (বড় পিরামিড)।

টাস্ক 7। 20 কেজি ওজনের একটি তরমুজে 99% জল থাকে। যখন এটি একটু শুকিয়ে যায়, তখন এর জলের পরিমাণ 98% কমে যায়। তরমুজের ভর নির্ধারণ করুন।

সুবিধার জন্য, সমাধানটি আয়তক্ষেত্রগুলির একটি চিত্রের সাথে থাকবে।

99% জল	1% শুষ্ক পদার্থ
98% জল	2% শুষ্ক পদার্থ

এই ক্ষেত্রে, "শুষ্ক পদার্থ" এর আয়তক্ষেত্রগুলি সমান আঁকতে পরামর্শ দেওয়া হয়, কারণ তরমুজে "শুষ্ক পদার্থ" এর ভর অপরিবর্তিত থাকে।

1) 20:100=0.2 (কেজি) - "শুষ্ক পদার্থ" এর ভর;

2) 0.2:2=0.1 (কেজি) - শুকনো তরমুজের 1% জন্য দায়ী;

3) 0.1*100=10 (কেজি) - তরমুজের ভর।

টাস্ক 8।অতিথিরা জিজ্ঞাসা করলেন: তিন বোনের প্রত্যেকের বয়স কত? ভেরা উত্তর দিয়েছিলেন যে তিনি এবং নাদিয়া একসাথে 28 বছর বয়সী, নাদিয়া এবং লিউবার একসাথে 23 বছর বয়সী এবং তিনজনেরই বয়স 38 বছর। বোনদের প্রত্যেকের বয়স কত?

1. 38-28=10 (বছর) - লিউবা;
2. 23-10=13 (বছর) - নাদ্যা;
3. 28-13=15 (বছর বয়সী) - ভেরা।

শব্দ সমস্যা সমাধানের গাণিতিক পদ্ধতি শিশুকে সচেতনভাবে, যৌক্তিকভাবে সঠিকভাবে কাজ করতে শেখায়, কারণ এইভাবে সমাধান করার সময়, "কেন" প্রশ্নের প্রতি মনোযোগ বৃদ্ধি পায় এবং প্রচুর বিকাশের সম্ভাবনা রয়েছে। এটি শিক্ষার্থীদের বিকাশে অবদান রাখে, সমস্যা সমাধানে তাদের আগ্রহ তৈরি করে এবং নিজেই গণিতের বিজ্ঞানে।

শেখাকে সম্ভবপর, উত্তেজনাপূর্ণ এবং শিক্ষামূলক করার জন্য, পাঠ্য সমস্যাগুলি বেছে নেওয়ার সময় আপনাকে খুব সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে, সেগুলি সমাধান করার বিভিন্ন উপায় বিবেচনা করতে হবে, সেরাগুলি বেছে নিতে হবে এবং যৌক্তিক চিন্তাভাবনা বিকাশ করতে হবে, যা ভবিষ্যতে জ্যামিতিক সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় প্রয়োজনীয়।

শিক্ষার্থীরা সমস্যা সমাধানের মাধ্যমেই সমাধান করতে শিখতে পারে। "আপনি যদি সাঁতার শিখতে চান তবে সাহসের সাথে জলে প্রবেশ করুন, এবং আপনি যদি সমস্যাগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শিখতে চান তবে সেগুলি সমাধান করুন," ডি. পলিয়া "গাণিতিক আবিষ্কার" বইতে লিখেছেন।

পাটিগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের সাধারণ নোট।

কর্মের ফলাফলের উপর ভিত্তি করে অজানা খোঁজার সমস্যা।

আনুপাতিক বিভাজন সমস্যা।

শতাংশ এবং অংশ জড়িত সমস্যা.

সমস্যাগুলি বিপরীতভাবে সমাধান করা হয়েছে।

1. পাটিগণিত পদ্ধতি প্রাথমিক বিদ্যালয়ে শব্দ সমস্যা সমাধানের প্রধান পদ্ধতি। এটি মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের মধ্যম স্তরেও এর প্রয়োগ খুঁজে পায়। এই পদ্ধতিটি আপনাকে একটি টাস্কে কাজ করার প্রতিটি পর্যায়ের গুরুত্ব এবং তাত্পর্যকে আরও ভালভাবে বুঝতে এবং উপলব্ধি করতে দেয়।

কিছু ক্ষেত্রে, গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধান করা অন্যান্য পদ্ধতি ব্যবহার করার চেয়ে অনেক সহজ।

এর সরলতা এবং অ্যাক্সেসযোগ্যতার সাথে চিত্তাকর্ষক করার সময়, গাণিতিক পদ্ধতিটি একই সাথে বেশ জটিল, এবং এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের কৌশলগুলি আয়ত্ত করার জন্য গুরুতর এবং শ্রমসাধ্য কাজ প্রয়োজন। বিভিন্ন ধরণের সমস্যা আমাদের সমস্যা বিশ্লেষণ এবং সমাধানের উপায় খুঁজে বের করার জন্য একটি সর্বজনীন দৃষ্টিভঙ্গি গঠনের অনুমতি দেয় না: সমস্যাগুলি, এমনকি একটি গোষ্ঠীতে মিলিত হলেও, তাদের সমাধানের সম্পূর্ণ ভিন্ন উপায় রয়েছে।

2 . টাস্ক অন তাদের পার্থক্য এবং অনুপাত দ্বারা অজানা খুঁজেএর মধ্যে এমন সমস্যা রয়েছে যেখানে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণের দুটি মানের পরিচিত পার্থক্য এবং ভাগফল ব্যবহার করে এই মানগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

বীজগাণিতিক মডেল:

উত্তরটি সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়: এক্স= ak/(k - 1), y = a/(k - 1).

উদাহরণ।দ্রুতগামী ট্রেনের সংরক্ষিত আসনের বগিতে বগির বগির তুলনায় 432 জন বেশি যাত্রী রয়েছে। সংরক্ষিত আসন এবং বগির গাড়িতে পৃথকভাবে কতজন যাত্রী আছে, যদি সংরক্ষিত আসনের গাড়ির তুলনায় বগির গাড়িতে 4 গুণ কম যাত্রী থাকে?

সমাধান।সমস্যার একটি গ্রাফিকাল মডেল চিত্রে উপস্থাপন করা হয়েছে। 4.

ভাত। 4

আমরা কম্পার্টমেন্ট গাড়িতে যাত্রী সংখ্যা 1 অংশ হিসাবে নেব। তারপরে আপনি সংরক্ষিত সিটের গাড়িতে প্রতি যাত্রীর সংখ্যার কত অংশ রয়েছে এবং তারপরে প্রতি 432 জন যাত্রীর কত অংশ রয়েছে তা জানতে পারবেন। এর পরে, আপনি 1 অংশের যাত্রীর সংখ্যা নির্ধারণ করতে পারেন (বগির গাড়িতে অবস্থিত)। সংরক্ষিত আসনের গাড়িতে 4 গুণ বেশি যাত্রী রয়েছে জেনে আমরা তাদের সংখ্যা খুঁজে পেতে পারি।

1  4 = 4 (ঘন্টা) - সংরক্ষিত আসনের গাড়িতে যাত্রীদের জন্য হিসাব;

4 – 1 = 3 (h.) – সংরক্ষিত আসন এবং বগির গাড়িতে যাত্রী সংখ্যার মধ্যে পার্থক্যের জন্য দায়ী;

432: 3 = 144 (p.) - কম্পার্টমেন্ট গাড়িতে;

144  4 = 576 (p.) – সংরক্ষিত আসনের গাড়িতে।

এই সমস্যাটি অন্য উপায়ে সমাধান করে যাচাই করা যেতে পারে, যথা:

1  4 = 4(h);

4 – 1 = 3 (h);

432: 3 = 144 (p।);

144 + 432 = 576 (পৃ.)।

উত্তর: কম্পার্টমেন্ট ক্যারেজে 144 জন যাত্রী এবং সংরক্ষিত সিটের ক্যারেজে 576 জন যাত্রী রয়েছে।

টাস্ক অন দুই বা দুই অবশিষ্টাংশ থেকে অজানা খোঁজা পার্থক্য, এমন সমস্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত করে যেখানে দুটি প্রত্যক্ষ বা বিপরীতভাবে সমানুপাতিক পরিমাণ বিবেচনা করা হয়, যেমন একটি পরিমাণের দুটি মান এবং অন্য পরিমাণের সংশ্লিষ্ট মানের পার্থক্য জানা যায়, এবং এটির মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে পরিমাণ নিজেদের।

বীজগাণিতিক মডেল:

উত্তরগুলি সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়:

উদাহরণ।দুটি ট্রেন একই গতিতে ভ্রমণ করেছে - একটি 837 কিমি, অন্যটি 248 কিমি, এবং প্রথমটি দ্বিতীয়টির চেয়ে 19 ঘন্টা বেশি রাস্তায় ছিল। প্রতিটি ট্রেন কত ঘন্টা ভ্রমণ করেছে?

সমাধান।সমস্যাটির একটি গ্রাফিকাল মডেল চিত্র 5 এ উপস্থাপিত হয়েছে।

ভাত। 5

সমস্যার প্রশ্নের উত্তর দিতে, এই বা সেই ট্রেনটি কত ঘণ্টা পথে ছিল, আপনাকে এটি ভ্রমণের দূরত্ব এবং গতি জানতে হবে। শর্তে দূরত্ব দেওয়া আছে। গতি খুঁজে বের করার জন্য, আপনাকে দূরত্ব এবং সময় জানতে হবে যে সময়ে এই দূরত্বটি কভার করা হয়েছিল। শর্তে বলা হয়েছে যে প্রথম ট্রেনটি 19 ঘন্টা বেশি সময় নিয়েছিল এবং এই সময়ের মধ্যে এটি কত দূরত্ব অতিক্রম করেছিল তা পাওয়া যাবে। তিনি অতিরিক্ত 19 ঘন্টা হাঁটলেন - স্পষ্টতই, এই সময়ে তিনি একটি অতিরিক্ত দূরত্বও কভার করেছিলেন।

837 – 248 = 589 (কিমি) – প্রথম ট্রেনটি এত বেশি কিলোমিটার ভ্রমণ করেছিল;

589: 19 = 31 (কিমি/ঘন্টা) - প্রথম ট্রেনের গতি;

837: 31 = 27 (ঘন্টা) - প্রথম ট্রেনটি তার পথে ছিল;

4) 248: 31 = 8 (ঘন্টা) - দ্বিতীয় ট্রেনটি তার পথে ছিল।

সমস্যাটি সমাধান করার সময় প্রাপ্ত তথ্য এবং সংখ্যার মধ্যে একটি চিঠিপত্র স্থাপন করে সমস্যার সমাধান পরীক্ষা করা যাক।

প্রতিটি ট্রেন কতক্ষণ রাস্তায় ছিল তা খুঁজে বের করার পরে, আমরা খুঁজে পাব যে প্রথম ট্রেনটি দ্বিতীয়টির চেয়ে কত ঘন্টা বেশি রাস্তায় ছিল: 27 – 8 = 19 (ঘন্টা)। এই সংখ্যাটি শর্তের সাথে মিলে যায়। অতএব, সমস্যাটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছিল।

এই সমস্যাটি অন্য উপায়ে সমাধান করে যাচাই করা যেতে পারে। চারটি প্রশ্ন এবং প্রথম তিনটি ক্রিয়া একই থাকে।

4) 27 –19 = 8 (ঘন্টা)।

উত্তর: প্রথম ট্রেনটি যাত্রা করতে 31 ঘন্টা সময় নিয়েছে, দ্বিতীয় ট্রেনটি 8 ঘন্টা সময় নিয়েছে।

জোড়ায় নেওয়া এই অজানাগুলির তিনটি যোগফল থেকে তিনটি অজানা খুঁজে পেতে সমস্যা:

বীজগাণিতিক মডেল:

সূত্র ব্যবহার করে উত্তর পাওয়া যায়:

x =(ক -খ + গ)/2, y = (a +খ – গ)/2, z = (খ + সঙ্গে -ক)/ 2.

উদাহরণ। 116 জন ছাত্র ইংরেজি এবং জার্মান অধ্যয়ন করে, 46 জন ছাত্র জার্মান এবং স্প্যানিশ অধ্যয়ন করে এবং 90 জন ছাত্র ইংরেজি এবং স্প্যানিশ অধ্যয়ন করে। কতজন শিক্ষার্থী ইংরেজি, জার্মান এবং স্প্যানিশ আলাদাভাবে অধ্যয়ন করে যদি এটি জানা যায় যে প্রতিটি শিক্ষার্থী শুধুমাত্র একটি ভাষা অধ্যয়ন করে?

সমাধান।সমস্যার একটি গ্রাফিকাল মডেল চিত্র 6 এ উপস্থাপিত হয়েছে।

কতজন শিক্ষার্থী প্রতিটি ভাষা অধ্যয়ন করে?

সমস্যার গ্রাফিকাল মডেল দেখায়: যদি আমরা শর্তে প্রদত্ত স্কুলছাত্রের সংখ্যা যোগ করি (116 + 90 + 46), আমরা ইংরেজি, জার্মান এবং স্প্যানিশ অধ্যয়নরত স্কুলছাত্রের দ্বিগুণ সংখ্যা পাব। এটিকে দুই দ্বারা ভাগ করলে আমরা মোট স্কুলছাত্রীর সংখ্যা খুঁজে পাই। ইংরেজি অধ্যয়নরত স্কুলছাত্রীদের সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য, এই সংখ্যা থেকে জার্মান এবং স্প্যানিশ অধ্যয়নরত স্কুলছাত্রীদের সংখ্যা বিয়োগ করা যথেষ্ট। একইভাবে, আমরা অবশিষ্ট প্রয়োজনীয় সংখ্যাগুলি খুঁজে পাই।

আসুন ব্যাখ্যা সহ কর্মের সিদ্ধান্ত লিখি:

116 + 90 + 46 = 252 (স্কুল শিশু) - ভাষা অধ্যয়নরত স্কুলছাত্রীদের সংখ্যা দ্বিগুণ;

252: 2 = 126 (স্কুল) – ভাষা অধ্যয়ন;

126 – 46 = 80 (স্কুল) – ইংরেজি অধ্যয়ন;

126 – 90 = 36 (স্কুল) – জার্মান অধ্যয়ন;

126 – 116 = 10 (স্কুল) – স্প্যানিশ শিখুন।

এই সমস্যাটি অন্য উপায়ে সমাধান করে যাচাই করা যেতে পারে।

116 – 46 = 70 (স্কুলের বাচ্চারা) – স্প্যানিশের চেয়ে অনেক বেশি স্কুলছাত্রী ইংরেজি পড়ে;

90 + 70 = 160 (স্কুলের বাচ্চা) - ইংরেজি অধ্যয়নরত স্কুলছাত্রের সংখ্যা দ্বিগুণ;

160: 2 = 80 (স্কুল) – ইংরেজি শিখুন;

90 – 80 = 10 (স্কুল) – স্প্যানিশ শিখুন;

116 – 80 = 36 (স্কুল) – জার্মান অধ্যয়ন করুন।

উত্তর: 80 জন স্কুলছাত্র ইংরেজি অধ্যয়ন করে, 36 জন স্কুলছাত্র জার্মান অধ্যয়ন করে এবং 10 জন স্কুলছাত্র স্প্যানিশ অধ্যয়ন করে।

3. আনুপাতিক বিভাজন সমস্যাগুলি এমন সমস্যাগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যেখানে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণের একটি প্রদত্ত মানকে প্রদত্ত সংখ্যার সমানুপাতিক অংশে ভাগ করা প্রয়োজন। তাদের মধ্যে কিছু অংশে, অংশগুলি স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা হয়, অন্যগুলিতে, এই অংশগুলিকে এই পরিমাণের মানগুলির একটিকে একটি অংশ হিসাবে গ্রহণ করে এবং এর অন্যান্য মানগুলির দ্বারা কতগুলি অংশের জন্য দায়ী তা নির্ধারণ করে আলাদা করতে হবে।

আনুপাতিক বিভাজনের সমস্যা পাঁচ প্রকার।

1) একটি সংখ্যাকে সরাসরি অংশে ভাগ করার সমস্যাপূর্ণ বা ভগ্নাংশ সংখ্যার একটি সিরিজের সমানুপাতিক

এই ধরণের সমস্যাগুলির মধ্যে কার্যগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যার মধ্যে সংখ্যা ক এক্স 1, এক্স 2 , x 3, ..., এক্স n সংখ্যার সাথে সরাসরি সমানুপাতিক ক 1 , ক 2 , ক 3 , ..., ক n .

বীজগাণিতিক মডেল:

সূত্র ব্যবহার করে উত্তর পাওয়া যায়:

উদাহরণ।ভ্রমণ সংস্থাটির চারটি বিনোদন কেন্দ্র রয়েছে, যার একই ক্ষমতার ভবন রয়েছে। 1 ম বিনোদন কেন্দ্রের অঞ্চলে 6 টি বিল্ডিং, 2য় - 4টি বিল্ডিং, 3য় - 5টি বিল্ডিং, 4র্থ - 7টি বিল্ডিং রয়েছে। প্রতিটি ঘাঁটিতে কতজন ক্যাম্পার থাকতে পারে যদি সমস্ত 4টি ঘাঁটি 2,112 জন লোককে মিটমাট করতে পারে?

সমাধান। কাজের একটি সারাংশ চিত্র 7 এ দেখানো হয়েছে।

ভাত। 7

সমস্যার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, প্রতিটি বেসে কতজন অবকাশ যাপনকারীকে থাকার ব্যবস্থা করা যেতে পারে, আপনাকে জানতে হবে যে একটি বিল্ডিংয়ে কতজন অবকাশ যাপনকারীকে রাখা যেতে পারে এবং প্রতিটি বেসের ভূখণ্ডে কতগুলি বিল্ডিং অবস্থিত। শর্তে প্রতিটি বেসের ভবনের সংখ্যা দেওয়া আছে। একটি বিল্ডিংয়ে কতজন অবকাশ যাপনকারীকে থাকার ব্যবস্থা করা যেতে পারে তা জানতে, আপনাকে জানতে হবে যে সমস্ত 4টি ঘাঁটিতে কতজন অবকাশ যাপনকারীকে থাকার ব্যবস্থা করা যেতে পারে (এটি শর্তে দেওয়া হয়েছে) এবং সমস্ত 4টি ঘাঁটির ভূখণ্ডে কতগুলি বিল্ডিং অবস্থিত। প্রতিটি ঘাঁটির ভূখণ্ডে কতগুলি বিল্ডিং অবস্থিত তা অবস্থা থেকে জেনে পরবর্তীটি নির্ধারণ করা যেতে পারে।

আসুন ব্যাখ্যা সহ কর্মের সিদ্ধান্ত লিখি:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (k.) - 4 টি ঘাঁটির অঞ্চলে অবস্থিত;

2112: 22 = 96 (ঘন্টা) - একটি ভবনে স্থাপন করা যেতে পারে;

96  6 = 576 (h) – প্রথম বেসে স্থাপন করা যেতে পারে;

96  4 = 384 (h) – দ্বিতীয় বেসে স্থাপন করা যেতে পারে;

96  5 = 480 (h) – তৃতীয় বেসে স্থাপন করা যেতে পারে;

96  7 = 672 (h) – চতুর্থ ভিত্তিতে স্থাপন করা যেতে পারে।

পরীক্ষা।আমরা গণনা করি যে 4টি বেসে কতজন অবকাশ যাপনকারীকে রাখা যেতে পারে: 576 + 384 + 480 + 672 = 2,112 (ঘন্টা)। কাজের শর্তের সাথে কোন অমিল নেই। সমস্যাটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছিল।

উত্তর: প্রথম বেসটিতে 576 জন অবকাশ যাপনকারী, দ্বিতীয়টিতে - 384 জন অবকাশ যাপনকারী, তৃতীয়টি - 480 জন অবকাশ যাপনকারী এবং চতুর্থটি - 672 জন অবকাশ যাপনকারীকে থাকতে পারে।

2) পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশের একটি সিরিজের বিপরীত সমানুপাতিক অংশে একটি সংখ্যাকে ভাগ করার সমস্যা

এই সংখ্যার মধ্যে কাজ অন্তর্ভুক্ত ক(একটি নির্দিষ্ট পরিমাণের মান) অংশে বিভক্ত করা প্রয়োজন এক্স 1 i , এক্স 2 , এক্স 3 i , ..., এক্স"সংখ্যার বিপরীতভাবে সমানুপাতিক ক 1 খ ক 2 , ক 3 ,..., এ n .

বীজগাণিতিক মডেল:

বা

এক্স 1 : এক্স 2 :এক্স 3 :...:х„ = ক 2 ক 3 ...এ n : ক 1 ক 3 ...এ পৃ : ক 1 ক 2 ক 4 ...এ n :...:ক 1 ক 2 ...এ n -1

সূত্র ব্যবহার করে উত্তর পাওয়া যায়:

কোথায় এস = ক 2 ক 3 ...a„+ক l ক i ... ক n + ক ] ক 2 ক 4 ...এ n + ... + ক 1 ক 2 ...এ n -1.

উদাহরণ।চার মাসের জন্য, পশম বিক্রি থেকে পশম খামারের আয়ের পরিমাণ ছিল 1,925,000 রুবেল, এবং মাসে প্রাপ্ত অর্থ 2, 3, 5, 4 সংখ্যার বিপরীত অনুপাতে বিতরণ করা হয়েছিল। প্রতিটি মাসে আলাদাভাবে খামারের আয় কত?

সমাধান।শর্তে উল্লিখিত আয় নির্ধারণের জন্য, চার মাসের মোট আয় দেওয়া হয়, অর্থাৎ, প্রয়োজনীয় চারটি সংখ্যার যোগফল, সেইসাথে প্রয়োজনীয় সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক। প্রয়োজনীয় আয় 2, 3, 5, 4 সংখ্যার বিপরীতভাবে সমানুপাতিক।

এর উল্লেখ করা যাক x এর মাধ্যমে যথাক্রমে প্রয়োজনীয় আয়, এক্স 2 , এক্স 3 , এক্স 4 . তারপরে চিত্র 8 এ দেখানো হিসাবে সমস্যাটি সংক্ষেপে লেখা যেতে পারে।

ভাত। 8

প্রতিটি প্রয়োজনীয় সংখ্যার প্রতি অংশের সংখ্যা জেনে, আমরা তাদের যোগফলের মধ্যে থাকা অংশের সংখ্যা খুঁজে পাব। চার মাসের জন্য প্রদত্ত মোট আয়ের উপর ভিত্তি করে, অর্থাৎ, প্রয়োজনীয় সংখ্যার যোগফল এবং এই পরিমাণে থাকা অংশগুলির সংখ্যার উপর ভিত্তি করে, আমরা একটি অংশের মান এবং তারপরে প্রয়োজনীয় আয় খুঁজে বের করি।

আসুন ব্যাখ্যা সহ কর্মের সিদ্ধান্ত লিখি:

1. প্রয়োজনীয় আয়গুলি 2, 3, 5, 4 সংখ্যার বিপরীতভাবে সমানুপাতিক, যার মানে তারা বিপরীত সংখ্যার সাথে সরাসরি সমানুপাতিক, অর্থাৎ, সম্পর্ক রয়েছে . আসুন আমরা এই অনুপাতগুলিকে ভগ্নাংশের সংখ্যায় পূর্ণসংখ্যার অনুপাত দিয়ে প্রতিস্থাপন করি:

2. যে জানা এক্স 30টি সমান অংশ রয়েছে, এক্স 2 – 20, এক্স 3 – 12, এক্স 4 – 15, আসুন তাদের যোগফলের মধ্যে কতগুলি অংশ রয়েছে তা খুঁজে বের করা যাক:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (ঘন্টা)।

3. এক অংশের জন্য কত রুবেল আছে?

