С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .
Правила ввода функций :
Необходимое условие экстремума функции одной переменной
Уравнение f" 0 (x *) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.Достаточное условие экстремума функции одной переменной
Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x * выполняется условие:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0
То точка x * - локальный (глобальный) максимум.
Пример №1
. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
на отрезке .
Решение.
Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1
Пример №2
. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.
Пример №3
. Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.
Урок на тему: "Нахождение точек экстремумов функций. Примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.
4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.
Введение в экстремумы функций
Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:
Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого - опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:
![](https://i1.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_2.jpg)
Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.
Посмотрим на график вот такой функции:
![](https://i1.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_3.jpg)
Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 - это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 - это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).
Точки минимума и максимума
Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).
Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).
Ребята, а что такое окрестность?
Определение: Окрестность точки - множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.
Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.
Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка минимума.
Ребята, давайте введем обозначения:
Y min - точка минимума,
y max - точка максимума.
Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.
Экстремумы функции
Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.
Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.
Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.
Как же искать экстремумы функции?
Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).
Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.
Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.
Как вычислять экстремумы?
Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:
Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.
На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.
Обобщим полученные знания утверждением:
Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:
Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:
![](https://i2.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_4.jpg)
Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:
- Найти производную y’.
- Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
- Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
- По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.
Примеры нахождения точки экстремумов
1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x - x 3
Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 12 - 3x 2 ,
б) y"= 0, при x= ±2,
Точка x= -2 - точка минимума функции, точка x= 2 - точка максимума функции.
Ответ: x= -2 - точка минимума функции, x= 2 - точка максимума функции.
2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.
![](https://i0.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_9.jpg)
а)
![](https://i2.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_10.jpg)
![](https://i1.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_11.jpg)
![](https://i1.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_12.jpg)
![](https://i2.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_6.jpg)
Точка x= 3 - точка минимума функции.
Ответ: x= 3 - точка минимума функции.
3) Найти точки экстремума функции y= x - 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.
Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -5π/6 - точка максимума функции.
Точка x= -π/6 - точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 - точка максимума функции, x= -π/6 - точка минимума функции.
4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
![](https://i0.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_13.jpg)
а)
![](https://i0.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_14.jpg)
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
![](https://i1.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_8.jpg)
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 - точка минимума функции.
В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 - точки минимума функции.
Задачи для самостоятельного решения
а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5x 3 - 15x - 5.б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
![](https://i0.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_15.jpg)
г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
![](https://i2.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/10-klass-ekstremum-funczii_16.jpg)
>> Экстремумы
Экстремум функции
Определение экстремума
Функция y = f (x ) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > f (x 2)).
Если дифференцируемая функция y = f (x ) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f " (x ) > 0
(f " (x ) < 0).
Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f (x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f (x ) ≤ f (x о ) (f (x ) ≥ f (x о )).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f (x ), то либо f " (x о ) = 0, либо f (x о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f " (x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие.
Пусть функция f
(x
) имеет
f "
(x
) в окрестности точки x
о
и вторую производную в самой точке x о
. Если f "
(x
о
) = 0, >0 ( <0), то точка x о
является точкой локального минимума (максимума) функции f
(x
). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие .
На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Пример 3.22.
Решение. Так как f " (
Задачи на нахождения экстремума функции
Пример 3.23. a
Решение.
x
и y
y
0
≤ x
≤
> 0, а при x
>a
/4 S
" < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
функции
кв
.
ед
).
Пример 3.24. p ≈
Решение.
p
p
S "
R = 2, Н = 16/4 = 4.
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f (x ) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение.
Так как f
" (x
) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x
-2)(x
- 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f
(2) = 14 и минимум f
(3) = 13.
Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение.
Обозначим стороны площадки через x
и y
. Площадь площадки равна S = xy
. Пусть y
- это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y
= a
. Поэтому y
= a
- 2x и S = x
(a
- 2x), где
0
≤ x
≤ a
/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными).
S
" = a - 4x, a - 4x = 0
при
x = a/4,
откуда
y = a - 2
×
a/4 =a/2.
Поскольку x
= a
/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x
a
/4 S "
> 0, а при x
>a
/4 S
" < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
функции
S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв
.
ед
).
Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a
/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y
= 2x.
Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение.
Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2
p
R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V =
p
R 2 Н
Þ
Н = V/
p
R 2 =16
p
/
p
R 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2
p
(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S "
(R) = 2
p
(2R- 16/R 2) = 4
p
(R- 8/R 2). S
" (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.
Определения:
Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.
Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.
Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.
Пояснение.
На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:
x max = 3, x max = 8.
В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:
Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции , а значения функции в этих точках – ее экстремумами .
Критические и стационарные точки функции:
Необходимое условие экстремума:
Достаточное условие экстремума:
На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x ) на монотонность и экстремумы:
Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Пример.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Начнем
с области определения:
Продифференцируем
исходную функцию:
x=1
,
то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции
и вычисляем ее значение при x
= 1
:
Следовательно,
по второму достаточному условию
экстремума, x=1
-
точка максимума. Тогда -
максимум функции.
Графическая иллюстрация.
Ответ:
Третье достаточное условие экстремума функции.
Пусть функция y=f(x) имеет производные до n -ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1 -ого порядка в самой точке . Пусть и .
Пример.
Найти
точки экстремума функции .
Решение.
Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел.
Продифференцируем
функцию:
Производная
обращается в ноль при ,
следовательно, это точки возможного
экстремума. Воспользуемся третьим
достаточным условием экстремума.
Находим
вторую производную и вычисляем ее
значение в точках возможного экстремума
(промежуточные вычисления опустим):
Следовательно, - точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n=1 и ).
Для
выяснения характера точек находим
третью производную и вычисляем ее
значение в этих точках:
Следовательно, - точка перегиба функции (n=2 и ).
Осталось
разобраться с точкой .
Находим четвертую производную и вычисляем
ее значение в этой точке:
Следовательно, - точка минимума функции.
Графическая иллюстрация.
Ответ:
Точка максимума, - точка минимума функции.
10. Экстремумы функции Определение экстремума
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) > f(x 2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f " (x) 0
(f " (x) 0).
Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f(x), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f(x), то либо f " (x о) = 0, либо f (x о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f " (x) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f " (x) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f " (x о) = 0, >0 (<0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение. Так как f " (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.