1,925,000: 77 = 25,000 (r.)

4. প্রথম মাসে খামারের আয় কত?

25,000 30 = 750,000 (r.)।

5. দ্বিতীয় মাসে খামারের আয় কত?

25,000 20 = 500,000 (r.)।

6. তৃতীয় মাসে খামারের আয় কত?

25,000–12 = 300,000 (r.)।

7. চতুর্থ মাসে খামারের আয় কত?

25,000–15 = 375,000 (r.)

উত্তর: প্রথম মাসে, খামারের আয় ছিল 750,000 রুবেল, দ্বিতীয়টিতে - 500,000 রুবেল, তৃতীয়তে - 300,000 রুবেল, চতুর্থটিতে - 375,000 রুবেল।

3) একটি সংখ্যাকে অংশে ভাগ করার সমস্যা, যখন প্রতিটি জোড়া প্রয়োজনীয় সংখ্যার জন্য পৃথক অনুপাত দেওয়া হয়

এই ধরণের সমস্যাগুলির মধ্যে সেই কাজগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যেখানে সংখ্যাটি রয়েছে ক(একটি নির্দিষ্ট পরিমাণের মান) x 1 অংশে ভাগ করা আবশ্যক, এক্স 2 , x 3, ..., এক্স",যখন প্রয়োজনীয় সংখ্যার জন্য সম্পর্কগুলির একটি সিরিজ দেওয়া হয়, জোড়ায় নেওয়া হয়। বীজগাণিতিক মডেল:

x 1: এক্স 2 = ক 1 : খ 1, এক্স 2 : এক্স 3 = ক 2 : খ 2, x 3 : এক্স 4 = ক 3 : খ 3 , ..., এক্স n-1 : এক্স n = ক n -1 : খ n-1 .

n = 4. বীজগণিতীয় মডেল:

এক্স এক্স :এক্স 2 = ক 1 : খ 1, এক্স 2 :এক্স 3= ক 2 : খ 2, এক্স 3 : এক্স 4 = a 3: খ 3 .

তাই, এক্স 1: এক্স 2 : x 3: এক্স 4 = ক 1 ক 2 ক 3 : খ 1 ক 2 ক 3 : খ 1 খ 2 ক 3 : খ 1 খ 2 খ 3 .

কোথায় এস = ক 1 ক 2 ক 3 + খ 1 ক জি ক 3 + খ 1 খ 2 ক 3 + খ 1 খ 2 খ 3

উদাহরণ।তিনটি শহরে 168,000 জন বাসিন্দা রয়েছে। প্রথম এবং দ্বিতীয় শহরের বাসিন্দাদের সংখ্যা অনুপাতে , এবং দ্বিতীয় এবং তৃতীয় শহর – এর সাথে সম্পর্কিত। প্রতিটি শহরে কত জন বাসিন্দা আছে?

সমাধান।এর দ্বারা প্রয়োজনীয় জনসংখ্যার সংখ্যা নির্দেশ করা যাক এক্স 1 , এক্স 2 , এক্স 3 . তারপরে চিত্র 9 এ দেখানো হিসাবে সমস্যাটি সংক্ষেপে লেখা যেতে পারে।

ভাত। 9

বাসিন্দাদের সংখ্যা নির্ধারণ করতে, তিনটি শহরের বাসিন্দাদের সংখ্যা দেওয়া হয়, অর্থাৎ তিনটি প্রয়োজনীয় সংখ্যার যোগফল, সেইসাথে প্রয়োজনীয় সংখ্যার মধ্যে পৃথক সম্পর্ক। এই সম্পর্কগুলিকে ধারাবাহিক সম্পর্কের সাথে প্রতিস্থাপন করে, আমরা তিনটি শহরের বাসিন্দাদের সংখ্যা সমান অংশে প্রকাশ করি। প্রতিটি প্রয়োজনীয় সংখ্যার প্রতি অংশের সংখ্যা জেনে, আমরা তাদের যোগফলের মধ্যে থাকা অংশের সংখ্যা খুঁজে পাব। তিনটি শহরে প্রদত্ত মোট বাসিন্দার সংখ্যা থেকে, অর্থাৎ প্রয়োজনীয় সংখ্যার যোগফল এবং এই যোগফলের মধ্যে থাকা অংশের সংখ্যা থেকে, আমরা একটি অংশের আকার এবং তারপরে বাসিন্দাদের প্রয়োজনীয় সংখ্যা খুঁজে পাই।

আসুন ব্যাখ্যা সহ কর্মের উপর সিদ্ধান্ত লিখি।

1. পূর্ণসংখ্যার অনুপাতের সাথে ভগ্নাংশের সংখ্যার অনুপাত প্রতিস্থাপন করুন:

আমরা 15 নম্বরের সাথে দ্বিতীয় শহরের বাসিন্দাদের সংখ্যার সাথে মিল করি (সংখ্যা 3 এবং 5 এর সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক)।

আমরা সেই অনুযায়ী ফলাফল সম্পর্ক পরিবর্তন করি:

এক্স 1: এক্স 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20:15, x 2: x 3 = 5:7 = (5-3): (7-3) = 15: 21।

স্বতন্ত্র সম্পর্ক থেকে আমরা সম্পর্কের একটি সিরিজ তৈরি করি:

এক্স 1: এক্স 2 : এক্স 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (h) - সংখ্যাটি 168,000 অনেকগুলি সমান অংশের সাথে মিলে যায়;

3. 168,000: 56 = 3,000 (f.) – প্রতি অংশ;

4. 3,000 20 = 60,000 (f.) – প্রথম শহরে;

5. 3,000 15 = 45,000 (f.) – দ্বিতীয় শহরে;

3,000 21 = 63,000 (f.) - তৃতীয় শহরে।

উত্তর: 60,000 জন বাসিন্দা; 45,000 বাসিন্দা; 63,000 জন বাসিন্দা।

4) একটি সংখ্যাকে দুই, তিন, এবং সংখ্যার সারির সমানুপাতিক অংশে ভাগ করার সমস্যা

এই ধরণের সমস্যাগুলির মধ্যে সমস্যা রয়েছে যার মধ্যে সংখ্যা ক(একটি নির্দিষ্ট পরিমাণের মান) অংশে বিভক্ত করা প্রয়োজন এক্স 1, এক্স 2 , এক্স 3 ,..., এক্স n সমানুপাতিক দুই, তিন, ..., এনসংখ্যার সারি।

সাধারণ আকারে সমস্যা সমাধানের জন্য সূত্রগুলির জটিলতার কারণে, আসুন বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করি যখন n = 3 এবং N = 2।দিন এক্স 1 এক্স 2 , এক্স 3 সংখ্যার সাথে সরাসরি সমানুপাতিক ক 1 , ক 2 , ক 3 এবং সংখ্যার বিপরীতভাবে সমানুপাতিক খ 1 , খ 2 , খ 3 .

বীজগাণিতিক মডেল:

(এই অনুচ্ছেদের অনুচ্ছেদ 1 দেখুন),

উদাহরণ।দুই শ্রমিক 1,800 রুবেল পেয়েছেন। একজন 8 ঘন্টার জন্য 3 দিন, অন্য 6 দিন 6 ঘন্টা কাজ করলে প্রত্যেকে 1 ঘন্টা কাজ করলে কত উপার্জন করে?

সমাধান. কাজের একটি সারাংশ চিত্র 10 এ দেখানো হয়েছে।

ভাত।10

প্রতিটি কর্মী কত টাকা পেয়েছেন তা জানতে, আপনাকে 1 ঘন্টা কাজের জন্য কত রুবেল দেওয়া হয়েছিল এবং প্রতিটি কর্মী কত ঘন্টা কাজ করেছিল তা জানতে হবে। তারা 1 ঘন্টা কাজের জন্য কত রুবেল প্রদান করেছে তা জানতে, আপনাকে জানতে হবে যে তারা পুরো কাজের জন্য কত টাকা দিয়েছে (শর্ত দেওয়া হয়েছে) এবং উভয় কর্মী একসাথে কত ঘন্টা কাজ করেছে। মোট কত ঘন্টা কাজ করেছে তা জানতে, আপনাকে প্রতিটি ব্যক্তি কত ঘন্টা কাজ করেছে তা জানতে হবে এবং এর জন্য আপনাকে জানতে হবে প্রতিটি ব্যক্তি কত দিন কাজ করেছে এবং দিনে কত ঘন্টা কাজ করেছে। এই তথ্য শর্ত অন্তর্ভুক্ত করা হয়.

আসুন ব্যাখ্যা সহ কর্মের সিদ্ধান্ত লিখি:

8  3 = 24 (ঘন্টা) – প্রথম কর্মী কাজ করেছিলেন;

6  6 = 36 (ঘন্টা) – দ্বিতীয় কর্মী কাজ করেছেন;

24 + 36 = 60 (ঘন্টা) - উভয় কর্মী একসাথে কাজ করেছেন;

1800: 60 = 30 (r.)- শ্রমিকরা 1 ঘন্টা কাজের জন্য প্রাপ্ত;

30  24 = 720 (r.) – প্রথম কর্মী দ্বারা অর্জিত;

30  36 = 1080 (r.) - দ্বিতীয় কর্মী দ্বারা অর্জিত। উত্তর: 720 ঘষা; 1080 ঘষা।

5) বেশ কয়েকটি সংখ্যা খুঁজে পেতে সমস্যাতাদের সম্পর্ক এবং যোগফল বা পার্থক্য অনুসারে (তাদের কিছুর যোগফল বা পার্থক্য)

উদাহরণ।স্কুল প্রশাসন খেলার মাঠ, গ্রিনহাউস এবং জিমের জন্য সরঞ্জামগুলিতে 49,000 রুবেল ব্যয় করেছে। খেলার মাঠের জন্য সরঞ্জামের দাম গ্রিনহাউসের অর্ধেক, এবং গ্রীনহাউসের খরচ জিম এবং খেলার মাঠের চেয়ে 3 গুণ কম। এই সুবিধাগুলির প্রতিটির জন্য সরঞ্জামের জন্য কত টাকা ব্যয় করা হয়েছিল?

সমাধান. কাজের একটি সারাংশ চিত্র 11 এ দেখানো হয়েছে।

ভাত। এগারো

প্রতিটি বস্তুর সরঞ্জামে ব্যয় করা অর্থের পরিমাণ জানতে, আপনাকে প্রতিটি বস্তুর সরঞ্জামে ব্যয় করা সমস্ত অর্থের কত অংশ এবং প্রতিটি অংশের জন্য কত রুবেল ছিল তা জানতে হবে। প্রতিটি বস্তুর সরঞ্জামে ব্যয় করা অর্থের অংশগুলির সংখ্যা সমস্যার শর্তগুলি থেকে নির্ধারিত হয়। প্রতিটি বস্তুর সরঞ্জামের জন্য পৃথকভাবে অংশের সংখ্যা নির্ধারণ করে এবং তারপরে তাদের যোগফল খুঁজে বের করে, আমরা একটি অংশের মান গণনা করি (রুবেলে)।

আসুন ব্যাখ্যা সহ কর্মের উপর সিদ্ধান্ত লিখি।

আমরা খেলার মাঠের জন্য সরঞ্জামের জন্য ব্যয় করা অর্থের 1 অংশ হিসাবে গ্রহণ করি। শর্ত অনুসারে, গ্রিনহাউস সরঞ্জামগুলিতে 2 গুণ বেশি ব্যয় করা হয়েছিল, অর্থাৎ 1  2 = 2 (h); খেলার মাঠ এবং ক্রীড়া হলের জন্য গ্রিনহাউসের তুলনায় 3 গুণ বেশি ব্যয় করা হয়েছিল, অর্থাৎ, 2  3 = 6 (ঘন্টা), তাই, 6 – 1 = 5 (ঘন্টা) ক্রীড়া হলের জন্য সরঞ্জামগুলিতে ব্যয় করা হয়েছিল।

খেলার মাঠের জন্য 1 অংশ, গ্রিনহাউসের জন্য 2 অংশ এবং জিমের জন্য 5 অংশ ব্যয় করা হয়েছিল। পুরো খরচ ছিল 1 + 2 + + 5 = 8 (h)।

8 অংশ সমান 49,000 রুবেল, এক অংশ এই পরিমাণের থেকে 8 গুণ কম: 49,000: 8 = 6,125 (ঘষা।) ফলস্বরূপ, খেলার মাঠের জন্য সরঞ্জামগুলিতে 6,125 রুবেল ব্যয় করা হয়েছিল।

গ্রিনহাউস সরঞ্জামগুলিতে দ্বিগুণ খরচ হয়েছে: 6,125  2 = 12,250 (r.)।

জিমের জন্য সরঞ্জামের জন্য 5টি অংশ ব্যয় করা হয়েছে: 6,125  5 = 30,625 (r.)।

উত্তর: 6,125 রুবেল; 12,250 রুবি; 30,625 রুবি

6) অজানা একটি বাদ সমস্যা

এই গোষ্ঠীর সমস্যাগুলির মধ্যে এমন সমস্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যেখানে দুটি পণ্যের যোগফল দুটি পুনরাবৃত্তি করার কারণ রয়েছে এবং এই কারণগুলির মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে। বীজগণিতীয় মডেল

সূত্র ব্যবহার করে উত্তর পাওয়া যায়:

এই সমস্যাগুলি ডেটা সমান করার পদ্ধতি, ডেটা সমান করার পদ্ধতি এবং প্রয়োজনীয়গুলি, ডেটা প্রতিস্থাপনের পদ্ধতি, সেইসাথে তথাকথিত "অনুমান" পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয়।

উদাহরণ।একটি পোশাক কারখানায়, 24টি কোট এবং 45টি স্যুটে 204 মিটার ফ্যাব্রিক এবং 24টি কোট এবং 30টি স্যুটে 162 মিটার কাপড় ব্যবহার করা হয় এবং একটি কোটের জন্য কতটি কাপড় ব্যবহার করা হয়?

সমাধান. আসুন ডেটা সমন্বয় পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করি। কাজের সংক্ষিপ্ত বিবরণ।

1. বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের বিষয়ে সাধারণ মন্তব্য।

2. আন্দোলনের কাজ।

3. কাজের জন্য কাজ।

4. মিশ্রণ এবং শতাংশে সমস্যা।

শব্দ সমস্যা সমাধানের জন্য একটি গাণিতিক উপায় খুঁজে বের করতে বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে।

1. বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, প্রয়োজনীয় পরিমাণ বা অন্যান্য পরিমাণগুলি, যা প্রয়োজনীয়গুলি নির্ধারণ করা যেতে পারে তা জেনে, অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (সাধারণত x, y,z). ডেটা এবং অজানা পরিমাণের মধ্যে সমস্ত পারস্পরিক স্বাধীন সম্পর্ক, যা হয় সরাসরি শর্তে প্রণয়ন করা হয় (মৌখিক আকারে), অথবা সমস্যার অর্থ থেকে অনুসরণ করে (উদাহরণস্বরূপ, ভৌত আইন যেখানে বিবেচনাধীন পরিমাণগুলি বিষয়) বা অনুসরণ করে শর্ত এবং কিছু যুক্তি থেকে, অসমতার সমতা আকারে লেখা হয়। সাধারণ ক্ষেত্রে, এই সম্পর্কগুলি কিছু মিশ্র ব্যবস্থা গঠন করে। বিশেষ ক্ষেত্রে, এই সিস্টেমে অসমতা বা সমীকরণ থাকতে পারে না, অথবা এটি শুধুমাত্র একটি সমীকরণ বা অসমতা নিয়ে গঠিত হতে পারে।

বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করা কোনো একক, মোটামুটি সর্বজনীন স্কিম মেনে চলে না। অতএব, সমস্ত কাজের সাথে সম্পর্কিত যে কোনও নির্দেশ খুব সাধারণ প্রকৃতির। ব্যবহারিক এবং তাত্ত্বিক সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় যে কাজগুলি উদ্ভূত হয় তাদের নিজস্ব স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য রয়েছে। অতএব, তাদের গবেষণা এবং সমাধান একটি খুব বৈচিত্র্যময় প্রকৃতির হয়.

আসুন আমরা সেই সমস্যাগুলির সমাধানের বিষয়ে চিন্তা করি যার গাণিতিক মডেল একটি অজানা সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়।

আমাদের স্মরণ করা যাক যে একটি সমস্যা সমাধানের কার্যকলাপ চারটি ধাপ নিয়ে গঠিত। প্রথম পর্যায়ে কাজ (সমস্যা বিষয়বস্তুর বিশ্লেষণ) নির্বাচিত সমাধান পদ্ধতির উপর নির্ভর করে না এবং কোন মৌলিক পার্থক্য নেই। দ্বিতীয় পর্যায়ে (সমস্যা সমাধানের উপায় অনুসন্ধান করার সময় এবং এর সমাধানের জন্য একটি পরিকল্পনা তৈরি করার সময়), বীজগণিত সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করার ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিতগুলি সম্পন্ন করা হয়: সমীকরণ অঙ্কন করার জন্য প্রধান সম্পর্ক নির্বাচন করা; একটি অজানা নির্বাচন করা এবং এটির জন্য একটি উপাধি প্রবর্তন করা; অজানা এবং ডেটার মাধ্যমে মৌলিক সম্পর্কের অন্তর্ভুক্ত পরিমাণের প্রকাশ। তৃতীয় পর্যায় (সমস্যা সমাধানের জন্য একটি পরিকল্পনার বাস্তবায়ন) একটি সমীকরণ আঁকা এবং এটি সমাধান করা জড়িত। চতুর্থ পর্যায় (সমস্যার সমাধান পরীক্ষা করা) একটি আদর্শ উপায়ে সঞ্চালিত হয়।

সাধারণত একটি অজানা সঙ্গে সমীকরণ রচনা করার সময় এক্সনিম্নলিখিত দুটি নিয়ম মেনে চলুন।

নিয়ম আমি . এই পরিমাণগুলির মধ্যে একটি অজানা মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় এক্সএবং অন্যান্য ডেটা (অর্থাৎ, একটি সমীকরণ তৈরি করা হয়েছে যার একটি অংশে একটি প্রদত্ত মান রয়েছে এবং অন্যটিতে একই মান রয়েছে, যা দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে এক্সএবং অন্যান্য ডেটা মান)।

নিয়ম ২ . একই পরিমাণের জন্য, দুটি বীজগাণিতিক রাশি সংকলিত হয়, যেগুলি পরস্পরের সাথে সমান হয়।

বাহ্যিকভাবে, মনে হচ্ছে প্রথম নিয়মটি দ্বিতীয়টির চেয়ে সহজ।

প্রথম ক্ষেত্রে, আপনাকে সর্বদা একটি বীজগাণিতিক রাশি রচনা করতে হবে এবং দ্বিতীয়টিতে দুটি। যাইহোক, প্রায়শই এমন সমস্যা রয়েছে যেখানে ইতিমধ্যে পরিচিত একটি বেছে নেওয়া এবং এর জন্য একটি রাশি রচনা করার চেয়ে একই পরিমাণের জন্য দুটি বীজগণিতিক রাশি রচনা করা আরও সুবিধাজনক।

বীজগণিতভাবে শব্দ সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়া নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম অনুযায়ী সঞ্চালিত হয়:

1. প্রথমে, সম্পর্কটি নির্বাচন করুন যার ভিত্তিতে সমীকরণটি আঁকা হবে। যদি সমস্যাটিতে দুটির বেশি সম্পর্ক থাকে, তবে সমীকরণটি আঁকার ভিত্তিটি সেই সম্পর্কটিকে নিতে হবে যা সমস্ত অজানাগুলির মধ্যে কিছু সংযোগ স্থাপন করে।

তারপরে একটি অজানা নির্বাচন করা হয়, যা সংশ্লিষ্ট চিঠি দ্বারা মনোনীত হয়।

সমীকরণটি রচনা করার জন্য নির্বাচিত সম্পর্কের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত অজানা পরিমাণ অবশ্যই নির্বাচিত অজানা মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে, প্রধানটি ছাড়া সমস্যাটিতে অন্তর্ভুক্ত অবশিষ্ট সম্পর্কের উপর নির্ভর করে।

4. এই তিনটি ক্রিয়াকলাপ থেকে, একটি সমীকরণের গঠন সরাসরি গাণিতিক চিহ্ন ব্যবহার করে একটি মৌখিক স্বরলিপির নকশা হিসাবে অনুসরণ করে।

তালিকাভুক্ত ক্রিয়াকলাপগুলির মধ্যে কেন্দ্রীয় স্থানটি সমীকরণ রচনার জন্য মৌলিক সম্পর্কের পছন্দ দ্বারা দখল করা হয়। বিবেচিত উদাহরণগুলি দেখায় যে সমীকরণগুলি রচনা করার সময় প্রধান সম্পর্কের পছন্দটি সিদ্ধান্তমূলক হয়, সমস্যাটির মাঝে মাঝে অস্পষ্ট মৌখিক পাঠে যৌক্তিক ক্রম নিয়ে আসে, অভিযোজনে আস্থা দেয় এবং ডেটার মাধ্যমে সমস্যায় অন্তর্ভুক্ত সমস্ত পরিমাণ প্রকাশ করার জন্য উচ্ছৃঙ্খল ক্রিয়াকলাপ থেকে রক্ষা করে। এবং চাওয়া হয়েছে.

সমস্যা সমাধানের বীজগাণিতিক পদ্ধতি অত্যন্ত ব্যবহারিক গুরুত্ব। এর সাহায্যে, তারা প্রযুক্তি, কৃষি এবং দৈনন্দিন জীবনের ক্ষেত্রে বিভিন্ন ধরণের সমস্যার সমাধান করে। ইতিমধ্যে মাধ্যমিক বিদ্যালয়ে, শিক্ষার্থীরা পদার্থবিদ্যা, রসায়ন এবং জ্যোতির্বিদ্যা পড়ার সময় সমীকরণ ব্যবহার করে। যেখানে পাটিগণিত শক্তিহীন হতে দেখা যায় বা সর্বোপরি, অত্যন্ত কষ্টকর যুক্তির প্রয়োজন হয়, সেখানে বীজগণিত পদ্ধতি সহজেই এবং দ্রুত উত্তরের দিকে নিয়ে যায়। এবং এমনকি তথাকথিত "মানক" গাণিতিক সমস্যাগুলির মধ্যেও, যা গাণিতিক সমাধান করা তুলনামূলকভাবে সহজ, বীজগণিত সমাধান, একটি নিয়ম হিসাবে, ছোট এবং আরও প্রাকৃতিক উভয়ই।

সমস্যা সমাধানের বীজগাণিতিক পদ্ধতি এটি দেখাতে সহজ করে যে কিছু সমস্যা, শুধুমাত্র প্লটে একে অপরের থেকে আলাদা, শুধুমাত্র ডেটা এবং পছন্দসই পরিমাণের মধ্যে একই সম্পর্ক নেই, তবে সাধারণ যুক্তির দিকেও পরিচালিত করে যার মাধ্যমে এই সম্পর্কগুলি প্রতিষ্ঠিত হয়। . এই ধরনের সমস্যাগুলি একই গাণিতিক যুক্তি, একই সম্পর্কগুলির শুধুমাত্র বিভিন্ন নির্দিষ্ট ব্যাখ্যা দেয়, অর্থাৎ তাদের একই গাণিতিক মডেল রয়েছে।

2. গতি সমস্যাগুলির গ্রুপে এমন সমস্যা রয়েছে যা তিনটি পরিমাণ সম্পর্কে কথা বলে: পথ (s), গতি ( v) এবং সময় ( t) একটি নিয়ম হিসাবে, তারা অভিন্ন রেকটিলাইনার গতির সাথে মোকাবিলা করে, যখন গতি মাত্রা এবং দিকনির্দেশে ধ্রুবক থাকে। এই ক্ষেত্রে, তিনটি পরিমাণই নিম্নলিখিত সম্পর্কের দ্বারা সম্পর্কিত: এস = vt. উদাহরণস্বরূপ, যদি একজন সাইক্লিস্টের গতি 12 কিমি/ঘন্টা হয়, তাহলে 1.5 ঘন্টায় সে 12 কিমি/ঘন্টা  1.5 ঘন্টা = 18 কিমি ভ্রমণ করবে। এমন কিছু সমস্যা রয়েছে যেখানে অভিন্নভাবে ত্বরান্বিত রেকটিলিনিয়ার গতি বিবেচনা করা হয়, অর্থাৎ ধ্রুব ত্বরণ সহ গতি (ক)।দূরত্ব ভ্রমণ s এই ক্ষেত্রে এটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়: এস = v 0 t + এ 2 /2, কোথায় v 0 – আন্দোলনের প্রাথমিক গতি। সুতরাং, 5 m/s এর প্রাথমিক গতি এবং 9.8 m 2/s এর মুক্ত পতনের ত্বরণ সহ পতনের 10 সেকেন্ডে, শরীরটি 5 m/s  10 s + 9.8 m 2 / s  এর সমান দূরত্ব উড়বে 10 2 s 2 /2 = 50 m + 490 m = 540 m।

যেমনটি ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, শব্দ সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় এবং সর্বপ্রথম, আন্দোলন সম্পর্কিত সমস্যাগুলিতে, একটি চিত্রিত অঙ্কন (সমস্যাটির একটি সহায়ক গ্রাফিক মডেল তৈরি করতে) তৈরি করা খুব কার্যকর। অঙ্কনটি এমনভাবে তৈরি করা উচিত যাতে এটি সমস্ত মিটিং, স্টপ এবং বাঁক সহ আন্দোলনের গতিশীলতা দেখায়। একটি ভালভাবে আঁকা অঙ্কন আপনাকে কেবল সমস্যার বিষয়বস্তু আরও ভালভাবে বুঝতে দেয় না, তবে সমীকরণ এবং অসমতার প্রস্তুতির সুবিধাও দেয়। এই ধরনের অঙ্কন উদাহরণ নীচে দেওয়া হবে.

সাধারণত, গতি সমস্যায় নিম্নলিখিত নিয়মগুলি গৃহীত হয়।

সমস্যাটিতে নির্দিষ্টভাবে বলা না থাকলে, নির্দিষ্ট এলাকায় আন্দোলনকে অভিন্ন হিসাবে বিবেচনা করা হয় (সেটি সরলরেখায় বা একটি বৃত্তে চলাচল করা হোক না কেন)।

চলমান দেহের ঘূর্ণন তাত্ক্ষণিক হিসাবে বিবেচিত হয়, অর্থাৎ, সময় নষ্ট না করেই ঘটে; গতি এছাড়াও সঙ্গে সঙ্গে পরিবর্তন.

সমস্যার এই গোষ্ঠীটি, ঘুরে, এমন কাজগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে যা দেহের গতিবিধি বিবেচনা করে: 1) একে অপরের প্রতি; 2) এক দিকে ("পরে"); 3) বিপরীত দিকে; 4) একটি বন্ধ ট্র্যাজেক্টোরি বরাবর; 5) নদীর ধারে।

যদি দেহের মধ্যে দূরত্ব সমান হয় এস, এবং শরীরের গতি সমান v 1 এবং v 2 (চিত্র 16 ক), তারপর যখন দেহগুলি একে অপরের দিকে চলে যায়, তখন তাদের মিলিত হওয়ার সময় সমান হয় এস/(v 1 + v 2).

2. যদি দেহের মধ্যে দূরত্ব সমান হয় এস, এবং শরীরের গতি সমান v 1 এবং v 2 (চিত্র 16 খ), তারপর যখন দেহগুলি এক দিকে চলে যায় ( v 1 > v 2) যে সময়ের পরে প্রথম বডিটি দ্বিতীয়টির সাথে ধরবে তার সমান এস/(v 1 – v 2).

3. যদি দেহের মধ্যে দূরত্ব সমান হয় এস, এবং শরীরের গতি সমান v 1 এবং v 2 (চিত্র 16 ভি), তারপর, বিপরীত দিকে একযোগে সেট বন্ধ করে, মৃতদেহ সময়ের পরে হবে t দূরত্বে থাকা এস 1 = এস + (v 1 + v 2 ) t.

ভাত। 16

4. যদি দেহগুলি দৈর্ঘ্যের একটি বন্ধ পথ ধরে এক দিকে চলে যায় s গতির সাথে v 1 এবং v 2, যে সময় পরে দেহগুলি আবার মিলিত হবে (একটি দেহ অন্যটির সাথে ধরবে), এক বিন্দু থেকে একযোগে শুরু করে, সূত্র দ্বারা পাওয়া যায় t = এস/(v 1 – v 2) যে প্রদান v 1 > v 2 .

এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে যখন একই সাথে একটি বদ্ধ ট্র্যাজেক্টরি বরাবর এক দিকে শুরু হয়, তখন যার গতি বেশি সে শরীরের সাথে যার গতি কম হয় তাকে ধরতে শুরু করে। প্রথমবার এটি তার সাথে ক্যাচ আপ, একটি দূরত্ব আবরণ থাকার এস অন্য শরীরের চেয়ে বড়। যদি এটি এটিকে দ্বিতীয়, তৃতীয়বার এবং আরও বেশি করে ফেলে, তাহলে এর মানে হল এটি 2 এর দূরত্ব জুড়ে এস, 3 দ্বারা এস এবং তাই অন্য শরীরের চেয়ে বড়.

যদি দেহগুলি দৈর্ঘ্যের একটি বন্ধ পথ ধরে বিভিন্ন দিকে চলে যায় এস গতির সাথে v 1 এবং v 2, যে সময় পরে তারা মিলিত হবে, এক বিন্দু থেকে একযোগে প্রস্থান করবে, সূত্র দ্বারা পাওয়া যায় t = v(v 1 + v 2)। এই ক্ষেত্রে, আন্দোলন শুরু করার পরপরই, একটি পরিস্থিতি তৈরি হয় যখন মৃতদেহ একে অপরের দিকে যেতে শুরু করে।

5. যদি একটি দেহ নদীর প্রবাহের সাথে চলে তবে তার গতি তীরের সাপেক্ষে এবংস্থির জলে শরীরের গতির দ্বারা গঠিত vএবং নদীর প্রবাহের গতি w: এবং =v + w. যদি একটি দেহ নদীর প্রবাহের বিপরীতে চলে তবে তার গতি এবং =v – w. যেমন নৌকার গতি যদি v= 12 কিমি/ঘন্টা, এবং নদীর প্রবাহের গতি w = 3 কিমি/ঘন্টা, তারপর 3 ঘন্টার মধ্যে নৌকাটি নদীর প্রবাহ বরাবর যাত্রা করবে (12 কিমি/ঘণ্টা + 3 কিমি/ঘণ্টা)  3 ঘন্টা = 45 কিমি, এবং স্রোতের বিপরীতে - (12 কিমি/ঘন্টা – 3 কিমি/ঘণ্টা)  3 ঘন্টা = 27 কিমি। এটা বিশ্বাস করা হয় যে স্থির জলে (ভেলা, লগ, ইত্যাদি) চলাচলের গতি শূন্য রয়েছে এমন বস্তুর গতি নদীর প্রবাহের গতির সমান।

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণপ্রতি 20 মিনিটে এক দিক থেকে এক বিন্দু থেকে। গাড়ি চলে যাচ্ছে। দ্বিতীয় গাড়িটি 60 কিমি/ঘন্টা গতিতে যাত্রা করছে এবং প্রথমটির গতি দ্বিতীয়টির গতির চেয়ে 50% বেশি। তৃতীয় গাড়ির গতি খুঁজুন যদি এটি জানা যায় যে এটি প্রথম গাড়িটিকে দ্বিতীয়টির চেয়ে 5.5 ঘন্টা পরে ছাড়িয়েছে।

সমাধান. ধরা যাক x কিমি/ঘন্টা হল তৃতীয় গাড়ির গতি। প্রথম গাড়ির গতি দ্বিতীয়টির গতির চেয়ে 50% বেশি, যার মানে এটি সমান

যখন একটি দিকে অগ্রসর হয়, তখন মিলনের সময়টি বস্তুর মধ্যে দূরত্বের সাথে তাদের গতির পার্থক্যের অনুপাত হিসাবে পাওয়া যায়। 40 মিনিটের মধ্যে প্রথম গাড়ি। (2/3 ঘন্টা) 90  (2/3) = 60 কিমি ভ্রমণ করবে। অতএব, তৃতীয়টি 60/(তে) তার সাথে মিলিত হবে (তারা দেখা করবে) এক্স- 90) ঘন্টা। 20 মিনিটের মধ্যে দ্বিতীয়টি। (1/3 ঘন্টা) 60  (1/3) = 20 কিমি ভ্রমণ করবে। এর মানে হল যে তৃতীয় জন তার সাথে 20/( তারা দেখা করবে) সাথে ধরা দেবে এক্স– 60) ঘন্টা (চিত্র 17)।

পৃ
সমস্যা অবস্থা সম্পর্কে

ভাত। 17

সাধারণ রূপান্তরের পরে আমরা 11x 2 – 1730x + 63000 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ পাই, যার সমাধান করে আমরা পাব

চেকটি দেখায় যে দ্বিতীয় রুটটি সমস্যার শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে না, যেহেতু এই ক্ষেত্রে তৃতীয় গাড়িটি অন্য গাড়িগুলির সাথে ধরা দেবে না। উত্তর: তৃতীয় গাড়ির গতি 100 কিমি/ঘন্টা।

উদাহরণমোটর জাহাজটি 96 কিমি নদী বরাবর ভ্রমণ করে, ফিরে আসে এবং 32 ঘন্টা ব্যয় করে লোডিংয়ের নিচে কিছুক্ষণ দাঁড়িয়ে থাকে। স্থির জলে জাহাজের গতি নির্ধারণ করুন যদি লোডিং সময় সেখানে এবং পিছনের পুরো যাত্রায় ব্যয় করা সময়ের 37.5% হয়।

সমাধান. স্থির জলে জাহাজের গতি x কিমি/ঘন্টা ধরা যাক। তারপর ( এক্স+ 2) কিমি/ঘন্টা - স্রোত বরাবর এর গতি; (এক্স - 2) কিমি/ঘন্টা – স্রোতের বিপরীতে; 96/( এক্স+ 2) জ - স্রোতের সাথে চলাচলের সময়; 96/( এক্স- 2) জ - স্রোতের বিপরীতে চলাচলের সময়। যেহেতু জাহাজটি লোড হওয়ার মোট সময়ের 37.5%, নেট ভ্রমণের সময় হল 62.5%  32/100% = 20 (ঘন্টা)। অতএব, সমস্যার শর্ত অনুযায়ী, আমাদের সমীকরণ আছে:

এটিকে রূপান্তর করে, আমরা পাই: 24( এক্স – 2 + এক্স + 2) = 5(এক্স + 2)(এক্স – 2) => 5এক্স 2 – 4এক্স– 20 = 0. দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করার পরে, আমরা পাই: এক্স 1 = 10; এক্স 2 = -0.4। দ্বিতীয় মূলটি সমস্যার শর্ত পূরণ করে না।

উত্তর: স্থির জলে জাহাজের গতি 10 কিমি/ঘন্টা।

উদাহরণ. গাড়িটা শহরের বাইরে চলে গেল কশহরের মধ্য দিয়ে C শহরে ভিতরেস্টপ ছাড়া। দূরত্ব এবি, 120 কিলোমিটারের সমান, তিনি দূরত্বের চেয়ে 1 ঘন্টা দ্রুত গতিতে ভ্রমণ করেছিলেন সূর্য, 90 কিমি সমান। শহর থেকে গাড়ির গড় গতি নির্ণয় করুন কশহর সি, যদি এটি জানা যায় যে বিভাগে গতি এবিবিভাগে 30 কিমি/ঘন্টা আরো গতি সূর্য

সমাধান. দিন এক্সকিমি/ঘন্টা - বিভাগে গাড়ির গতি সূর্য

তারপর ( এক্স+ 30) কিমি/ঘন্টা - বিভাগে গতি এবি, 120/(এক্স+ 30) জ, 90/ এক্স h - রুট ভ্রমণ করতে গাড়ির সময় লাগে এবিএবং সূর্যযথাক্রমে

অতএব, সমস্যার শর্ত অনুযায়ী, আমাদের সমীকরণ আছে:

.

এর রূপান্তর করা যাক:

120এক্স+ 1(এক্স + 30)এক্স = 90(এক্স + 30) => এক্স 2 + 60এক্স – 2700 = 0.

দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করার পরে, আমরা খুঁজে পাই: এক্স 1 = 30, এক্স 2 = -90। দ্বিতীয় মূলটি সমস্যার শর্ত পূরণ করে না। মানে সেকশনে গতি সূর্যসেকশনে 30 কিমি/ঘন্টার সমান এবি - 60 কিমি/ঘন্টা। এটি অনুসরণ করে যে দূরত্ব এবিগাড়িটি 2 ঘন্টায় ভ্রমণ করেছে (120 কিমি: 60 কিমি/ঘন্টা = 2 ঘন্টা), এবং দূরত্ব সূর্য - 3 ঘন্টার মধ্যে (90 কিমি: 30 কিমি/ঘন্টা = 3 ঘন্টা), তাই পুরো দূরত্ব এসিতিনি 5 ঘন্টা (3 ঘন্টা + 2 ঘন্টা = 5 ঘন্টা) গাড়ি চালান। তারপর বিভাগে গড় গতি এসি,যার দৈর্ঘ্য 210 কিমি সমান 210 কিমি: 5 ঘন্টা = 42 কিমি/ঘন্টা।

উত্তর: 42 কিমি/ঘন্টা - সাইটে একটি গাড়ির গড় গতি এসি।

কাজের কাজের গ্রুপে এমন কাজগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা তিনটি পরিমাণ সম্পর্কে কথা বলে: কাজ ক, সময় t, যে সময় কাজ সঞ্চালিত হয়, উত্পাদনশীলতা আর -সময় প্রতি ইউনিট কাজ করা হয়. এই তিনটি পরিমাণ সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত ক = আরt. কাজের কাজের মধ্যে পাইপ, পাম্প এবং অন্যান্য ডিভাইস ব্যবহার করে পাত্র (পাত্র, ট্যাঙ্ক, পুল, ইত্যাদি) ভরাট করা এবং খালি করা সম্পর্কিত কাজগুলিও অন্তর্ভুক্ত। এই ক্ষেত্রে, পাম্প করা জলের পরিমাণকে সম্পাদিত কাজ হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

কাজের সমস্যাগুলি, সাধারণভাবে বলতে গেলে, গতি সমস্যা হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে, যেহেতু এই ধরণের সমস্যাগুলিতে আমরা ধরে নিতে পারি যে সমস্ত কাজ বা জলাধারের পূর্ণ আয়তন দূরত্বের ভূমিকা পালন করে এবং কাজ করা বস্তুর কার্যক্ষমতা গতির গতির অনুরূপ। . যাইহোক, প্লটের পরিপ্রেক্ষিতে, এই কাজগুলি স্বাভাবিকভাবেই আলাদা, এবং কিছু কাজের কাজগুলির সমাধানের নিজস্ব নির্দিষ্ট পদ্ধতি রয়েছে। সুতরাং, যে সমস্ত কাজগুলিতে কাজ করার পরিমাণ নির্দিষ্ট করা নেই, সমস্ত কাজকে এক হিসাবে নেওয়া হয়।

উদাহরণ।দুটি দলকে 12 দিনের মধ্যে অর্ডারটি সম্পূর্ণ করতে হয়েছিল। 8 দিন একসাথে কাজ করার পরে, প্রথম দলটি আরেকটি কাজ পেয়েছে, তাই দ্বিতীয় দলটি আরও 7 দিনের জন্য অর্ডারটি সম্পূর্ণ করেছে। কত দিনে প্রতিটি দল আলাদাভাবে কাজ করে অর্ডারটি সম্পূর্ণ করতে পারে?

সমাধান. প্রথম ব্রিগেডকে কাজটি সম্পূর্ণ করতে দিন এক্সদিন, দ্বিতীয় ব্রিগেড - জন্য yদিন চলুন সব কাজকে একক হিসেবে নিই। তারপর ১/ এক্স -প্রথম ব্রিগেডের উত্পাদনশীলতা, একটি 1/ y – দ্বিতীয় যেহেতু দুটি দলকে 12 দিনের মধ্যে অর্ডারটি সম্পূর্ণ করতে হবে, আমরা প্রথম সমীকরণ 12(1/ এক্স + 1/এ) = 1.

দ্বিতীয় শর্ত থেকে এটি অনুসরণ করে যে দ্বিতীয় দলটি 15 দিন কাজ করেছে, এবং প্রথমটি - মাত্র 8 দিন। সুতরাং দ্বিতীয় সমীকরণটি এরকম দেখাচ্ছে:

8/এক্স+ 15/এ= 1.

সুতরাং, আমাদের সিস্টেম আছে:

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথমটি বিয়োগ করলে আমরা পাই:

21/y = 1 => y = 21.

তারপর 12/ এক্স + 12/21 = 1 => 12/এক্স – = 3/7 => x = 28.

উত্তর: প্রথম দলটি 28 দিনের মধ্যে অর্ডারটি সম্পূর্ণ করবে এবং দ্বিতীয়টি 21 দিনের মধ্যে।

উদাহরণ. কর্মী কএবং কর্মী ভিতরে 12 দিনের মধ্যে কাজ শেষ করতে পারেন, কর্মী কএবং কর্মী সঙ্গে- 9 দিনের মধ্যে, কাজ করা ভিতরেএবং কর্মী সি - 12 দিন। তাদের একসঙ্গে কাজ শেষ করতে কত দিন লাগবে?

সমাধান. কর্মী যাক কজন্য কাজ করতে পারেন এক্সদিন, কাজ ভিতরে- পিছনে এদিন, কাজ সঙ্গে- পিছনে z দিন চলুন সব কাজকে একক হিসেবে নিই। তারপর ১/ x, 1/y এবং 1/ z – কর্মীর উত্পাদনশীলতা ক, বিএবং সঙ্গে যথাক্রমে সমস্যার অবস্থা ব্যবহার করে, আমরা টেবিলে উপস্থাপিত সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেমে পৌঁছেছি।

1 নং টেবিল

সমীকরণগুলিকে রূপান্তরিত করার পরে, আমাদের তিনটি অজানা সহ তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম রয়েছে:

শব্দ দ্বারা সিস্টেম টার্মের সমীকরণ যোগ করলে আমরা পাই:

বা

যোগফল হল শ্রমিকদের যৌথ উত্পাদনশীলতা, তাই তারা যে সময়ে সমস্ত কাজ শেষ করবে তার সমান হবে

উত্তরঃ ৭.২ দিন।

উদাহরণ. পুলটিতে দুটি পাইপ ইনস্টল করা আছে - সরবরাহ এবং স্রাব, এবং প্রথম পাইপের মাধ্যমে পুলটি দ্বিতীয় পাইপের মাধ্যমে পুল থেকে জল ঢেলে দেওয়ার চেয়ে 2 ঘন্টা বেশি সময় পূর্ণ হয়। যখন পুলটি এক-তৃতীয়াংশ পূর্ণ ছিল, তখন উভয় পাইপ খোলা হয়েছিল, এবং পুলটি 8 ঘন্টা পরে খালি হয়ে গিয়েছিল কত ঘন্টার মধ্যে একটি প্রথম পাইপের মাধ্যমে পুলটি ভরাট করা যেতে পারে এবং কত ঘন্টার মধ্যে একটি পূর্ণ পুল নিষ্কাশন করা যায়৷ দ্বিতীয় পাইপ?

সমাধান. দিন ভি মি 3 - পুলের আয়তন, এক্স m 3 / h - সরবরাহ পাইপের ক্ষমতা, এমি 3 / ঘন্টা - আউটলেট। তারপর ভি/ এক্স h - পুল পূরণ করার জন্য সরবরাহ পাইপের জন্য প্রয়োজনীয় সময়, ভি/ y h – আউটলেট পাইপের পুল নিষ্কাশনের জন্য প্রয়োজনীয় সময়। সমস্যার শর্ত অনুযায়ী ভি/ এক্স – ভি/ y = 2.

যেহেতু আউটলেট পাইপের ধারণক্ষমতা ফিলিং পাইপের ধারণক্ষমতার চেয়ে বেশি, উভয় পাইপ চালু হলে, পুলটি নিষ্কাশন করা হবে এবং পুলের এক তৃতীয়াংশ সময়মতো নিষ্কাশন করা হবে। (ভি/3)/(y – এক্স), যা, সমস্যার শর্ত অনুসারে, 8 ঘন্টার সমান তাই, সমস্যাটির অবস্থা তিনটি অজানা সহ দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম হিসাবে লেখা যেতে পারে:

সমস্যার মধ্যে আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে ভি/ এক্স এবং ভি/ y. আসুন সমীকরণে অজানাগুলির সংমিশ্রণ নির্বাচন করি ভি/ এক্স এবং ভি/ y, ফর্মে সিস্টেম লেখা:

নতুন অজানা পরিচয় ভি/ এক্স= কএবং ভি/ y = খ, আমরা নিম্নলিখিত সিস্টেম পেতে:

দ্বিতীয় সমীকরণে অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন ক= খ + 2, আমরা একটি সমীকরণ আছে খ:

আমরা কোনটি খুঁজে পাব তা নির্ধারণ করে খ 1 = 6, খ 2 = -8। সমস্যার শর্তগুলি প্রথম রুট 6, = 6 (h) দ্বারা সন্তুষ্ট হয়। শেষ সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা খুঁজে পাই ক= 8 (h), অর্থাৎ প্রথম পাইপটি 8 ঘন্টায় পুলটি পূরণ করে।

উত্তর: প্রথম পাইপের মাধ্যমে পুলটি 8 ঘন্টায় ভরাট হবে, দ্বিতীয় পাইপের মাধ্যমে পুলটি 6 ঘন্টায় নিষ্কাশন করা হবে।

উদাহরণ. একটি ট্রাক্টর দলকে অবশ্যই 240 হেক্টর জমিতে লাঙল দিতে হবে এবং অন্যটিকে প্রথমটির চেয়ে 35% বেশি লাঙ্গল করতে হবে। প্রথম দলটি, প্রতিদিন দ্বিতীয়টির চেয়ে 3 হেক্টর কম জমি চাষ করে, দ্বিতীয় দলের চেয়ে 2 দিন আগে কাজ শেষ করে। প্রতিটি দল দৈনিক কত হেক্টর লাঙ্গল চাষ করেছে?

সমাধান. আসুন 240 হেক্টরের 35% বের করি: 240 হেক্টর  35% /100% = 84 হেক্টর।

অতএব, দ্বিতীয় দলটিকে 240 হেক্টর + 84 হেক্টর = 324 হেক্টর জমিতে লাঙ্গল করতে হয়েছিল। প্রথম ব্রিগেড প্রতিদিন লাঙ্গল করুক এক্সহা তারপর দ্বিতীয় ব্রিগেড প্রতিদিন লাঙ্গল চালায় ( এক্স+ 3) হা; 240/ এক্স- প্রথম দলের কাজের সময়; 324/( এক্স+ 3) - দ্বিতীয় দলের কাজের সময়। সমস্যার শর্ত অনুসারে, প্রথম দলটি দ্বিতীয়টির চেয়ে 2 দিন আগে কাজ শেষ করেছে, তাই আমাদের সমীকরণ রয়েছে

যা রূপান্তরের পরে এভাবে লেখা যেতে পারে:

324এক্স – 240এক্স - 720 = 2x 2 + 6x=> 2x 2 – 78x + 720 = 0 => x 2 – 39x + 360 = 0।

দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করার পরে, আমরা x 1 = 24, x 2 = 15 পাই। এটি প্রথম ব্রিগেডের আদর্শ।

ফলস্বরূপ, দ্বিতীয় দল প্রতিদিন যথাক্রমে 27 হেক্টর এবং 18 হেক্টর জমি চাষ করেছিল। উভয় সমাধানই সমস্যার শর্ত পূরণ করে।

উত্তর: প্রথম ব্রিগেড দ্বারা প্রতিদিন 24 হেক্টর, দ্বিতীয় ব্রিগেড দ্বারা 27 হেক্টর চাষ করা হয়েছিল; প্রথম দল দ্বারা প্রতিদিন 15 হেক্টর, দ্বিতীয়টি 18 হেক্টর চাষ করা হয়েছিল।

উদাহরণ. মে মাসে, দুটি ওয়ার্কশপ 1,080টি যন্ত্রাংশ তৈরি করেছে। জুন মাসে, প্রথম কর্মশালাটি 15% দ্বারা যন্ত্রাংশের উত্পাদন বৃদ্ধি করেছিল, এবং দ্বিতীয়টি 12% দ্বারা যন্ত্রাংশের উত্পাদন বৃদ্ধি করেছিল, তাই উভয় কর্মশালায় 1224টি অংশ উত্পাদিত হয়েছিল। জুন মাসে প্রতিটি ওয়ার্কশপ কয়টি অংশ তৈরি করেছিল?

সমাধান. দিন এক্সপ্রথম কর্মশালা মে মাসে অংশ উত্পাদিত, এবিস্তারিত - দ্বিতীয়। যেহেতু 1080 টি যন্ত্রাংশ মে মাসে তৈরি করা হয়েছিল, সমস্যার শর্ত অনুসারে আমাদের সমীকরণ রয়েছে এক্স + y = 1080.

এর 15% খুঁজে বের করা যাক এক্স:

সুতরাং, 0.15 দ্বারা এক্সঅংশ, প্রথম কর্মশালা তার উত্পাদন আউটপুট বৃদ্ধি, অতএব, জুন এটি উত্পাদিত x + 0,15 এক্স = 1,15 এক্সবিস্তারিত একইভাবে, আমরা দেখতে পাই যে জুনের দ্বিতীয় কর্মশালায় 1.12 উৎপাদিত হয়েছে yবিস্তারিত এর মানে হল যে দ্বিতীয় সমীকরণটি এরকম দেখাবে: 1.15 এক্স + 1,12 এ= 1224. সুতরাং, আমাদের সিস্টেম আছে:

যা থেকে আমরা খুঁজে পাই x = 480, y = 600. ফলস্বরূপ, জুন মাসে কর্মশালাগুলি যথাক্রমে 552টি অংশ এবং 672টি যন্ত্রাংশ তৈরি করেছে।

উত্তর: প্রথম কর্মশালা 552 অংশ, দ্বিতীয় - 672 অংশ উত্পাদিত.

4. মিশ্রণ এবং শতাংশের সমস্যাগুলির গ্রুপে এমন সমস্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যেগুলির মধ্যে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভিন্ন পদার্থের মিশ্রণ জড়িত, সেইসাথে শতাংশের সমস্যাগুলি।

ঘনত্ব এবং শতাংশ সমস্যা

আসুন কিছু ধারণা পরিষ্কার করা যাক। এর একটি মিশ্রণ হতে দিন পৃবিভিন্ন পদার্থ (উপাদান) ক 1 ক 2 , ..., ক n যথাক্রমে, যার আয়তন সমান ভি 1 , ভি 2 , ..., ভি n . মিশ্রণ ভলিউম ভি 0 বিশুদ্ধ উপাদানের ভলিউম নিয়ে গঠিত: ভি 0 = ভি 1 + ভি 2 + ... + ভি n .

আয়তনের ঘনত্বপদার্থ ক i (i = 1, 2, ..., পি)একটি মিশ্রণে পরিমাণ বলা হয় গ i, সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

পদার্থ A এর আয়তনের শতাংশ i (i = 1, 2, ..., পি)একটি মিশ্রণে পরিমাণ বলা হয় পি i , সূত্র দ্বারা গণনা করা হয় আর i = সঙ্গে i ,  100%। ঘনত্ব সঙ্গে 1, সঙ্গে 2 , ..., সঙ্গে n, যা মাত্রাহীন পরিমাণ, সমতার সাথে সম্পর্কিত সঙ্গে 1 + এস 2 + ... + সে n = 1, এবং সম্পর্ক

মিশ্রণের মোট আয়তনের কোন অংশে পৃথক উপাদানের আয়তন রয়েছে তা দেখান।

শতাংশ জানা থাকলে iতম উপাদান, তারপর এর ঘনত্ব সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:

এটাই পাই – এই একাগ্রতা iমিশ্রণে তম পদার্থ, শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি পদার্থের শতাংশ 70% হয়, তাহলে এর সংশ্লিষ্ট ঘনত্ব 0.7। বিপরীতভাবে, যদি ঘনত্ব 0.33 হয়, তাহলে শতাংশ হল 33%। তাই পরিমাণ আর 1 + পি 2 + …+ পি n = 100%। যদি ঘনত্ব জানা যায় সঙ্গে 1 , সঙ্গে 2 , ..., সঙ্গে n উপাদান যে এই ভলিউম মিশ্রণ আপ ভি 0 , তারপর সূত্র দ্বারা উপাদানগুলির সংশ্লিষ্ট ভলিউম পাওয়া যায়:

ধারণাগুলি একইভাবে প্রবর্তিত হয় ওজন (ভর) conকেন্দ্রীকরণমিশ্রণের উপাদান এবং সংশ্লিষ্ট শতাংশ। এগুলিকে একটি বিশুদ্ধ পদার্থের ওজনের (ভর) অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় ক i , সমগ্র খাদ এর ওজন (ভর) একটি খাদ মধ্যে. একটি নির্দিষ্ট সমস্যায় কী ঘনত্ব, আয়তন বা ওজন, তা সর্বদা তার অবস্থা থেকে স্পষ্ট হয়।

কিছু সমস্যা আছে যেখানে ওজন ঘনত্ব বা তদ্বিপরীত থেকে ভলিউম ঘনত্ব পুনরায় গণনা করা প্রয়োজন। এটি করার জন্য, দ্রবণ বা খাদ তৈরি করে এমন উপাদানগুলির ঘনত্ব (নির্দিষ্ট মাধ্যাকর্ষণ) জানা প্রয়োজন। আসুন আমরা বিবেচনা করি, উদাহরণস্বরূপ, উপাদানগুলির ভলিউমেট্রিক ঘনত্ব সহ একটি দ্বি-উপাদানের মিশ্রণ সঙ্গে 1 এবং সঙ্গে 2 (সঙ্গে 1 + এস 2 = 1) এবং উপাদানগুলির নির্দিষ্ট মাধ্যাকর্ষণ d 1 এবং d 2 . সূত্র ব্যবহার করে মিশ্রণের ভর পাওয়া যাবে:

যেখানে ভি 1 এবং ভি 2 – মিশ্রণ তৈরির উপাদানের পরিমাণ। উপাদানগুলির ওজন ঘনত্ব সমতা থেকে পাওয়া যায়:

যা ভলিউমেট্রিক ঘনত্বের সাথে এই পরিমাণের সম্পর্ক নির্ধারণ করে।

একটি নিয়ম হিসাবে, এই ধরনের সমস্যার পাঠ্যগুলিতে এক এবং একই পুনরাবৃত্তি অবস্থা ঘটে: উপাদান ধারণকারী দুই বা ততোধিক মিশ্রণ থেকে ক 1 , ক 2 , ক 3 , ..., ক n , একটি নির্দিষ্ট অনুপাতে নেওয়া আসল মিশ্রণ মিশ্রিত করে একটি নতুন মিশ্রণ প্রস্তুত করা হয়। এই ক্ষেত্রে, উপাদানগুলির মধ্যে কী সম্পর্ক রয়েছে তা খুঁজে বের করা প্রয়োজন ক 1, ক 2 , ক 3 , ..., ক n ফলে মিশ্রণ অন্তর্ভুক্ত করা হবে. এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, প্রতিটি মিশ্রণের আয়তন বা ওজনের পরিমাণ এবং সেইসাথে এর উপাদান উপাদানগুলির ঘনত্ব বিবেচনা করা সুবিধাজনক। ক 1, ক 2 , ক 3 , ..., ক n . ঘনত্ব ব্যবহার করে, আপনাকে প্রতিটি মিশ্রণকে পৃথক উপাদানে "বিভক্ত" করতে হবে, এবং তারপর সমস্যা বিবৃতিতে নির্দিষ্ট পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি নতুন মিশ্রণ তৈরি করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, ফলাফলের মিশ্রণে প্রতিটি উপাদানের কতটা অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, সেইসাথে এই মিশ্রণের মোট পরিমাণ গণনা করা সহজ। এর পরে, উপাদানগুলির ঘনত্ব নির্ধারণ করা হয় ক 1, ক 2 , ক 3 , ..., ক n একটি নতুন মিশ্রণে।

উদাহরণ.তামা এবং দস্তার দুটি টুকরা রয়েছে যার তামার শতাংশ যথাক্রমে 80% এবং 30%। 60% তামাযুক্ত একটি সংকর ধাতু পেতে এই সংকর ধাতুগুলিকে একসাথে গলানোর জন্য কোন অনুপাতে নেওয়া উচিত?

সমাধান. প্রথম খাদ নেওয়া যাক এক্সকেজি, এবং দ্বিতীয় - একেজি. শর্ত অনুসারে, প্রথম সংকর ধাতুতে তামার ঘনত্ব 80/100 = 0.8, দ্বিতীয়টিতে - 30/100 = 0.3 (এটি স্পষ্ট যে আমরা ওজনের ঘনত্বের কথা বলছি), যার অর্থ হল প্রথম খাদটিতে 0.8 এক্সকেজি তামা এবং (1 - 0.8) এক্স = 0,2এক্সকেজি দস্তা, দ্বিতীয় - 0.3 একেজি তামা এবং (1 - 0.3) y = 0,7একেজি দস্তা। ফলস্বরূপ সংকর ধাতুতে তামার পরিমাণ (0.8  এক্স + 0,3  y) kg, এবং এই খাদটির ভর হবে (x + y)কেজি. অতএব, সংজ্ঞা অনুযায়ী, খাদ মধ্যে তামার নতুন ঘনত্ব, সমান

সমস্যার শর্ত অনুসারে, এই ঘনত্ব 0.6 এর সমান হওয়া উচিত। অতএব, আমরা সমীকরণ পাই:

এই সমীকরণে দুটি অজানা রয়েছে এক্সএবং uযাইহোক, সমস্যার শর্ত অনুযায়ী, এটি নিজেরাই যে পরিমাণ নির্ধারণ করতে হবে তা নয় এক্সএবং y,কিন্তু শুধুমাত্র তাদের মনোভাব। সহজ রূপান্তর পরে আমরা পেতে

উত্তর: 3: 2 অনুপাতে সংকর ধাতু গ্রহণ করা উচিত।

উদাহরণপানিতে সালফিউরিক অ্যাসিডের দুটি সমাধান রয়েছে: প্রথমটি 40%, দ্বিতীয়টি 60%। এই দুটি সমাধান মিশ্রিত করা হয়েছিল, তারপরে 20% সমাধান পেতে 5 কেজি বিশুদ্ধ জল যোগ করা হয়েছিল। যদি 5 কেজি বিশুদ্ধ জলের পরিবর্তে আমরা 80% দ্রবণে 5 কেজি যোগ করি, তাহলে আমরা 70% দ্রবণ পাব। কত 40% এবং 60% সমাধান ছিল?

সমাধান. দিন এক্সকেজি - প্রথম দ্রবণের ভর, একেজি - সেকেন্ড। তারপর 20% দ্রবণের ভর ( এক্স + এ+ 5) কেজি। মধ্যে থেকে এক্স 40% দ্রবণের কেজিতে 0.4 থাকে এক্সকেজি অ্যাসিড, ইন এ 60% দ্রবণের কেজিতে 0.6 থাকে yকেজি অ্যাসিড, এবং (x + y + 5) 20% দ্রবণের কেজিতে 0.2( এক্স + y + 5) কেজি অ্যাসিড, তারপর শর্ত অনুসারে আমাদের প্রথম সমীকরণ 0.4 আছে এক্স + 0,6y = 0,2(এক্স +y + 5).

যদি 5 কেজি জলের পরিবর্তে আপনি 80% দ্রবণে 5 কেজি দ্রবণ যোগ করেন তবে আপনি একটি ওজনের দ্রবণ পাবেন (x + y+ 5) কেজি, যার মধ্যে থাকবে (0.4 এক্স + 0,6এ+ 0.8  5) কেজি অ্যাসিড, যার 70% হবে (x + y+ 5) কেজি।

আপনার ভাল কাজ পাঠান জ্ঞান ভাণ্ডার সহজ. নীচের ফর্ম ব্যবহার করুন

ছাত্র, স্নাতক ছাত্র, তরুণ বিজ্ঞানী যারা তাদের অধ্যয়ন এবং কাজে জ্ঞানের ভিত্তি ব্যবহার করেন তারা আপনার কাছে খুব কৃতজ্ঞ হবেন।

পোস্ট করা হয়েছে http://www.allbest.ru/

ভূমিকা

1.1 একটি শব্দ সমস্যার ধারণা

1.2 গাণিতিক সমস্যার প্রকারভেদ

1.3 গণিতে সমস্যার ভূমিকা

1.4 শব্দ সমস্যা সমাধানের পর্যায় এবং তাদের বাস্তবায়নের কৌশল

1.5 শব্দ সমস্যা সমাধানের কিছু উপায়

2.4 শতাংশ জড়িত সমস্যা

2.5 সহযোগিতার কাজ

উপসংহার

সাহিত্য

ভূমিকা

আমরা শিক্ষার্থীদের অনেক ধরনের সমস্যার সমাধান করতে শেখাতে পারি, কিন্তু প্রকৃত তৃপ্তি তখনই আসবে যখন আমরা আমাদের শিক্ষার্থীদের কাছে শুধু জ্ঞান নয়, মনের নমনীয়তা জানাতে সক্ষম হব। U.U. সায়ার

সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতা গাণিতিক বিকাশের স্তর এবং শিক্ষাগত উপাদানগুলির আয়ত্তের গভীরতার অন্যতম প্রধান সূচক। স্কুলের প্রথম দিন থেকে, একটি শিশু একটি কাজের সম্মুখীন হয়। স্কুলের শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত, একটি গাণিতিক সমস্যা সবসময় ছাত্রকে সঠিক গাণিতিক ধারণা বিকাশে সাহায্য করে, তার চারপাশের জীবনের সম্পর্কের বিভিন্ন দিক আরও ভালভাবে বুঝতে এবং অধ্যয়ন করা তাত্ত্বিক নীতিগুলিকে প্রয়োগ করা সম্ভব করে। শব্দ সমস্যা গণিত শেখানোর জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার। তাদের সাহায্যে, শিক্ষার্থীরা পরিমাণের সাথে কাজ করার অভিজ্ঞতা অর্জন করে, তাদের মধ্যে সম্পর্ক বুঝতে পারে এবং ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য গণিত প্রয়োগ করার অভিজ্ঞতা অর্জন করে। সমস্যা সমাধানের জন্য গাণিতিক পদ্ধতির ব্যবহার চতুরতা এবং বুদ্ধিমত্তা বিকাশ করে, প্রশ্ন তোলার এবং উত্তর দেওয়ার ক্ষমতা, অর্থাৎ প্রাকৃতিক ভাষা বিকাশ করে। শব্দ সমস্যা সমাধানের জন্য গাণিতিক পদ্ধতিগুলি আপনাকে সমস্যা পরিস্থিতি বিশ্লেষণ করার ক্ষমতা বিকাশ করতে দেয়, পরিচিত এবং অজানা পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক বিবেচনা করে একটি সমাধান পরিকল্পনা তৈরি করতে দেয় (সমস্যার ধরণ বিবেচনা করে), কাঠামোর মধ্যে প্রতিটি কর্মের ফলাফল ব্যাখ্যা করে। সমস্যার অবস্থার, বিপরীত সমস্যাটি অঙ্কন করে এবং সমাধান করে সমাধানের সঠিকতা পরীক্ষা করুন, অর্থাত্ গুরুত্বপূর্ণ সাধারণ শিক্ষাগত দক্ষতা গঠন এবং বিকাশ করা।

শব্দ সমস্যা সমাধানের জন্য গাণিতিক পদ্ধতি শিশুদেরকে প্রথম বিমূর্ততায় অভ্যস্ত করে তোলে, তাদের একটি যৌক্তিক সংস্কৃতি গড়ে তুলতে দেয় এবং একটি সমস্যা সমাধান এবং গণিত অধ্যয়নের ক্ষেত্রে স্কুলছাত্রীদের মধ্যে একটি নান্দনিক বোধের বিকাশে অবদান রাখতে পারে, এই প্রক্রিয়ায় প্রথমে আগ্রহ জাগিয়ে তোলে। একটি সমস্যার সমাধান খুঁজে বের করা, এবং তারপর অধ্যয়ন করা বিষয়ের মধ্যে।

শব্দ সমস্যাগুলি স্কুলছাত্রীদের একটি উল্লেখযোগ্য অংশের জন্য ঐতিহ্যগতভাবে কঠিন উপাদান। অনুশীলনে, বেশিরভাগ শিক্ষক সমস্যা সমাধানের দিকে খুব কম মনোযোগ দেন শিক্ষার্থীরা প্রায়শই জানেন না যে কীভাবে প্রয়োজনীয় ডেটা সনাক্ত করতে হয় এবং সমস্যাটিতে অন্তর্ভুক্ত পরিমাণের মধ্যে সংযোগ স্থাপন করতে হয়; একটি সমাধান পরিকল্পনা আঁকুন এবং প্রাপ্ত ফলাফল পরীক্ষা করুন।

আমার স্নাতক কাজের উদ্দেশ্য হল গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে শব্দ সমস্যা সমাধান শেখানোর পদ্ধতি অধ্যয়ন করা, একটি শব্দ সমস্যার গঠন বিবেচনা করা, গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের পর্যায়গুলি, সমস্যাগুলি সমাধানের অসুবিধাগুলি দেখানো, দক্ষতা এই অসুবিধাগুলি কাটিয়ে উঠতে এবং ব্যক্তিগত অনুশীলন থেকে শব্দ সমস্যাগুলি সমাধানের পাটিগণিত পদ্ধতির ব্যবহার।

অধ্যয়নের উদ্দেশ্য হল গণিত পাঠের শিক্ষাগত প্রক্রিয়া।

কাজের উদ্দেশ্য:

- এই বিষয়ে মনস্তাত্ত্বিক এবং শিক্ষাগত সাহিত্য বিশ্লেষণ করুন; শব্দ সমস্যা সমাধান শেখানোর লক্ষ্যে বৈজ্ঞানিক এবং পদ্ধতিগত সাহিত্য অধ্যয়ন;

- একটি পাঠ্য সমস্যার বৈশিষ্ট্য এবং এটির সাথে কাজ করার পদ্ধতি বিবেচনা করুন;

– শব্দ সমস্যা সমাধানে পাটিগণিত পদ্ধতির ব্যবহার দেখাও।

কাজের কাঠামো। আমার কাজ একটি ভূমিকা নিয়ে গঠিত, অধ্যায় "একটি শব্দ সমস্যার বৈশিষ্ট্য এবং এটির সাথে কাজ করার পদ্ধতি" এবং "স্কুলের বাচ্চাদের শেখানো কিভাবে একটি গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে শব্দ সমস্যাগুলি সমাধান করতে হয়" এবং একটি উপসংহার। প্রথম অধ্যায়ে, আমি একটি শব্দ সমস্যার ধারণা, সমস্যার ধরন, সমস্যা সমাধানের অর্থ কী, গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়ার পর্যায়গুলি দেখেছি, আমি শব্দ সমাধানের দিকে তাকিয়েছি নড়াচড়ার সমস্যার উদাহরণ ব্যবহার করে গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা, একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ এবং তার মাত্রার ভগ্নাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে বের করার ক্ষেত্রে, শতাংশ গণনার সমস্যা, যৌথ কাজের জন্য; সারণী ব্যবহার করে সমাধান করা সমস্যা, সমস্যায় গাণিতিক গড়। আমি শ্রেণীকক্ষে শব্দ সমস্যা সমাধানের জন্য শিক্ষার্থীদের শেখানোর পদ্ধতি, পাঠদানে তাদের স্থান এবং শিক্ষাগত প্রক্রিয়া দেখানোর চেষ্টা করেছি। আমার কাজে আমি আমার ব্যক্তিগত অভিজ্ঞতা ব্যবহার করে শব্দ সমস্যা সমাধানের জন্য গাণিতিক পদ্ধতির নির্দিষ্ট প্রয়োগ দেখাতে চাই।

এই বিষয়ে যথেষ্ট সাহিত্য আছে। তাদের কিছু বিশ্লেষণ করে, আমি S. Lukyanova "পাটিগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে শব্দ সমস্যার সমাধান" বইটি নোট করতে চাই। লেখক জটিলতার বিভিন্ন স্তরের প্রায় 200টি সমস্যা পরীক্ষা করেন, যার বেশিরভাগের জন্য একটি সমাধান প্রস্তাবিত হয় (কিছু পদ্ধতির জন্য), যার প্রতিটি শুধুমাত্র গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের সাহায্যে বাস্তবায়িত হয়, যা আমাদেরকে গাণিতিকের সেরা ঐতিহ্যগুলিতে ফিরিয়ে দেয় শিক্ষা, শিক্ষার প্রাথমিক পর্যায়ে সমীকরণের ব্যবহার ত্যাগ করার এবং সমস্যা সমাধানের জন্য গাণিতিক পদ্ধতির বৃহত্তর ব্যবহারে ফিরে আসার প্রয়োজনীয়তা সম্পর্কে, ঐতিহ্যগত শিক্ষাদান পদ্ধতির সাথে সামঞ্জস্য করা এবং এর ব্যবহারের বৈশিষ্ট্যগত ত্রুটিগুলি এড়ানোর চেষ্টা করা পাঠ্যপুস্তকে ফ্রাইডম্যান এল.এম. দ্বারা “গণিতের প্লট সমস্যা। ইতিহাস, তত্ত্ব, পদ্ধতি" বলে যে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করার সময়, বিস্তৃত সমস্যাগুলির জন্য প্রযোজ্য একটি বেছে নেওয়া পছন্দনীয় এবং এমন অনেকগুলি সমস্যা রয়েছে যা বীজগণিতের চেয়ে গাণিতিকভাবে সমাধান করা সহজ, এবং সেগুলি রয়েছে বীজগণিতের জন্য সম্পূর্ণরূপে অগম্য, যদিও পাটিগণিতের জন্য কঠিন নয়।

আমার কাজে আমি শিক্ষাগত এবং পদ্ধতিগত সংবাদপত্র “গণিত” নং 23 - 2005 (পাবলিশিং হাউস “সেপ্টেম্বরের প্রথম”), “অপ্রথাগত পাঠের উপকরণ ব্যবহার করেছি। গণিত 5-11 গ্রেড।" (M.E. Kozina, M.E. Fadeeva - Volgograd, 2008), 5-6 গ্রেডের জন্য পদ্ধতিগত সুপারিশ, 5-6 গ্রেডের জন্য শিক্ষামূলক উপকরণ (M.K. Potapov, A.V. Shevkin) এবং অন্যান্য।

অধ্যায় I. একটি শব্দ সমস্যার বৈশিষ্ট্য এবং এটির সাথে কাজ করার পদ্ধতি

সমাধান শব্দ সমস্যা গাণিতিক

গণিত হল চিন্তার একটি হাতিয়ার; এর অস্ত্রাগারে প্রচুর পরিমাণে সমস্যা রয়েছে যা হাজার হাজার বছর ধরে মানুষের চিন্তাভাবনা গঠনে, অ-মানক সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতা এবং সম্মানের সাথে কঠিন পরিস্থিতি কাটিয়ে উঠতে অবদান রেখেছে।

শব্দের সমস্যা নিয়ে কাজ করা, সমস্যা সমাধানের বিভিন্ন উপায় অনুসন্ধান এবং তুলনা করার জন্য, গাণিতিক মডেল তৈরি করা এবং সমস্যা সমাধানের সময় দক্ষতার সাথে তাদের নিজস্ব যুক্তি প্রকাশ করার জন্য শিশুদের মনোযোগ আকর্ষণ করার জন্য যথেষ্ট সময় ব্যয় করা উচিত।

1.1 একটি শব্দ সমস্যার ধারণা

শব্দ সমস্যার সমাধান ছাত্রদের উন্নয়ন এবং শিক্ষার জন্য সমৃদ্ধ উপাদান প্রদান করে। এই কাজগুলি প্রাকৃতিক ভাষায় প্রণয়ন করা হয়, এই কারণে তাদের পাঠ্য কাজ বলা হয়। তারা সাধারণত কিছু ঘটনা বা ঘটনার পরিমাণগত দিক বর্ণনা করে, যে কারণে তাদের প্রায়শই প্লট বলা হয়। সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে, শিক্ষার্থীরা নতুন গাণিতিক জ্ঞান অর্জন করে এবং ব্যবহারিক কার্যক্রমের জন্য প্রস্তুত হয়। কাজগুলি তাদের যৌক্তিক চিন্তাভাবনা বিকাশে সহায়তা করে। শিক্ষার্থীদের ব্যক্তিত্ব বিকাশে সমস্যা সমাধানেরও অনেক গুরুত্ব রয়েছে। অতএব, এটা গুরুত্বপূর্ণ যে শিক্ষকের পাঠ্য সমস্যা, এর গঠন সম্পর্কে গভীর ধারণা রয়েছে এবং বিভিন্ন উপায়ে এই জাতীয় সমস্যাগুলি কীভাবে সমাধান করা যায় তা জানেন। "একটি কাজ হল একটি প্রয়োজনীয়তা বা একটি প্রশ্ন যার একটি উত্তর খুঁজে পাওয়া উচিত, টাস্কে উল্লেখিত শর্তগুলির উপর ভিত্তি করে এবং সেগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে," উল্লেখ করেছেন এল.এম. ফ্রিডম্যান তার রচনায় "গণিতে প্লট সমস্যা।"

একটি পাঠ্য কাজ হল প্রাকৃতিক ভাষায় একটি নির্দিষ্ট পরিস্থিতির বর্ণনা যাতে এই পরিস্থিতির যে কোনও উপাদানের পরিমাণগত বিবরণ দেওয়া, এর উপাদানগুলির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্কের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি স্থাপন করা বা এই সম্পর্কের ধরন নির্ধারণ করা প্রয়োজন। . পাঠ্য সমস্যাগুলি বিমূর্ত বিষয়বস্তুর হতে পারে, যখন পাঠ্যটি সংখ্যার মধ্যে সম্পর্কগুলিকে মৌখিকভাবে বর্ণনা করে (দুটি সংখ্যা সন্ধান করুন যদি তাদের একটি অন্যটির চেয়ে 18 বেশি হয় এবং তাদের যোগফল 80 হয়) বা একটি নির্দিষ্ট প্লট (স্টেডিয়ামে প্রবেশের জন্য একটি টিকিট) খরচ 160 রুবেল ভর্তি ফি হ্রাস করার পরে, দর্শকের সংখ্যা 50% বৃদ্ধি পেয়েছে এবং 25% বেড়েছে।

প্রতিটি কাজ শর্ত এবং লক্ষ্যের একতা। যদি এই উপাদানগুলির একটি অনুপস্থিত থাকে, তাহলে কোন কাজ নেই। এই ধরনের ঐক্য বজায় রাখার সময় একটি সমস্যার টেক্সট বিশ্লেষণ করার জন্য এটি মনে রাখা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এর মানে হল যে টাস্ক শর্তগুলির বিশ্লেষণ অবশ্যই টাস্ক প্রশ্নের সাথে সম্পর্কযুক্ত হতে হবে এবং বিপরীতভাবে, টাস্ক প্রশ্নটিকে শর্তের সাথে একটি দিকনির্দেশক পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ করতে হবে। এগুলিকে ছিন্ন করা যায় না, কারণ তারা একটি সম্পূর্ণ গঠন করে।

একটি গাণিতিক সমস্যা একটি সম্পর্কিত ল্যাকনিক গল্প যেখানে নির্দিষ্ট পরিমাণের মানগুলি চালু করা হয় এবং এটি পরিমাণের অন্যান্য অজানা মানগুলি খুঁজে বের করার প্রস্তাব করা হয় যা ডেটার উপর নির্ভর করে এবং শর্তে নির্দিষ্ট কিছু সম্পর্কের দ্বারা এটির সাথে সম্পর্কিত।

যেকোনো পাঠ্য কার্য দুটি অংশ নিয়ে গঠিত: শর্ত এবং প্রয়োজনীয়তা (প্রশ্ন), এবং শর্ত এবং প্রয়োজনীয়তা পরস্পর সম্পর্কিত।

শর্তে বস্তু এবং কিছু পরিমাণ সম্পর্কে তথ্য রয়েছে যা বস্তুর ডেটা বৈশিষ্ট্যযুক্ত করে, এই পরিমাণের পরিচিত এবং অজানা মান সম্পর্কে, তাদের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে।

কাজের প্রয়োজনীয়তাগুলি কী খুঁজে পাওয়া দরকার তার একটি ইঙ্গিত। এটি বাধ্যতামূলক বা জিজ্ঞাসাবাদমূলক আকারে একটি বাক্য হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে ("সাইকেল আরোহীদের গতি খুঁজুন" বা "তিন দিনের প্রতিটিতে পর্যটক কত কিলোমিটার হাঁটলেন?")। একটি কাজের জন্য বেশ কিছু প্রয়োজনীয়তা থাকতে পারে।

সমস্যাটি বিবেচনা করুন: একটি সোয়েটার, টুপি এবং স্কার্ফ 1 কেজি 200 গ্রাম উল থেকে বোনা হয়। স্কার্ফের জন্য টুপির চেয়ে 100 গ্রাম বেশি উল এবং সোয়েটারের চেয়ে 400 গ্রাম কম প্রয়োজন। আপনি প্রতিটি আইটেমের জন্য কত উল ব্যবহার করেছেন?

সমস্যা বস্তু: স্কার্ফ, টুপি, সোয়েটার. এই বস্তুর বিষয়ে কিছু বিবৃতি এবং প্রয়োজনীয়তা আছে।

বিবৃতি: সোয়েটার, টুপি, স্কার্ফ 1200 গ্রাম উল থেকে বোনা হয়।

আমরা টুপির চেয়ে স্কার্ফে 100 গ্রাম বেশি ব্যয় করেছি।

আমরা সোয়েটারের চেয়ে টুপিতে 400 গ্রাম কম খরচ করেছি।

প্রয়োজনীয়তা: আপনি সোয়েটারের জন্য কতটা উল ব্যবহার করেছেন?

আপনি টুপি জন্য কত উল ব্যবহার করেছেন?

আপনি স্কার্ফ জন্য কত উল ব্যবহার করেছেন?

সমস্যাটির তিনটি অজানা মান রয়েছে, যার মধ্যে একটি সমস্যাটির প্রয়োজনীয়তার মধ্যে রয়েছে। পরিমাণের এই মানটিকে কাঙ্ক্ষিত মান বলা হয়।

কখনও কখনও টাস্কগুলি এমনভাবে গঠিত হয় যে শর্তের অংশ বা সমস্ত শর্ত একটি বাক্যে টাস্কের প্রয়োজনীয়তার সাথে অন্তর্ভুক্ত করা হয়।

বাস্তব জীবনে, বিভিন্ন ধরণের সমস্যা পরিস্থিতি প্রায়শই দেখা দেয়। তাদের ভিত্তিতে প্রণয়ন করা কার্যগুলিতে অপ্রয়োজনীয় তথ্য থাকতে পারে, অর্থাৎ, এমন তথ্য যা কাজের প্রয়োজনীয়তা পূরণের জন্য প্রয়োজন হয় না।

জীবনে উদ্ভূত সমস্যা পরিস্থিতির উপর ভিত্তি করে, এমন কাজগুলিও প্রণয়ন করা যেতে পারে যেখানে প্রয়োজনীয়তা পূরণের জন্য পর্যাপ্ত তথ্য নেই। তাই সমস্যায়: "প্রতিটি ব্যারেলে কত লিটার জল আছে, যদি প্রথমটিতে অন্যটির চেয়ে 48 লিটার বেশি থাকে?" - তার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য পর্যাপ্ত ডেটা নেই। এই সমস্যা সমাধানের জন্য, অনুপস্থিত ডেটা দিয়ে এটি সম্পূরক করা প্রয়োজন।

উপলব্ধ এবং নির্ণায়ক মানগুলির উপর নির্ভর করে পর্যাপ্ত ডেটা সহ একই সমস্যাটিকে সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

এই ধারণার সংকীর্ণ অর্থে কাজটি বিবেচনা করে, নিম্নলিখিত উপাদানগুলিকে আলাদা করা যেতে পারে:

1. প্লটের একটি মৌখিক উপস্থাপনা, যেখানে পরিমাণের মধ্যে কার্যকরী সম্পর্ক, যার সংখ্যাসূচক মানগুলি সমস্যাটিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, স্পষ্টভাবে বা একটি আবৃত আকারে নির্দেশিত হয়।

2. পরিমাণের সংখ্যাসূচক মান বা সংখ্যাসূচক ডেটা সমস্যাটির পাঠ্যে উল্লেখ করা হয়েছে।

একটি কাজ, সাধারণত একটি প্রশ্নের আকারে প্রণয়ন করা হয়, যা এক বা একাধিক পরিমাণের অজানা মানগুলি খুঁজে বের করতে বলে। এই মানগুলিকে চাওয়া মান বলা হয়।

শিক্ষার্থীর প্রশিক্ষণ ও শিক্ষায় টাস্কের ভূমিকা এবং এর অবস্থান বোঝার জন্য, শিক্ষককে অবশ্যই টাস্ক নির্বাচন এবং সমাধানের পদ্ধতির পছন্দ যুক্তিসঙ্গতভাবে এবং স্পষ্টভাবে জানতে হবে যে কাজটি শিক্ষার্থীকে দেওয়া সমস্যাটি সমাধান করার সময় কী দেওয়া উচিত। তাকে.

1.2 গাণিতিক সমস্যার প্রকারভেদ

সমস্ত গাণিতিক সমস্যা, তাদের সমাধান করার জন্য সম্পাদিত কর্মের সংখ্যা অনুসারে, সরল এবং যৌগিকভাবে বিভক্ত। একটি সমস্যা যার জন্য আপনাকে একবার একটি গাণিতিক অপারেশন করতে হবে তাকে সহজ বলা হয়। একটি কাজ যার জন্য বেশ কয়েকটি ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে তাকে যৌগিক কাজ বলে।

সাধারণ সমস্যাগুলি গণিত শিক্ষাদানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সাধারণ সমস্যাগুলি সমাধান করে, প্রাথমিক গণিত কোর্সের কেন্দ্রীয় ধারণাগুলির মধ্যে একটি গঠিত হয় - গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের ধারণা এবং অন্যান্য অনেকগুলি ধারণা। সাধারণ সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতা হল ছাত্রদের যৌগিক সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতা আয়ত্ত করার জন্য একটি প্রস্তুতিমূলক পর্যায়, যেহেতু একটি যৌগিক সমস্যা সমাধান করা অনেকগুলি সাধারণ সমস্যার সমাধানে নেমে আসে। সাধারণ সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, সমস্যা এবং এর উপাদানগুলির সাথে প্রথম পরিচিতি ঘটে। সাধারণ সমস্যাগুলি সমাধানের ক্ষেত্রে, শিশুরা একটি সমস্যা নিয়ে কাজ করার প্রাথমিক কৌশলগুলি আয়ত্ত করে।

একটি যৌগিক সমস্যা এমনভাবে আন্তঃসংযুক্ত কয়েকটি সাধারণ সমস্যা অন্তর্ভুক্ত করে যাতে কিছু সাধারণ সমস্যার প্রয়োজনীয় মান অন্যদের জন্য ডেটা হিসাবে কাজ করে। একটি যৌগিক সমস্যা সমাধানের জন্য এটিকে কয়েকটি সাধারণ সমস্যায় ভাগ করা এবং সেগুলিকে ক্রমানুসারে সমাধান করা হয়। এইভাবে, একটি যৌগিক সমস্যা সমাধানের জন্য, ডেটা এবং পছন্দসইটির মধ্যে সংযোগের একটি সিস্টেম স্থাপন করা প্রয়োজন, যা অনুসারে নির্বাচন এবং তারপরে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করতে হবে।

এটির উপর ভিত্তি করে একটি অভিব্যক্তি রচনা করে একটি যৌগিক সমস্যার সমাধান রেকর্ড করা ছাত্রদের সমস্যার উপর কাজ করার যৌক্তিক দিকে তাদের মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করতে এবং সামগ্রিকভাবে এটি সমাধানের অগ্রগতি দেখতে দেয়। একই সময়ে, শিশুরা একটি সমস্যা সমাধান এবং সময় বাঁচানোর জন্য একটি পরিকল্পনা লিখতে শেখে।

একটি যৌগিক সমস্যা সমাধানে, একটি সাধারণ সমস্যা সমাধানের তুলনায় অপরিহার্যভাবে নতুন কিছু আবির্ভূত হয়েছে: এখানে একটি সংযোগ স্থাপন করা হয়নি, তবে বেশ কয়েকটি, যার সাথে পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপগুলি বিকাশ করা হয়েছে। অতএব, যৌগিক সমস্যাগুলির সাথে শিশুদের পরিচিত করার পাশাপাশি যৌগিক সমস্যা সমাধানে তাদের দক্ষতা বিকাশের জন্য বিশেষ কাজ করা হয়।

1.3 গণিতে সমস্যার ভূমিকা

শব্দ সমস্যা গণিতে একটি উল্লেখযোগ্য স্থান দখল করে। গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের অর্থ বিবেচনা করার সময়, ক্রিয়াগুলির মধ্যে বিদ্যমান সংযোগ এবং ক্রিয়াগুলির উপাদান এবং ফলাফলের মধ্যে সম্পর্ক, সংশ্লিষ্ট সাধারণ সমস্যাগুলি (একটি গাণিতিক অপারেশন দ্বারা সমাধান করা সমস্যাগুলি) অবশ্যই ব্যবহৃত হয়। শব্দ সমস্যাগুলি গাণিতিক সম্পর্কের সাথে শিশুদের পরিচয় করিয়ে দেওয়ার অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ মাধ্যম হিসাবে কাজ করে; এগুলি অনুপাত বোঝার জন্য ব্যবহৃত হয়, সেইসাথে বীজগণিতের উপাদানগুলিকে বিবেচনা করার সময়ও।

জ্ঞান গঠনের জন্য কংক্রিট উপাদান হিসাবে কাজ করে, কাজগুলি অনুশীলনের সাথে তত্ত্বকে সংযুক্ত করার, জীবনের সাথে শেখার সুযোগ দেয়। সমস্যার সমাধান শিশুদের মধ্যে দৈনন্দিন জীবনে প্রতিটি ব্যক্তির জন্য প্রয়োজনীয় ব্যবহারিক দক্ষতা বিকাশ করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি কেনাকাটার খরচ গণনা করুন, ট্রেনটি মিস না করার জন্য আপনাকে কখন ছাড়তে হবে তা গণনা করুন ইত্যাদি।

নতুন জ্ঞান প্রবর্তনের জন্য এবং শিশুরা ইতিমধ্যে যে জ্ঞান রয়েছে তা প্রয়োগ করার জন্য একটি সুনির্দিষ্ট ভিত্তি হিসাবে কাজের ব্যবহার শিশুদের মধ্যে একটি বস্তুবাদী বিশ্বদর্শনের উপাদান গঠনে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে, শিক্ষার্থী নিশ্চিত হয় যে অনেক গাণিতিক ধারণার শিকড় বাস্তব জীবনে, মানুষের অনুশীলনে রয়েছে। সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে, শিশুরা জ্ঞানগত এবং শিক্ষাগত দৃষ্টিকোণ থেকে গুরুত্বপূর্ণ এমন তথ্যের সাথে পরিচিত হয়। অনেক কাজের বিষয়বস্তু শিশু এবং প্রাপ্তবয়স্কদের কাজ, জাতীয় অর্থনীতি, প্রযুক্তি, বিজ্ঞান এবং সংস্কৃতির ক্ষেত্রে আমাদের দেশের অর্জনকে প্রতিফলিত করে।

একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়াটি স্কুলছাত্রীদের মানসিক বিকাশের উপর খুব ইতিবাচক প্রভাব ফেলে, যেহেতু এটির জন্য মানসিক ক্রিয়াকলাপগুলির কার্যকারিতা প্রয়োজন: বিশ্লেষণ এবং সংশ্লেষণ, সংমিশ্রণ এবং বিমূর্তকরণ, তুলনা, সাধারণীকরণ। এইভাবে, কোন সমস্যা সমাধান করার সময়, ছাত্র একটি বিশ্লেষণ সঞ্চালন করে: শর্ত থেকে প্রশ্ন আলাদা করে, ডেটা এবং প্রয়োজনীয় সংখ্যা নির্বাচন করে; একটি সমাধান পরিকল্পনার রূপরেখা তৈরি করে, তিনি একটি সংশ্লেষণ করেন, কংক্রিটাইজেশন ব্যবহার করে (মানসিকভাবে সমস্যার অবস্থা আঁকেন), এবং তারপরে বিমূর্ততা (নির্দিষ্ট পরিস্থিতি থেকে বিমূর্ত করা, গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ বেছে নেওয়া); একটি নির্দিষ্ট ধরণের সমস্যার বারবার সমাধানের ফলে, শিক্ষার্থী ডেটা এবং এই ধরণের সমস্যাগুলির মধ্যে যা চাওয়া হয় তার মধ্যে সংযোগের জ্ঞানকে সাধারণীকরণ করে, যার ফলস্বরূপ এই ধরণের সমস্যাগুলি সমাধানের পদ্ধতিটি সাধারণীকরণ করা হয়।

সমস্যাগুলি শিশুদের মধ্যে যৌক্তিক চিন্তাভাবনা বিকাশের একটি কার্যকর উপায়, বিশ্লেষণ এবং সংশ্লেষণ পরিচালনা করার ক্ষমতা, সাধারণীকরণ, বিমূর্ত এবং সংহতকরণ এবং বিবেচনাধীন ঘটনার মধ্যে বিদ্যমান সংযোগগুলি প্রকাশ করে। সমস্যা সমাধান একটি ব্যায়াম যা চিন্তার বিকাশ ঘটায়। তদুপরি, সমস্যাগুলি সমাধান করা ধৈর্য, ​​অধ্যবসায়, ইচ্ছাশক্তি বিকাশে সহায়তা করে, একটি সমাধান খোঁজার প্রক্রিয়ায় আগ্রহ জাগ্রত করতে সহায়তা করে এবং একটি সফল সমাধানের সাথে জড়িত গভীর সন্তুষ্টি অনুভব করা সম্ভব করে তোলে।

গণিতের মূল বিষয়গুলি আয়ত্ত করা একটি সমস্যা সমাধান এবং বিশ্লেষণ না করে কল্পনা করা যায় না, যা গণিতের জ্ঞানের শৃঙ্খলের একটি গুরুত্বপূর্ণ লিঙ্কগুলির মধ্যে একটি এই ধরনের কার্যকলাপ শুধুমাত্র গণিতের অধ্যয়নকে সক্রিয় করে না, বরং একটি গভীর বোঝার পথও প্রশস্ত করে। এর একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক সমস্যা সমাধানের অগ্রগতি বোঝার জন্য কাজ করা শিশুর চিন্তাভাবনার বিকাশকে গতি দেয়। সমস্যাগুলির সমাধানকে নিজের মধ্যেই শেষ হিসাবে বিবেচনা করা যায় না; সেগুলিকে তাত্ত্বিক নীতিগুলির গভীরভাবে অধ্যয়নের উপায় হিসাবে দেখা উচিত এবং একই সাথে চিন্তাভাবনা বিকাশের একটি উপায়, আশেপাশের বাস্তবতা সম্পর্কে সচেতনতার একটি পথ, বোঝার একটি পথ হিসাবে দেখা উচিত। বিশ্ব. উপরন্তু, আমাদের ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে সমস্যার সমাধান শিশুদের মধ্যে ইতিবাচক চরিত্রের বৈশিষ্ট্য গড়ে তোলে এবং তাদের নান্দনিকভাবে বিকাশ করে।

1.4 পরীক্ষার সমস্যা সমাধানের পর্যায় এবং তাদের বাস্তবায়নের কৌশল

সময়ের পরিপ্রেক্ষিতে এবং শিশুর মানসিক বিকাশের উপর তাদের প্রভাব উভয় ক্ষেত্রেই সমস্যা এবং তাদের সমাধান স্কুলছাত্রীদের শিক্ষায় একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ স্থান দখল করে। একটি সমস্যার সমাধান হল ফলাফল, অর্থাৎ সমস্যার প্রয়োজনের উত্তর, ফলাফল খোঁজার প্রক্রিয়া। তদুপরি, এই প্রক্রিয়াটিকে দুটি উপায়ে বিবেচনা করা হয়: ফলাফল খোঁজার পদ্ধতি এবং সেই ক্রিয়াগুলির ক্রম যা সিদ্ধান্তকারী এক বা অন্য পদ্ধতি ব্যবহার করে সম্পাদন করে। অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে, একটি সমস্যা সমাধান করা মানে সমস্যা সমাধানকারী ব্যক্তির সমস্ত কার্যকলাপ। শব্দ সমস্যা সমাধানের প্রধান পদ্ধতি হল পাটিগণিত এবং বীজগণিত। একটি গাণিতিক উপায়ে একটি সমস্যা সমাধান করা মানে সংখ্যার উপর গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করে সমস্যার প্রয়োজনীয়তার উত্তর খুঁজে পাওয়া।

সমস্যা সমাধান করা কিছুটা অস্বাভাবিক কাজ, নাম মানসিক কাজ। এবং যে কোনও কাজ শেখার জন্য, আপনাকে প্রথমে সেই উপাদানগুলিকে পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে অধ্যয়ন করতে হবে যার উপর আপনাকে কাজ করতে হবে, যে সরঞ্জামগুলির সাহায্যে এই কাজটি করা হয়।

এর মানে হল যে কীভাবে সমস্যাগুলি সমাধান করতে হয় তা শিখতে, আপনাকে বুঝতে হবে সেগুলি কী, সেগুলি কীভাবে গঠন করা হয়, সেগুলি কী কী উপাদান নিয়ে গঠিত, কোন সরঞ্জামগুলির সাহায্যে সমস্যাগুলি সমাধান করা হয়।

আসুন একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক: “একজন নির্দিষ্ট ব্যক্তি এক বছরের জন্য একজন কর্মীকে নিয়োগ করেছিলেন এবং তাকে 12 রুবেল এবং একটি ক্যাফটান দেওয়ার প্রতিশ্রুতি দিয়েছিলেন। কিন্তু 7 মাস কাজ করার পরে, তিনি চলে যেতে চেয়েছিলেন এবং একটি ক্যাফতানের সাথে শালীন বেতন চেয়েছিলেন। মালিক তাকে 5 রুবেল এবং একটি ক্যাফটানের বকেয়া পেমেন্ট দিয়েছেন। প্রশ্ন হল, সেই কাফতানের দাম কত ছিল?

সমস্যার সমাধান: কর্মচারী 12 - 5 = 7 (ঘষা) 12 - 7 = 5 (মাস) পাননি,

অতএব, এক মাসের জন্য তাকে 7: 5 = 1.4 (ঘষা) দেওয়া হয়েছিল,

এবং 7 মাসে তিনি 7 * 1.4 = 9.8 (ঘষা) পেয়েছেন,

তারপর ক্যাফটানের দাম 9.8 - 5 = 4.8 (ঘষা)।

উত্তর: একটি ক্যাফটানের দাম 4.8 রুবেল।

একই সমস্যা বিভিন্ন পাটিগণিত উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে। একটি সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত যুক্তির যুক্তিতে তারা একে অপরের থেকে পৃথক।

একটি প্রসারিত আকারে, একটি শব্দ সমস্যা সমাধান নিম্নলিখিত পর্যায়ের একটি ক্রম হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

1) টাস্ক বিশ্লেষণ;

2) একটি মডেল নির্মাণ;

3) একটি সমাধান অনুসন্ধান (একটি সমাধান পরিকল্পনা অঙ্কন);

4) সিদ্ধান্ত রেকর্ডিং;

5) সমাধান যাচাই;

6) সমস্যা এবং তার সমাধান গবেষণা;

7) একটি উত্তর প্রণয়ন;

8) সমস্যা এবং এর সমাধানের শিক্ষাগত এবং জ্ঞানীয় বিশ্লেষণ।

প্রায়শই, শুধুমাত্র চারটি পর্যায় বাস্তবায়িত হয়: সমস্যা বিশ্লেষণ করা, একটি সমাধান পরিকল্পনা তৈরি করা, সমাধান লেখা, একটি উত্তর প্রণয়ন করা, এবং সমস্ত পর্যায়ে তারা তখনই থামে যখন জটিল, সমস্যাযুক্ত সমস্যা বা সমস্যাগুলির একটি নির্দিষ্ট সাধারণ তাত্ত্বিক তাত্পর্য রয়েছে। .

একটি কাজের বিশ্লেষণ সর্বদা তার প্রয়োজনের দিকে লক্ষ্য করা হয়।

মঞ্চের লক্ষ্য: - টাস্কে বর্ণিত পরিস্থিতি বোঝা;

শর্ত এবং প্রয়োজনীয়তা হাইলাইট;

পরিচিত এবং চাওয়া বস্তুর নাম;

তাদের মধ্যে সমস্ত সম্পর্ক (নির্ভরতা) হাইলাইট করুন।

কাজের বিষয়বস্তু বোঝার জন্য, শর্ত এবং প্রয়োজনীয়তা বিচ্ছিন্ন করতে, আপনাকে বিশেষ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে হবে:

1. টাস্ক কি সম্পর্কে?

2. সমস্যাটি খুঁজে পেতে আপনার কী দরকার?

3. সমস্যার পাঠ্যের মধ্যে নির্দিষ্ট শব্দের অর্থ কী?

4. সমস্যা কি অজানা?

5. কি চাওয়া হয়?

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন: “দুটি ছেলে একই দিকে রাস্তা দিয়ে হাঁটছে। প্রথমদিকে, তাদের মধ্যে দূরত্ব ছিল 2 কিমি, কিন্তু যেহেতু সামনের ছেলেটির গতি 4 কিমি/ঘন্টা এবং দ্বিতীয়টির গতি 5 কিমি/ঘন্টা, তাই দ্বিতীয়টি প্রথমটির সাথে ধরা দেয়। আন্দোলনের শুরু থেকে দ্বিতীয় ছেলেটি প্রথমটিকে ধরা না হওয়া পর্যন্ত, একটি কুকুর তাদের মধ্যে 8 কিমি/ঘন্টা বেগে দৌড়ায়। সে পিছনে হাঁটতে থাকা ছেলেটির কাছ থেকে সামনের একজনের কাছে দৌড়ে যায়, সেখানে পৌঁছে সে ফিরে আসে এবং ছেলেরা কাছাকাছি না হওয়া পর্যন্ত দৌড়ায়। এতক্ষণে কুকুরটি কতদূর দৌড়াবে?

টাস্ক বিশ্লেষণ: 1) এই টাস্ক সম্পর্কে কি?

দুই ছেলে ও একটি কুকুরের চলাফেরা নিয়ে সমস্যা। গতি, সময় এবং ভ্রমণের দূরত্ব দ্বারা আন্দোলনের প্রতিটি অংশগ্রহণকারীর জন্য এটি চিহ্নিত করা হয়।

2) আপনার সমস্যা খুঁজে পেতে কি প্রয়োজন?

কাজটির জন্য কুকুরটি আন্দোলনের শুরু থেকে ছেলেরা কাছাকাছি না হওয়া পর্যন্ত পুরো সময় ছুটবে এমন দূরত্ব খুঁজে বের করা প্রয়োজন, অর্থাৎ দ্বিতীয়টি প্রথমটির সাথে ধরা পড়ে।

3) এর প্রতিটি অংশগ্রহণকারীর চলাচল সম্পর্কে সমস্যায় কী জানা যায়?

সমস্যায় আমরা জানি: ক) ছেলেরা একই দিকে হাঁটছে;

খ) আন্দোলন শুরু হওয়ার আগে, ছেলেদের মধ্যে দূরত্ব ছিল 2 কিমি;

গ) প্রথম ছেলের সামনে হাঁটার গতি 4 কিমি/ঘন্টা;

ঘ) দ্বিতীয় ছেলেটির পিছনে হাঁটার গতি 5 কিমি/ঘন্টা;

e) কুকুর যে গতিতে দৌড়ায় তা 8 কিমি/ঘন্টা;

চ) চলাফেরার সময় যখন মিলনের মুহুর্তের আগে ছেলেদের মধ্যে দূরত্ব ছিল 2 কিমি।

4) সমস্যা কি অজানা?

সমস্যায় এটি অজানা: ক) দ্বিতীয় ছেলেটি প্রথমটির সাথে যে সময়টি ধরবে (তার সমস্ত অংশগ্রহণকারীদের চলাচলের সময়);

খ) ছেলেরা কত গতিতে কাছাকাছি আসছে;

গ) কুকুরটি যে দূরত্বে দৌড়েছিল (আপনাকে সমস্যাটিতে এটি খুঁজে বের করতে হবে)।

5) কি চাওয়া হয়: একটি সংখ্যা, একটি মান, কিছু সম্পর্কের প্রকার?

পছন্দসই মান হল পরিমাণের মান - ছেলেদের আন্দোলনের শুরু থেকে মিলনের মুহূর্ত পর্যন্ত কুকুরটি যে দূরত্বে দৌড়েছিল।

একটি কৌশল যা একটি সমস্যা বুঝতে অনেক সাহায্য করে সমস্যাটির পাঠ্যকে ব্যাখ্যা করা। অর্থাৎ, সমস্যার পাঠ্য থেকে অপ্রয়োজনীয় (অপ্রয়োজনীয় নয়) সবকিছু বাতিল করা হয় এবং কিছু ধারণার বর্ণনা সংশ্লিষ্ট পদ দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয় এবং বিপরীতভাবে, কিছু শর্ত সংশ্লিষ্ট ধারণার বিষয়বস্তুর বর্ণনা দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়।

একটি সমস্যার টেক্সট প্যারাফ্রেজ করা হচ্ছে একটি সমস্যার টেক্সটকে একটি সমাধান পরিকল্পনা খোঁজার জন্য সুবিধাজনক ফর্মে রূপান্তর করা। প্যারাফ্রেজিংয়ের ফলাফল প্রধান পরিস্থিতিগুলিকে হাইলাইট করা উচিত। সমস্যাটি বোঝা সহজ করার জন্য, আপনি এটি একটি টেবিল বা একটি পরিকল্পিত অঙ্কন আকারে লিখতে পারেন। টেবিল এবং পরিকল্পিত অঙ্কন উভয়ই সমস্যার সহায়ক মডেল। এগুলি একটি পাঠ্য সমস্যার বিশ্লেষণ রেকর্ড করার একটি ফর্ম হিসাবে কাজ করে এবং এটি সমাধানের জন্য একটি পরিকল্পনা খোঁজার প্রধান উপায়। অক্জিলিয়ারী মডেল তৈরি করার পরে, আপনাকে পরীক্ষা করতে হবে:

1) মডেলে দেখানো সমস্যার সমস্ত বস্তু;

2) বস্তুর মধ্যে সমস্ত সম্পর্ক প্রতিফলিত হয়;

3) সমস্ত সংখ্যাসূচক তথ্য দেওয়া হয়;

4) একটি প্রশ্ন (প্রয়োজন) আছে এবং এটি কি সঠিকভাবে নির্দেশ করে যা চাওয়া হচ্ছে।

একটি সমস্যা সমাধানের জন্য একটি পরিকল্পনা খোঁজা

পর্যায়ের লক্ষ্য: তথ্য এবং উৎস বস্তুর মধ্যে একটি সংযোগ স্থাপন;

কর্মের একটি ক্রম রূপরেখা।

একটি সমস্যা সমাধানের জন্য একটি পরিকল্পনা হল একটি সমাধানের একটি ধারণা, এর নকশা। এটি ঘটতে পারে যে ধারণাটি পাওয়া যায় তা ভুল। তারপরে আমাদের সমস্যাটির বিশ্লেষণে ফিরে যেতে হবে এবং আবার শুরু করতে হবে।

একটি গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমস্যা সমাধানের জন্য একটি পরিকল্পনা খুঁজে বের করার জন্য সবচেয়ে সুপরিচিত কৌশলগুলির মধ্যে একটি হল পাঠ্য বা এর সহায়ক মডেল অনুযায়ী সমস্যাটি বিশ্লেষণ করা। সমস্যাটির বিশ্লেষণ যুক্তির একটি চেইন আকারে করা হয়, যা সমস্যার ডেটা এবং এর প্রশ্ন থেকে উভয়ই শুরু হতে পারে। ডেটা থেকে প্রশ্নে একটি সমস্যা বিশ্লেষণ করার সময়, সমাধানকারী সমস্যার পাঠ্যের মধ্যে দুটি ডেটা সনাক্ত করে এবং তাদের মধ্যে সংযোগের জ্ঞানের উপর ভিত্তি করে (সমস্যা বিশ্লেষণ করার সময় এই ধরনের জ্ঞান প্রাপ্ত করা আবশ্যক), নির্ধারণ করে যে এগুলো থেকে কোন অজানা পাওয়া যাবে। ডেটা এবং যা ব্যবহার করে গাণিতিক অপারেশন। তারপরে, এই অজানাটিকে ডেটা হিসাবে বিবেচনা করে, সমাধানকারী আবার দুটি আন্তঃসম্পর্কিত ডেটা সনাক্ত করে, অজানাগুলি নির্ধারণ করে যা তাদের থেকে পাওয়া যেতে পারে এবং কোন ক্রিয়াকলাপের সাহায্যে ইত্যাদি, যতক্ষণ না এটি নির্ধারণ করা হয় যে কোন ক্রিয়াটি চাওয়া বস্তুটি পাওয়ার দিকে নিয়ে যায়। সমস্যা প্রশ্ন থেকে ডেটাতে একটি সমস্যা বিশ্লেষণ করার সময়, আপনাকে সমস্যা প্রশ্নে মনোযোগ দিতে হবে এবং সেই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য যা জানা যথেষ্ট তা নির্ধারণ করতে হবে (সমস্যার বিশ্লেষণ থেকে প্রাপ্ত তথ্যের ভিত্তিতে)। কেন আপনাকে শর্তগুলি উল্লেখ করতে হবে এবং আপনার কাছে এর জন্য প্রয়োজনীয় ডেটা আছে কিনা তা খুঁজে বের করতে হবে। যদি এমন কোনও ডেটা না থাকে বা শুধুমাত্র একটি ডেটা থাকে, তাহলে অনুপস্থিত ডেটা (নিখোঁজ ডেটা) ইত্যাদি খুঁজে পেতে আপনার যা জানা দরকার তা স্থাপন করুন। তারপর সমস্যা সমাধানের জন্য একটি পরিকল্পনা তৈরি করা হয়। যুক্তি বিপরীত ক্রমে সঞ্চালিত হয়. সমস্যার পাঠ্যের উপর ভিত্তি করে বিশ্লেষণ: “পর্যটক 56 কিমি/ঘন্টা গতিতে একটি ট্রেনে 6 ঘন্টা ভ্রমণ করেছিলেন। এরপর যা যা ভ্রমণ করেছিলেন তার চেয়ে ৪ গুণ বেশি ভ্রমণ করতে হয়েছে তাকে। একজন পর্যটকের পুরো যাত্রা কী?

তথ্য থেকে প্রশ্নের যুক্তি: এটি জানা যায়: পর্যটক 6 ঘন্টা ট্রেনে ভ্রমণ করেছিলেন;

ট্রেনের গতি 56 কিমি/ঘন্টা।

এই ডেটা ব্যবহার করে, আপনি 6 ঘন্টার মধ্যে একজন পর্যটকের ভ্রমণের দূরত্ব খুঁজে পেতে পারেন (সময় দ্বারা গুণিত গতি)। ভ্রমন করা দূরত্বের অংশ এবং অবশিষ্ট দূরত্বটি 4 গুণ বেশি তা জেনে আপনি এটির সমান তা খুঁজে পেতে পারেন (ভ্রমণ করা দূরত্বটি অবশ্যই 4 দ্বারা গুণ করতে হবে (4 গুণ বৃদ্ধি করতে হবে))। পর্যটক কত কিলোমিটার ভ্রমণ করেছেন এবং ভ্রমণের জন্য কত সময় বাকি আছে তা জেনে, আপনি পথের পাওয়া অংশগুলি যোগ করে পুরো পথটি খুঁজে পেতে পারেন।

সুতরাং কর্মগুলি: 1) পর্যটক ট্রেনে ভ্রমণ করে যে দূরত্ব;

2) তিনি ভ্রমণের জন্য যে দূরত্ব রেখে গেছেন; . 3) সমস্ত উপায়।

প্রশ্ন থেকে ডেটাতে যুক্তি: সমস্যাটির জন্য পর্যটকের সম্পূর্ণ রুট খুঁজে বের করতে হবে। আমরা প্রতিষ্ঠিত করেছি যে পথটি দুটি অংশ নিয়ে গঠিত। এর মানে হল যে টাস্কের প্রয়োজনীয়তা পূরণ করার জন্য, পর্যটক কত কিলোমিটার ভ্রমণ করেছেন এবং কত কিলোমিটার ভ্রমণ করতে বাকি আছে তা জানা যথেষ্ট। দুজনেই অজানা। ভ্রমণের পথটি খুঁজে পেতে, পর্যটকটি যে সময় এবং গতিতে ভ্রমণ করেছিল তা জানা যথেষ্ট। এই সমস্যায় জানা যায়। সময়ের দ্বারা গতিকে গুণ করে, আমরা পর্যটকের ভ্রমণের দূরত্ব খুঁজে বের করি। বাকি পথটি ভ্রমন করা দূরত্বকে 4 গুণ (4 দ্বারা গুণ করে) বৃদ্ধি করে পাওয়া যাবে। সুতরাং, প্রথমে আপনি ভ্রমণ করা দূরত্ব খুঁজে পেতে পারেন, তারপরে অবশিষ্টটি, তারপরে আপনি যোগ করে পুরো পথটি খুঁজে পেতে পারেন।

সমস্যা সমাধান পরিকল্পনা বাস্তবায়ন:

মঞ্চের উদ্দেশ্য: পরিকল্পনা অনুযায়ী সমস্ত ক্রিয়া সম্পন্ন করে কাজের প্রয়োজনীয়তার উত্তর খুঁজে বের করা।

গাণিতিকভাবে সমাধান করা শব্দ সমস্যার জন্য, নিম্নলিখিত কৌশলগুলি ব্যবহার করা হয়:

কর্মের রেকর্ড (ব্যাখ্যা সহ, ব্যাখ্যা ছাড়া, প্রশ্ন সহ);

একটি অভিব্যক্তি হিসাবে রেকর্ডিং.

ক) সম্পাদিত প্রতিটি কর্মের ব্যাখ্যা সহ ক্রিয়া সম্পর্কে সিদ্ধান্ত রেকর্ড করা: 1) 56 * 6 = 336 (কিমি) - পর্যটক 6 ঘন্টার মধ্যে গাড়ি চালিয়েছে।

2) 336 * 4 = 1344 (কিমি) - পর্যটককে এখনও ভ্রমণ করতে হবে;

3) 336 + 1344 = 1680 (কিমি) - পর্যটককে ভ্রমণ করতে হয়েছিল।

যদি ব্যাখ্যাগুলি মৌখিকভাবে দেওয়া হয় (বা মোটেও দেওয়া হয় না), তাহলে এন্ট্রিটি নিম্নরূপ হবে: 1) 56 * 6 = 336(কিমি);

2) 336 * 4 = 1344 (কিমি);

3) 336 + 1344 = 1680(কিমি)

খ) প্রশ্ন সহ কর্মের উপর সিদ্ধান্ত রেকর্ড করা:

1) পর্যটক ট্রেনে কত কিলোমিটার ভ্রমণ করেছেন?

56 * 6 = 336(কিমি)

2) পর্যটক কত কিলোমিটার ভ্রমণ করতে বাকি আছে?

336 * 4 = 1344 (কিমি)

3) পর্যটককে কত কিলোমিটার ভ্রমণ করতে হয়েছিল?

336 + 1344 = 1680(কিমি)

সমস্যার সমাধান পরীক্ষা করা হচ্ছে:

মঞ্চের উদ্দেশ্য: সিদ্ধান্তের সঠিকতা বা ত্রুটি প্রতিষ্ঠা করা।

একটি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করতে সাহায্য করে এমন বেশ কয়েকটি কৌশল রয়েছে। আসুন প্রধানগুলি দেখি:

1. ফলাফল এবং কাজের শর্তগুলির মধ্যে একটি চিঠিপত্র স্থাপন করা। এটি করার জন্য, পাওয়া ফলাফলটি সমস্যার পাঠ্যের সাথে প্রবর্তন করা হয় এবং যুক্তির উপর ভিত্তি করে এটি প্রতিষ্ঠিত হয় যে একটি দ্বন্দ্ব দেখা দেয় কিনা।

2. একটি ভিন্ন উপায়ে সমস্যা সমাধান করা।

ধরুন কোনোভাবে কোনো সমস্যা সমাধান করলে একটি নির্দিষ্ট ফলাফল পাওয়া যায়। যদি অন্য উপায়ে সমাধান করা একই ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে, তাহলে সমস্যাটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে।

1.5 শব্দ সমস্যা সমাধানের কিছু উপায়।

গাণিতিক অর্থের সাদৃশ্য এবং বিভিন্ন সমাধান পদ্ধতির বিনিময়যোগ্যতার উপর ভিত্তি করে, সমস্ত গাণিতিক পদ্ধতিকে নিম্নলিখিত গ্রুপে একত্রিত করা যেতে পারে:

1) ঐক্যে হ্রাসের পদ্ধতি, একটি সাধারণ পরিমাপে হ্রাস, ঐক্যের বিপরীত হ্রাস, সম্পর্কের পদ্ধতি;

2) "শেষ" থেকে সমস্যা সমাধানের একটি উপায়;

3) অজানা দূর করার একটি পদ্ধতি (একটি অজানাকে অন্যটির সাথে প্রতিস্থাপন করা, অজানাকে তুলনা করা, ডেটা তুলনা করা, বিয়োগ দ্বারা দুটি শর্তের তুলনা করা, দুটি শর্তকে একটিতে একত্রিত করা); অনুমান করার উপায়;

4) সমানুপাতিক বিভাজন, অংশগুলির মিল বা সন্ধান;

5) একটি সমস্যাকে অন্যটিতে রূপান্তরিত করার একটি পদ্ধতি (একটি জটিল সমস্যাকে সরল, প্রস্তুতিমূলক সমস্যায় পরিণত করা; অজানাকে এমন মানগুলিতে আনা যার জন্য তাদের সম্পর্ক পরিচিত হয়ে যায়; অজানা পরিমাণগুলির মধ্যে একটির জন্য একটি নির্বিচারে সংখ্যা নির্ধারণের পদ্ধতি)।

উপরের পদ্ধতিগুলি ছাড়াও, গাণিতিক গড় পদ্ধতি, উদ্বৃত্ত পদ্ধতি, পরিচিত এবং অজানাকে পুনর্বিন্যাস করার পদ্ধতি এবং "মিথ্যা" নিয়মগুলির পদ্ধতি বিবেচনা করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে।

যেহেতু কোন পদ্ধতিটি যুক্তিযুক্ত তা আগে থেকে নির্ধারণ করা সাধারণত অসম্ভব, সেগুলির মধ্যে কোনটি শিক্ষার্থীর জন্য সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে বোধগম্য সমাধানের দিকে নিয়ে যাবে তা পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য, শিক্ষার্থীদের বিভিন্ন পদ্ধতির সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া উচিত এবং কোনটি বেছে নেওয়ার সুযোগ দেওয়া উচিত। একটি নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধান করার সময় ব্যবহার করুন।

অজানা বাদ দেওয়ার পদ্ধতি

এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয় যখন সমস্যাটিতে বেশ কিছু অজানা থাকে। এই সমস্যাটি পাঁচটি কৌশলের একটি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে: 1) একটি অপরিচিতকে প্রতিস্থাপন করা; 2) অজানা তুলনা; 3) বিয়োগ দ্বারা দুটি অবস্থার তুলনা; 4) তথ্য তুলনা; 5) একাধিক শর্ত একত্রিত করা।

তালিকাভুক্ত কৌশলগুলির একটি প্রয়োগ করার ফলস্বরূপ, বেশ কয়েকটি অজানার পরিবর্তে, একটি পাওয়া যেতে পারে। এটি গণনা করার পরে, তারা অন্যান্য অজানা খুঁজে পেতে নির্ভরতার অবস্থায় ডেটা ব্যবহার করে।

আসুন কিছু কৌশলের উপর ঘনিষ্ঠভাবে নজর দেওয়া যাক।

1. একটি অজানাকে অন্যটি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা

কৌশলটির নামটি এর ধারণা প্রকাশ করে: সমস্যার শর্ত অনুসারে যে নির্ভরতা (একাধিক বা পার্থক্য) দেওয়া হয় তার উপর ভিত্তি করে, তাদের একটির মাধ্যমে সমস্ত অজানা প্রকাশ করা প্রয়োজন।

টাস্ক। সের্গেই এবং আন্দ্রে মাত্র 126 টি স্ট্যাম্প আছে। সের্গেই আন্দ্রেয়ের চেয়ে 14 নম্বর বেশি। প্রতিটি ছেলের কতগুলো স্ট্যাম্প আছে?

অবস্থার সংক্ষিপ্ত বিবরণ:

সের্গেই --? মার্কস, আরও 14 মার্কস

আন্দ্রে --? স্ট্যাম্প

মোট -- 126 টি স্ট্যাম্প

সমাধান 1.

(একটি বড় অজানাকে একটি ছোট দিয়ে প্রতিস্থাপন করা)

1) সের্গেই আন্দ্রেয়ের মতো অনেকগুলি স্ট্যাম্প থাকতে দিন। তাহলে মোট স্ট্যাম্পের সংখ্যা হবে 126 -- 14 = 112 (স্ট্যাম্প)।

2) যেহেতু ছেলেদের এখন একই নম্বর রয়েছে, তাই আমরা খুঁজে পাব যে আন্দ্রেই শুরুতে কত নম্বর পেয়েছিল: 112: 2 = 56 (স্ট্যাম্প)।

3) বিবেচনা করে যে সের্গেইর আন্দ্রেয়ের চেয়ে 14 নম্বর বেশি, আমরা পাই: 56 + 14 = 70 (চিহ্ন)।

সমাধান 2।

(একটি ছোট অজানাকে একটি বড় দিয়ে প্রতিস্থাপন করা)

1) আন্দ্রেই সের্গেইয়ের মতো একই সংখ্যক স্ট্যাম্প থাকতে দিন। তাহলে মোট স্ট্যাম্পের সংখ্যা হবে 126 + 14 = 140 (স্ট্যাম্প)।

2) যেহেতু ছেলেদের এখন একই সংখ্যক মার্ক রয়েছে, আসুন জেনে নেওয়া যাক সের্গেই শুরুতে কত নম্বর পেয়েছিলেন: 140: 2 = 70 (মার্ক)।

3) সের্গেই থেকে আন্দ্রেয়ের 14 নম্বর কম ছিল তা বিবেচনা করে, আমরা পাই: 70 - 14 = 56 (চিহ্ন)।

উত্তর: সের্গেইর 70 নম্বর ছিল, এবং আন্দ্রেই 56 নম্বর পেয়েছিল।

একটি ছোট অজানাকে একটি বড় দিয়ে প্রতিস্থাপন করার পদ্ধতির শিক্ষার্থীদের দ্বারা সর্বোত্তম আত্তীকরণের জন্য, এটি বিবেচনা করার আগে, শিক্ষার্থীদের কাছে নিম্নলিখিত সত্যটি স্পষ্ট করা প্রয়োজন: যদি A সংখ্যাটি C ইউনিট দ্বারা B সংখ্যার চেয়ে বড় হয়, তাহলে সংখ্যা A এবং B তুলনা করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়:

ক) সংখ্যা A থেকে C সংখ্যা বিয়োগ করুন (তাহলে উভয় সংখ্যাই সংখ্যা B এর সমান);

খ) সংখ্যা B এর সাথে C সংখ্যা যোগ করুন (তখন উভয় সংখ্যাই A সংখ্যার সমান)।

একটি বৃহত্তর অজানাকে একটি ছোট দিয়ে প্রতিস্থাপন করার ছাত্রদের ক্ষমতা এবং তদ্বিপরীত, একটি সমীকরণ রচনা করার সময় একটি অজানা বেছে নেওয়ার এবং এর মাধ্যমে অন্যান্য পরিমাণ প্রকাশ করার ক্ষমতার বিকাশে অবদান রাখে।

2. অজানা তুলনা

টাস্ক। চারটি শেলফে 188টি বই ছিল। দ্বিতীয় শেল্ফে প্রথমটির চেয়ে 16টি কম বই ছিল, তৃতীয়টিতে - দ্বিতীয়টির চেয়ে 8টি বেশি এবং চতুর্থটিতে - তৃতীয় শেল্ফের চেয়ে 12টি কম৷ প্রতিটি শেলফে কত বই আছে?

টাস্ক বিশ্লেষণ

চারটি অজানা পরিমাণ (প্রতিটি শেলফে বইয়ের সংখ্যা) মধ্যে নির্ভরতা আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত চিত্রটি ব্যবহার করি:

আমি_________________________________

II___________________________

III______________________________

IV_________________________ _ _ _ _ _

প্রতিটি শেল্ফে বইয়ের সংখ্যা পরিকল্পিতভাবে চিত্রিত করা অংশগুলির তুলনা করে, আমরা নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তে উপনীত হই: প্রথম শেল্ফে দ্বিতীয়টির চেয়ে আরও 16টি বই রয়েছে; তৃতীয়টিতে দ্বিতীয়টির চেয়ে 8টি বেশি রয়েছে; চতুর্থটিতে - 12 - 8 = 4 (বই) দ্বিতীয়টির চেয়ে কম। অতএব, প্রতিটি শেলফে বইয়ের সংখ্যা তুলনা করে সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, প্রথম শেলফ থেকে 16টি বই, তৃতীয় থেকে 8টি বই এবং চতুর্থ শেলফে 4টি বই রাখুন। তারপরে সমস্ত তাকগুলিতে একই সংখ্যক বই থাকবে, যেমন প্রথমটিতে দ্বিতীয়টিতে ছিল।

1) সমস্যা বিশ্লেষণে বর্ণিত অপারেশনগুলির পরে সমস্ত তাকগুলিতে কতটি বই রয়েছে?

188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (বই)

2) দ্বিতীয় শেলফে কয়টি বই ছিল?

168: 4 = 42 (বই)

3) প্রথম শেলফে কয়টি বই ছিল?

42 + 16 = 58 (বই)

4) তৃতীয় শেলফে কয়টি বই ছিল?

42 + 8 = 50 (বই)

5) চতুর্থ শেলফে কয়টি বই ছিল?

50 -- 12 = 38 (বই)

উত্তর: চারটি শেলফের প্রতিটিতে 58, 42, 50 এবং 38টি বই ছিল।

মন্তব্য করুন। আপনি প্রথম, বা দ্বিতীয়, বা চতুর্থ শেল্ফে থাকা অজানা সংখ্যক বইয়ের তুলনা করে অন্য উপায়ে এই সমস্যা সমাধানের জন্য ছাত্রদের আমন্ত্রণ জানাতে পারেন।

3. বিয়োগ দ্বারা দুটি অবস্থার তুলনা

এই কৌশল দ্বারা সমাধান করা সমস্যার প্লটটিতে প্রায়শই দুটি আনুপাতিক পরিমাণ অন্তর্ভুক্ত থাকে (পণ্যের পরিমাণ এবং এর ব্যয়, কর্মীদের সংখ্যা এবং তারা যে কাজটি সম্পাদন করেছে ইত্যাদি)। শর্তটি একটি পরিমাণের দুটি মান এবং তাদের সমানুপাতিক আরেকটি পরিমাণের দুটি সংখ্যাসূচক মানের পার্থক্য দেয়।

টাস্ক। 4 কেজি কমলা এবং 5 কেজি কলার জন্য তারা 620 রুবেল প্রদান করেছে এবং পরের বার 4 কেজি কমলা এবং 3 কেজি কলার জন্য একই দামে তারা 500 রুবেল প্রদান করেছে। 1 কেজি কমলা এবং 1 কেজি কলার দাম কত?

অবস্থার সংক্ষিপ্ত বিবরণ:

4 কেজি অ্যাপ। এবং 5 কেজি নিষেধাজ্ঞা। - 620 রুবেল,

4 কেজি অ্যাপ। এবং 3 কেজি নিষেধাজ্ঞা। - 500 ঘষা।

1) দুটি কেনাকাটার খরচ তুলনা করা যাক। প্রথম ও দ্বিতীয়বার একই দামে একই সংখ্যক কমলা কিনেছেন তারা। প্রথমবার আমরা বেশি টাকা দিয়েছিলাম কারণ আমরা বেশি কলা কিনেছিলাম। আসুন জেনে নেওয়া যাক প্রথমবার আরও কত কিলোগ্রাম কলা কেনা হয়েছিল: 5 -- 3 = 2 (কেজি)।

2) আসুন আমরা দ্বিতীয়বারের চেয়ে প্রথমবার কত বেশি অর্থ প্রদান করেছি তা খুঁজে বের করি (অর্থাৎ, 2 কেজি কলার দাম আমরা খুঁজে বের করি): 620 - 500 = 120 (ঘষা)।

3) 1 কেজি কলার দাম খুঁজুন: 120: 2 = 60 (ঘষা।)।

4) প্রথম এবং দ্বিতীয় ক্রয়ের মূল্য জেনে, আমরা 1 কেজি কমলার দাম খুঁজে পেতে পারি। এটি করার জন্য, প্রথমে কেনা কলার দাম, তারপর কমলার দাম এবং তারপরে 1 কেজির দাম খুঁজুন। আমাদের আছে: (620 - 60*5) : 4 = 80 (ঘষা)।

উত্তর: 1 কেজি কমলার দাম 80 রুবেল, এবং 1 কেজি কলার দাম 60 রুবেল।

4. ডেটা তুলনা

এই কৌশলটির ব্যবহার ডেটা তুলনা করা এবং বিয়োগ পদ্ধতি প্রয়োগ করা সম্ভব করে তোলে। আপনি ডেটা মান তুলনা করতে পারেন:

1) গুণন ব্যবহার করে (সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক সঙ্গে তাদের তুলনা);

2) বিভাগ ব্যবহার করে (সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের সাথে তাদের তুলনা করা)।

আসুন একটি উদাহরণ সহ এটি দেখান।

টাস্ক। 4 কেজি কমলা এবং 5 কেজি কলার জন্য তারা 620 রুবেল প্রদান করেছে এবং পরের বার 6 কেজি কমলা এবং 3 কেজি কলা একই দামে কেনার জন্য তারা 660 রুবেল প্রদান করেছে। 1 কেজি কমলা এবং 1 কেজি কলার দাম কত?

অবস্থার সংক্ষিপ্ত বিবরণ:

4 কেজি অ্যাপ। এবং 5 কেজি নিষেধাজ্ঞা। - 620 রুবেল,

6 কেজি অ্যাপ। এবং 3 কেজি নিষেধাজ্ঞা। - 660 ঘষা।

আসুন কমলা এবং কলার সংখ্যাকে সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতকের সাথে তুলনা করে সমান করি: LCM(4;6) = 12।

সমাধান ১.

1) আসুন প্রথম ক্ষেত্রে কেনা ফলের সংখ্যা এবং তাদের খরচ 3 গুণ এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে - 2 গুণ বৃদ্ধি করি। আমরা শর্তের নিম্নলিখিত সংক্ষিপ্ত বিবৃতি পাই:

12 কেজি অ্যাপ। এবং 15 কেজি নিষেধাজ্ঞা। - 1860 রুবেল,

12 কেজি অ্যাপ। এবং 6 কেজি নিষেধাজ্ঞা। - 1320 ঘষা।

2) আপনি প্রথমবার আরও কতগুলি কলা কিনেছেন তা খুঁজে বের করুন: 15-6 = 9 (কেজি)।

3) 9 কেজি কলার দাম কত? 1860 -- 1320 = 540 (ঘষা)

4) 1 কেজি কলার দাম খুঁজুন: 540: 9 = 60 (ঘষা)।

5) 3 কেজি কলার দাম খুঁজুন: 60 * 3 = 180 (ঘষা)।

6) 6 কেজি কমলার দাম খুঁজুন: 660 -- 180 = 480 (ঘষা)।

7) 1 কেজি কমলার দাম খুঁজুন: 480: 6 = 80 (ঘষা)।

সমাধান2.

আসুন কমলা এবং কলার সংখ্যাকে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের সাথে তুলনা করে সমান করি: GCD (4; 6) = 2।

1) প্রথমবার এবং দ্বিতীয়বার কেনা কমলার সংখ্যা সমান করতে, আমরা কেনা পণ্যের পরিমাণ এবং প্রথম ক্ষেত্রে এর দাম 2 গুণ, দ্বিতীয়টিতে - 3 গুণ কমিয়ে দিই। আসুন আমরা এমন একটি সমস্যা পাই যার নিম্নলিখিত সংক্ষিপ্ত রূপ রয়েছে:

2 কেজি অ্যাপ। এবং 2.5 কেজি নিষেধাজ্ঞা। - 310 রুবেল,

2 কেজি অ্যাপ। এবং 1 কেজি নিষেধাজ্ঞা। - 220 ঘষা।

2) তারা এখন আর কত কলা কিনছে: 2.5 -- 1 = 1.5 (কেজি)।

3) আসুন 1.5 কেজি কলার দাম কত তা খুঁজে বের করা যাক: 310 -- 220 = 90 (ঘষা)।

4) 1 কেজি কলার দাম খুঁজুন: 90: 1.5 = 60 (ঘষা)।

5) 1 কেজি কমলার দাম খুঁজুন: (660 - 60*3) : 6 = 80 (ঘষা)।

উত্তর: 1 কেজি কমলার দাম 80 রুবেল, 1 কেজি কলার দাম 60 রুবেল।

ডেটা তুলনা করার কৌশল ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করার সময়, আপনি এই ধরনের বিশদ বিশ্লেষণ এবং রেকর্ডিং করতে পারবেন না, তবে শুধুমাত্র তুলনা করার জন্য করা পরিবর্তনগুলি রেকর্ড করুন এবং একটি টেবিলের আকারে লিখুন।

5. একাধিক শর্ত একত্রিত করা

কখনও কখনও আপনি একাধিক শর্ত একত্রিত করে অপ্রয়োজনীয় অজানা থেকে পরিত্রাণ পেতে পারেন।

টাস্ক। পর্যটকরা ক্যাম্প ছেড়ে প্রথমে 4 ঘন্টা হাঁটাহাঁটি করে এবং তারপর একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক গতিতে আরও 4 ঘন্টা সাইকেল চালিয়ে ক্যাম্প থেকে 60 কিলোমিটার দূরে চলে যায়। দ্বিতীয়বার তারা ক্যাম্প ত্যাগ করে এবং প্রথমে 7 ঘন্টার জন্য একই গতিতে সাইকেল চালায়, এবং তারপরে বিপরীত দিকে ঘুরে এবং 4 ঘন্টা হাঁটাহাঁটি করে, ক্যাম্প থেকে 50 কিমি দূরে নিজেদের খুঁজে পায়। পর্যটকরা কত দ্রুত তাদের সাইকেল চালায়?

সমস্যাটিতে দুটি অজানা রয়েছে: পর্যটকরা যে গতিতে তাদের সাইকেল চালায় এবং তারা যে গতিতে হাঁটত। তাদের মধ্যে একটি বাদ দেওয়ার জন্য, আপনি দুটি শর্ত একত্রিত করতে পারেন। তারপর প্রথমবার পায়ে হেঁটে এগিয়ে চলা পর্যটকরা 4 ঘন্টায় যে দূরত্বটি অতিক্রম করবে, তা তারা 4 ঘন্টায় অতিক্রম করা দূরত্বের সমান, দ্বিতীয়বার পিছনে সরে যাচ্ছে। অতএব, আমরা এই দূরত্বের দিকে মনোযোগ দিই না। এর মানে হল যে পর্যটকরা সাইকেলে 4 + 7 = 11 (ঘন্টা) মধ্যে যে দূরত্বটি কাভার করবে তা হবে 50 + 60 = 110 (কিমি) এর সমান।

তারপর সাইকেলে পর্যটকদের গতি হল: 110: 11 = 10 (কিমি/ঘণ্টা)।

উত্তরঃ সাইকেলের গতি 10 কিমি/ঘন্টা।

6. অনুমানের পদ্ধতি

সমস্যা সমাধান করার সময় অনুমান পদ্ধতি ব্যবহার করা বেশিরভাগ ছাত্রদের জন্য অসুবিধা সৃষ্টি করে না। অতএব, ছাত্রদের যান্ত্রিকভাবে এই পদ্ধতির ধাপগুলির চিত্রটি মুখস্থ করা এবং তাদের প্রতিটিতে সম্পাদিত ক্রিয়াকলাপের সারমর্মকে ভুল বোঝা এড়াতে, শিক্ষার্থীদের প্রথমে ট্রায়াল পদ্ধতি ("মিথ্যা নিয়ম" এবং "প্রাচীন ব্যাবিলনীয়দের শাসন") দেখানো উচিত।

স্যাম্পলিং পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, বিশেষ করে "মিথ্যা নিয়ম," অজানা পরিমাণগুলির মধ্যে একটিকে একটি নির্দিষ্ট মান দেওয়া হয় ("অনুমতিপ্রাপ্ত")। তারপর, সমস্ত শর্ত ব্যবহার করে, তারা অন্য পরিমাণের মান খুঁজে পায়। ফলাফলের মান শর্তে উল্লিখিত একটির বিপরীতে পরীক্ষা করা হয়। যদি ফলাফলের মানটি শর্তে প্রদত্ত একটি থেকে ভিন্ন হয়, তবে নির্দিষ্ট করা প্রথম মানটি সঠিক নয় এবং এটি অবশ্যই 1 দ্বারা বৃদ্ধি বা কমাতে হবে এবং আবার অন্য একটি মানের মান খুঁজে বের করতে হবে। এটি করা আবশ্যক যতক্ষণ না আমরা অন্য পরিমাণের মান যেমন সমস্যা বিবৃতিতে না পাই।

টাস্ক। ক্যাশিয়ারের কাছে 50টি কয়েন 50টি কয়েন এবং 10টি কোপেক, মোট 21 রুবেল। ক্যাশিয়ারের কাছে কতগুলি পৃথক 50k কয়েন ছিল তা খুঁজুন। এবং 10k প্রতিটি।

সমাধান ১. (নমুনা পদ্ধতি)

আসুন "প্রাচীন" ব্যাবিলনীয়দের নিয়ম ব্যবহার করি। ধরা যাক যে ক্যাশিয়ারের প্রতিটি মূল্যের সমান সংখ্যক কয়েন রয়েছে, অর্থাৎ প্রতিটি 25 টুকরা। তাহলে টাকার পরিমাণ হবে 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.), বা 15 রুবেল। কিন্তু শর্তে 21 রুবেল, অর্থাৎ, তারা যা পেয়েছে তার চেয়ে বেশি, 21 UAH দ্বারা - 15 রুবেল = 6 রুবেল। এর মানে হল যে আমরা মোট 21 রুবেল না পাওয়া পর্যন্ত 50-কোপেক কয়েনের সংখ্যা বাড়াতে এবং 10-কোপেক কয়েনের সংখ্যা হ্রাস করা প্রয়োজন। আমরা টেবিলে মুদ্রার সংখ্যা এবং মোট পরিমাণের পরিবর্তন রেকর্ড করব।

মুদ্রার সংখ্যা	মুদ্রার সংখ্যা	টাকার পরিমান	টাকার পরিমান	সর্বমোট পরিমাণ	অবস্থার তুলনায় কম বা বেশি
					6 রুবেল দ্বারা কম।
					5rub60k কম
					যেমন অবস্থা

টেবিল থেকে দেখা যায়, ক্যাশিয়ারের কাছে 50টি কোপেকের 40টি কয়েন এবং 10টি কোপেকের 10টি কয়েন ছিল।

এটি সমাধান 1 এ পরিণত হয়েছে, যদি ক্যাশিয়ারের সমান সংখ্যক 50k কয়েন থাকে। এবং প্রতিটি 10k, তারপর তার মোট 15 রুবেল টাকা ছিল। এটি দেখতে সহজ যে প্রতিটি মুদ্রা প্রতিস্থাপন 10k। প্রতি কয়েন 50k 40k দ্বারা মোট পরিমাণ বৃদ্ধি. এর অর্থ হল এই ধরনের কতগুলি প্রতিস্থাপন করতে হবে তা খুঁজে বের করতে হবে, আসুন প্রথমে খুঁজে বের করি যে আমাদের মোট পরিমাণ বাড়াতে হবে:

21 রুবেল -- 15 রুবেল। = 6 ঘষা। = 600 k.

কতবার এই ধরনের প্রতিস্থাপন করতে হবে তা খুঁজে বের করুন: 600 k : 40 k = 15।

তাহলে 50 k হবে 25 +15 = 40 (মুদ্রা), এবং 10 k কয়েন থাকবে
25 -- 15 = 10.

চেক নিশ্চিত করে যে এই ক্ষেত্রে মোট অর্থের পরিমাণ 21 রুবেল।

উত্তর: ক্যাশিয়ারের কাছে 50টি কোপেকের 40টি কয়েন এবং 10টি কোপেকের 10টি কয়েন ছিল।

50 কোপেকের কয়েনের সংখ্যার জন্য স্বাধীনভাবে বিভিন্ন মান বেছে নেওয়ার জন্য ছাত্রদের আমন্ত্রণ জানানোর পরে, তাদের এই ধারণায় আনতে হবে যে যৌক্তিকতার দৃষ্টিকোণ থেকে সর্বোত্তম হল এই অনুমান যে ক্যাশিয়ারের কাছে একই মুদ্রা ছিল। মূল্যবোধ (উদাহরণস্বরূপ, 50 কোপেকের সমস্ত 50টি কয়েন বা 10k-এর সমস্ত 50টি মুদ্রা। প্রতিটি)। এই কারণে, একটি অজানা বাদ এবং অন্য অজানা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

7. অবশিষ্টাংশ পদ্ধতি

ট্রায়াল এবং অনুমান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করার সময় চিন্তার সাথে এই পদ্ধতির কিছু মিল রয়েছে। আমরা অবশিষ্টাংশের পদ্ধতিটি ব্যবহার করি যখন একটি দিকে চলাচলের সাথে জড়িত সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, যেমন, যখন প্রথম বস্তুটি, যা একটি উচ্চ গতিতে পিছিয়ে যাচ্ছে, দ্বিতীয় বস্তুটির সাথে ধরা পড়বে সেই সময়টি খুঁজে বের করার প্রয়োজন হয়। একটি কম গতি। 1 ঘন্টার মধ্যে, প্রথম বস্তুটি তাদের গতির পার্থক্যের সমান দূরত্বে দ্বিতীয়টির কাছে আসে, অর্থাৎ, সেকেন্ডের গতির তুলনায় এটির গতির "অবশিষ্ট" এর সমান। চলাচলের শুরুতে প্রথম বস্তুটি এবং দ্বিতীয়টির মধ্যে যে দূরত্বটি ছিল তা কভার করতে যে সময় লাগে তা খুঁজে বের করতে, আপনাকে এই দূরত্বে কতবার "অবশিষ্ট" স্থাপন করা হবে তা নির্ধারণ করতে হবে।

যদি আমরা প্লট থেকে বিমূর্ত করি এবং সমস্যার গাণিতিক কাঠামো বিবেচনা করি, তাহলে এটি দুটি কারণ (উভয় বস্তুর গতির গতি) বা এই কারণ এবং দুটি পণ্যের মধ্যে পার্থক্য (তারা যে দূরত্বে ভ্রমণ করে) বা তাদের পার্থক্য সম্পর্কে কথা বলে। অজানা কারণ (সময়) একই এবং খুঁজে পাওয়া প্রয়োজন. গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, অজানা গুণনীয়কটি দেখায় যে পণ্যগুলির পার্থক্যের মধ্যে কতবার পরিচিত কারণগুলির পার্থক্য রয়েছে। অতএব, অবশিষ্টাংশের পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা সমস্যাগুলিকে দুটি পার্থক্য দ্বারা সংখ্যা খুঁজে বের করার সমস্যা বলা হয়।

টাস্ক। শিক্ষার্থীরা একটি অ্যালবামে ছুটির ছবি পেস্ট করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে। যদি তারা প্রতিটি পৃষ্ঠায় 4টি ফটো আটকে রাখে, তাহলে অ্যালবামে 20টি ছবির জন্য পর্যাপ্ত জায়গা থাকবে না। আপনি যদি প্রতিটি পৃষ্ঠায় 6টি ছবি পেস্ট করেন, তাহলে 5টি পৃষ্ঠা বিনামূল্যে থাকবে। শিক্ষার্থীরা কতগুলো ছবি অ্যালবামে রাখবে?

টাস্ক বিশ্লেষণ

প্রথম এবং দ্বিতীয় আঠালো বিকল্পগুলির জন্য ছবির সংখ্যা একই থাকে। সমস্যার শর্তানুযায়ী, এটি অজানা, তবে এক পৃষ্ঠায় কতগুলি ফটোগ্রাফ রাখা হয়েছে এবং অ্যালবামের পৃষ্ঠার সংখ্যা জানা থাকলে তা পাওয়া যাবে।

এক পৃষ্ঠায় আটকানো ফটোগ্রাফের সংখ্যা পরিচিত (প্রথম গুণক)। অ্যালবামের পৃষ্ঠার সংখ্যা অজানা এবং অপরিবর্তিত রয়েছে (দ্বিতীয় গুণক)। যেহেতু এটি জানা যায় যে অ্যালবামের 5 পৃষ্ঠাগুলি দ্বিতীয়বারের জন্য বিনামূল্যে থাকবে, আপনি অ্যালবামে আরও কতগুলি ছবি আটকানো যেতে পারে তা খুঁজে পেতে পারেন: 6 * 5 = 30 (ফটো)।

এর মানে হল যে একটি পৃষ্ঠায় ফটোর সংখ্যা 6 - 4 = 2 বৃদ্ধি করে, পেস্ট করা ফটোর সংখ্যা 20 + 30 = 50 বৃদ্ধি পায়।

যেহেতু দ্বিতীয়বার তারা প্রতিটি পৃষ্ঠায় আরও দুটি ফটোগ্রাফ পেস্ট করেছে এবং মোট 50টি ফটোগ্রাফ পেস্ট করেছে, আমরা অ্যালবামে পৃষ্ঠার সংখ্যা খুঁজে পাব: 50: 2 = 25 (পৃষ্ঠা)।

সুতরাং, মোট 4*25 + 20 = 120 (ফটো) ছিল।

উত্তর: অ্যালবামটিতে 25 পৃষ্ঠা এবং 120টি ফটোগ্রাফ ছিল।

দ্বিতীয় অধ্যায়. পাঠ্য গণিতের সমস্যা সমাধানের জন্য স্কুলছাত্রীদের কৌশল শেখানো

স্কুল কোর্সের প্রতিটি বিষয় অধ্যয়ন করার সময় আমি পদ্ধতিগতভাবে শব্দ সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি শেখাই।

2.1 যুগ্ম গতি জড়িত সমস্যা সমাধান

5ম গ্রেড থেকে শুরু করে, শিক্ষার্থীরা প্রায়ই এই সমস্যার সম্মুখীন হয়। এমনকি প্রাথমিক বিদ্যালয়েও, ছাত্রদের "সম্পূর্ণ গতি" এর ধারণা দেওয়া হয়, তারা পদ্ধতির গতি এবং অপসারণের গতি সম্পর্কে সম্পূর্ণরূপে সঠিক ধারণা তৈরি করে না (প্রাথমিক বিদ্যালয়ে এই পরিভাষাটি প্রায়শই বিদ্যমান থাকে না) একটি সমস্যা সমাধান, ছাত্ররা যোগফল খুঁজে. ধারণাগুলি প্রবর্তন করে এই সমস্যাগুলি সমাধান করা শুরু করা ভাল: "প্রকাশের গতি", "অপসারণের গতি"। স্বচ্ছতার জন্য, আপনি হাতের নড়াচড়া ব্যবহার করতে পারেন, ব্যাখ্যা করে যে দেহগুলি এক দিকে বা বিভিন্ন দিকে যেতে পারে। উভয় ক্ষেত্রেই পদ্ধতির গতি এবং অপসারণের গতি থাকতে পারে, তবে বিভিন্ন ক্ষেত্রে তারা ভিন্নভাবে পাওয়া যায়। এর পরে, শিক্ষার্থীরা নিম্নলিখিত টেবিলটি লিখুন:

1 নং টেবিল.

পদ্ধতির গতি এবং অপসারণের গতি খুঁজে বের করার পদ্ধতি

সমস্যাটি বিশ্লেষণ করার সময়, নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলি দেওয়া হয়:

1. হাতের নড়াচড়া ব্যবহার করে, আমরা খুঁজে বের করি কিভাবে দেহ একে অপরের সাপেক্ষে চলে (একই দিকে, বিভিন্ন দিকে)।

2. কিভাবে গতি পাওয়া যায় তা জানুন (যোগ, বিয়োগ দ্বারা)।

3. এটি কি গতি তা নির্ধারণ করুন (পন্থা, দূরত্ব)।

আমরা সমস্যার সমাধান লিখে রাখি।

উদাহরণ নং 1. A এবং B শহর থেকে, যার মধ্যে দূরত্ব 600 কিমি, একটি ট্রাক এবং একটি যাত্রীবাহী গাড়ি একই সাথে একে অপরের দিকে বেরিয়ে এসেছে। একটি যাত্রীবাহী গাড়ির গতি 100 কিমি/ঘন্টা, এবং একটি পণ্যবাহী গাড়ির গতি 50 কিমি/ঘন্টা। কত ঘণ্টার মধ্যে তাদের দেখা হবে?

শিক্ষার্থীরা তাদের হাত দিয়ে দেখায় যে কীভাবে গাড়ি চলে এবং নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তগুলি আঁকে:

ক. গাড়ি বিভিন্ন দিকে চলে;

খ. গতি যোগ দ্বারা পাওয়া যাবে;

ভি. যেহেতু তারা একে অপরের দিকে অগ্রসর হচ্ছে, এটি হল পদ্ধতির গতি।

1. 100 + 50 = 150 (কিমি/ঘণ্টা) - অ্যাপ্রোচ গতি।

2. 600: 150 = 4 (h) - মিটিং পর্যন্ত চলাচলের সময়।

উত্তরঃ ৪ ঘন্টার মধ্যে।

উদাহরণ নং 2। একজন লোক এবং একটি ছেলে একই সময়ে দাচার জন্য বাড়ি ছেড়েছে এবং একই রাস্তা ধরে হাঁটছে। লোকটির গতি 5 কিমি/ঘন্টা, আর ছেলেটির গতি 3 কিমি/ঘন্টা। 3 ঘন্টা পর তাদের মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

হাতের নড়াচড়া ব্যবহার করে আমরা জানতে পারি:

ক. ছেলে এবং মানুষ একই দিকে এগিয়ে যাচ্ছে;

খ. গতি পার্থক্য দ্বারা পাওয়া যায়;

ভি. লোকটি দ্রুত হাঁটে, অর্থাৎ, ছেলে থেকে দূরে সরে যায় (অপসারণের গতি)।

1. 5 -- 3 = 2 (কিমি/ঘন্টা) - অপসারণের গতি।

2. 2*2 = 4 (কিমি/ঘন্টা) - 2 ঘন্টা পর একজন পুরুষ এবং একটি ছেলের মধ্যে দূরত্ব

উত্তরঃ 4 কিমি।

2.2 টেবিল ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করা হয়েছে

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রস্তুতি নেওয়ার সময়, আপনি সফলভাবে সংকেত মানচিত্র ব্যবহার করতে পারেন।

এই কার্ডগুলি ব্যবহার করে মৌখিক গণনা করা উচিত, যা প্রতিটি শিক্ষার্থীর থাকা উচিত, যা পুরো ক্লাসকে কাজে জড়িত হতে দেয়।

উদাহরণ নং 1। প্রথম ছেলের দ্বিতীয় থেকে ৫ নম্বর বেশি। কিভাবে দ্বিতীয় এক আছে কয়টি স্ট্যাম্প খুঁজে বের করতে?

শিক্ষার্থীরা কার্ড নং 1 তুলে নেয় এবং ব্যাখ্যা করে যে তাদের প্রথমটির সংখ্যার সাথে 5 যোগ করতে হবে, যেহেতু তার কাছে আরও 5টি আছে, জোর দিয়ে জোর দিয়ে "...আরো"

উদাহরণ নং 2। দ্বিতীয় ছেলেটির 30 নম্বর এবং প্রথমটির 3 গুণ কম। প্রথম ছেলের কতটি স্ট্যাম্প আছে?

ছাত্রদের কার্ড নম্বর 4 নিতে হবে এবং উত্তর দিতে হবে: 10 নম্বর, যেহেতু 30:3 = 10। মূল শব্দগুলি হল "এ... কম।"

মানসিক পাটিগণিতের জন্য সমস্যার নির্বাচন বৈচিত্র্যময় হওয়া উচিত, তবে প্রতিবার শিক্ষার্থীকে একটি ব্যাখ্যা দিতে হবে, রেফারেন্স শব্দের নামকরণ করতে হবে। টেবিলে, সমর্থনকারী শব্দগুলিকে আন্ডারলাইন করা ভাল।

উদাহরণ নং 3। রাইডারটি 5 ঘন্টায় 80 কিমি রাইড করেছে। একজন সাইক্লিস্ট এই যাত্রায় কত সময় ব্যয় করবে যদি তার গতি 24 কিমি/ঘন্টা আরোহীর গতির চেয়ে বেশি হয়?

টেবিলটি পূরণ করার সময়, শিক্ষার্থীকে অবশ্যই সহায়ক শব্দগুলিকে আন্ডারলাইন করতে হবে এবং ব্যাখ্যা করতে হবে যে সাইক্লিস্টের গতি 16 কিমি/ঘন্টা এবং 24 কিমি/ঘন্টা যোগ করে পাওয়া যায়। তারপর, পরিমাণের মধ্যে একটি কার্যকরী সম্পর্ক স্থাপন করে, শিক্ষার্থীরা টেবিলের সমস্ত সারি এবং কলাম পূরণ করে। এর পরে, টাস্কের উপর নির্ভর করে, শিক্ষার্থী হয় প্রশ্নের উত্তর দেয় বা একটি সমাধান তৈরি করে। একটি টেবিলের সাথে কাজ করার সময়, শিক্ষার্থীকে অবশ্যই বুঝতে হবে যে একটি সমস্যা সমাধান করার সময়, সমস্ত সারি এবং কলামগুলি অবশ্যই সমস্যার ডেটা এবং পরিমাণের মধ্যে কার্যকরী সম্পর্ক ব্যবহারের ফলে প্রাপ্ত ডেটা দিয়ে পূর্ণ হতে হবে।

2.3 একটি সংখ্যার একটি অংশ এবং একটি অংশ দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধান করা

এই সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য প্রস্তুত করার জন্য, ভগ্নাংশের ধারণাটি আয়ত্ত করার জন্য কাজ করা হচ্ছে। মৌখিক গণনা করার সময়, প্রতিটি শিক্ষার্থী জানে কিনা তা নিশ্চিত করতে হবে: ক. ভগ্নাংশ বার কি ক্রিয়া নির্দেশ করে?

খ. ভগ্নাংশ মানে কি?

ভগ্নাংশ বার বিভাজনের ক্রিয়া নির্দেশ করে, এবং ভগ্নাংশ 3/4 বোঝায় যে প্রদত্তটি 4টি সমান অংশে বিভক্ত ছিল এবং 3টি অংশ নেওয়া হয়েছিল। এই জন্য, সমস্ত ছাত্র তাদের পিতামাতার সাহায্যে প্রস্তুত করা খাম ব্যবহার করা ভাল। খামে বৃত্ত রয়েছে: পুরো, অর্ধেক কাটা, 3 সমান অংশে, 4 ভাগে; 6; 8 অংশ। একটি বৃত্তের প্রতিটি লোবের রঙ একই। এই উপাদানটি ব্যবহার করে, শিক্ষার্থীরা স্পষ্টভাবে দেখতে পারে কিভাবে ভগ্নাংশ গঠিত হয়।

উদাহরণ স্বরূপ. ভগ্নাংশ 5/6 প্রতিনিধিত্ব করে একটি চিত্র লেখুন। শেয়ারের রং জেনে শিক্ষক ছাত্রদের করা ভুলগুলো দেখেন এবং কাজটি বিশ্লেষণ করেন। উত্তর দেওয়ার সময়, ছাত্রটি বলে যে বৃত্তটি 6টি সমান অংশে বিভক্ত ছিল এবং 5টি অংশ নেওয়া হয়েছিল।

এই জাতীয় খামের উপস্থিতি একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশের যোগ এবং একটি ইউনিট থেকে একটি ভগ্নাংশের বিয়োগ কল্পনা করা সম্ভব করে। যেহেতু সমস্ত ছাত্ররা কাজের সাথে জড়িত এবং সংযোজন স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান, দুটি উদাহরণের পরে শিক্ষার্থীরা নিজেরাই একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করার নিয়ম তৈরি করে।

এর বিয়োগ তাকান. 1 থেকে 1/4 বিয়োগ করুন। ছাত্ররা টেবিলের উপর একটি বৃত্ত রাখে, কিন্তু লক্ষ্য করুন যে এটি থেকে এখনও কিছুই সরানো যায়নি। তারপরে তারা বৃত্তটিকে 4টি সমান অংশে কাটা এবং একটি সরানোর পরামর্শ দেয়। আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে 1 অবশ্যই ভগ্নাংশ 4/4 দিয়ে প্রতিস্থাপিত হবে। 2-3টি উদাহরণের পরে, শিক্ষার্থীরা তাদের নিজস্ব সিদ্ধান্তে আঁকে।

এই উপাদানটি ব্যবহার করে, একটি ভগ্নাংশের মূল সম্পত্তির ধারণা দেওয়া হয়, যখন তারা ভগ্নাংশ 1/3, ইত্যাদির উপর 2/6কে উচ্চতর করে। এই উপাদানটির মাধ্যমে কাজ করার পরে, আমরা সমস্যাগুলি সমাধান করতে শুরু করি।

উদাহরণ নং 1। বাগানে 120টি গাছ রয়েছে। বার্চগুলি সমস্ত গাছের 2/3 তৈরি করে এবং বাকিগুলি পাইন গাছ। কতগুলো পাইন গাছ ছিল?

প্রশ্ন: ভগ্নাংশ 2/3 বলতে কী বোঝায়?

উত্তর: সম্পূর্ণ সংখ্যক গাছকে 3টি সমান অংশে ভাগ করা হয়েছিল এবং বার্চগুলি 2টি অংশে তৈরি হয়েছিল।

40*2 = 80 (গ্রাম) - সেখানে বার্চ ছিল।

120 - 80 = 40 (গ্রাম) - পাইন গাছ ছিল।

পদ্ধতি II:

120: 3 = 40 (গাছ) - একটি অংশ তৈরি করুন।

3 -- 2 = 1 (অংশ) - পাইন গাছ তৈরি করুন।

40*1 = 40 (গাছ) - পাইন গাছ তৈরি করে।

...

অনুরূপ নথি

গণিত পাঠে একটি শব্দ সমস্যা সমাধানের উপায় খুঁজে বের করতে বাচ্চাদের শেখানো। প্রাথমিক গণিত কোর্সে পাটিগণিত সমস্যার ভূমিকা। যৌথ আন্দোলনের সমস্যা সমাধান করা, একটি সংখ্যার অংশ এবং অংশ দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা, শতাংশে, যৌথ কাজের উপর।

থিসিস, যোগ করা হয়েছে 05/28/2008


গণিত পাঠে জুনিয়র স্কুলছাত্রদের কাজের ফর্মের বৈশিষ্ট্য। একটি শব্দ সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়ায় কাজের বিভিন্ন ফর্ম ব্যবহার করে। প্রাথমিক বিদ্যালয়ে শব্দ সমস্যা সমাধান করা। স্কুলছাত্রীদের সমস্যা সমাধানের দক্ষতার বিকাশের স্তরের ডায়াগনস্টিকস।

থিসিস, 09/04/2010 যোগ করা হয়েছে


একটি শব্দ সমস্যার ধারণা এবং একটি গণিত কোর্সে এর ভূমিকা। শব্দ সমস্যা সমাধানের উপায়। আনুপাতিক বিভাজনে যৌগিক সমস্যা সমাধান শেখানোর পদ্ধতি। আন্দোলনের সমস্যা সমাধানে প্রশিক্ষণ। যৌগিক সমস্যা সমাধানে শিক্ষার্থীদের দক্ষতার স্তর সনাক্তকরণ।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 08/20/2010


শেখার কাজের শ্রেণীবিভাগ এবং কার্যাবলী। অ-মানক সমস্যা সমাধানের পদ্ধতিগত বৈশিষ্ট্য। শব্দ সমস্যা এবং প্যারামিটার সহ সমস্যা সমাধানের বৈশিষ্ট্য। সমীকরণ এবং অসমতা সমাধানের জন্য পদ্ধতি। শিক্ষাগত পরীক্ষা এবং ফলাফল বিশ্লেষণ।

থিসিস, 02/24/2010 যোগ করা হয়েছে


শব্দ সমস্যা সমাধানের জন্য বীজগণিত পদ্ধতির সারাংশ। তাদের সাথে কাজ করার সময় একজন শিক্ষকের সাধারণ পদ্ধতিগত ভুল। G.G অনুযায়ী বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে শব্দ সমস্যার সমাধান করা। লেভিটাস এবং ভি. লেবেদেভ। তাদের সমাধানের জন্য শিক্ষণ পদ্ধতির ব্যবহারিক প্রয়োগের বিশ্লেষণ।

কোর্স ওয়ার্ক, 09/30/2010 যোগ করা হয়েছে


প্রাথমিক বিদ্যালয়ে সমাধান করা শব্দ সমস্যার বৈশিষ্ট্য। গ্রাফিক মডেলিং ব্যবহার করে শব্দ সমস্যা সমাধানের জন্য স্কুলছাত্রীদের শেখানোর পদ্ধতিগত কৌশল। সমস্যার ধরন এবং এটি সমাধানের পদ্ধতি সনাক্ত করার ক্ষমতার বিকাশের স্তরের অধ্যয়ন।

কোর্সের কাজ, 05/04/2019 যোগ করা হয়েছে


একটি সমস্যার ধারণা এবং এর সমাধান। গাণিতিক মডেলিংয়ের পর্যায়গুলি তুলে ধরে সমস্যার সমাধান করা। বীজগণিতভাবে সমাধান করার ক্ষমতা গঠনে বিশ্লেষণাত্মক-সিন্থেটিক যুক্তির ভূমিকা। গাণিতিক মডেল আঁকার দক্ষতা বিকাশের কাজ।

থিসিস, যোগ করা হয়েছে 04/23/2011


যোগ্যতা এবং যোগ্যতার ধারণা। স্কুলে একটি দক্ষতা-ভিত্তিক পদ্ধতির বাস্তবায়ন সম্পর্কে মতামত। মূল শিক্ষাগত যোগ্যতার শ্রেণীবিভাগ এবং বিষয়বস্তু। গ্রেড 5-6-এ গণিত পাঠের মূল দক্ষতা। দক্ষতা বিকাশের উদাহরণ।

থিসিস, 06/24/2009 যোগ করা হয়েছে


"টেক্সট টাস্ক" এর ধারণা এবং এর গঠন। শব্দ সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়া। শিক্ষাদান সমাধানে ব্যবহৃত পদ্ধতিগত কৌশল। শিক্ষার্থীদের মধ্যে সাধারণ দক্ষতা গঠন। মুদ্রিত নোটবুক ব্যবহার করে একটি শব্দ সমস্যা নিয়ে কাজ করা।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 03/16/2012


শিশুদের মানসিক বিকাশের জন্য গাণিতিক সমস্যার গুরুত্ব। গাণিতিক সমস্যার ধরন এবং তাদের শ্রেণীবিভাগ। কাজের সারাংশ শিশুদের আত্তীকরণের অদ্ভুততা। সমস্যা সমাধানের জন্য প্রি-স্কুলারদের শেখানোর পদ্ধতি এবং ধাপ। শিশুদের দ্বারা তৈরি পাটিগণিত সমস্যা।