अंकगणितीय विधियों का उपयोग करके समस्याओं को हल करना

5वीं कक्षा में गणित का पाठ।

"यदि आप तैरना सीखना चाहते हैं, तो साहसपूर्वक पानी में उतरें, और यदि आप समस्याओं को हल करना सीखना चाहते हैं, तो उन्हें हल करें।".
डी. पोलिया

पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य:

अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता विकसित करना;

रचनात्मक क्षमताओं, संज्ञानात्मक रुचि का विकास;

तार्किक सोच का विकास;

विषय के प्रति प्रेम का पोषण करना;

गणितीय सोच की संस्कृति को बढ़ावा देना।

उपकरण: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 नंबर वाले सिग्नल कार्ड।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण (1 मिनट।)

यह पाठ अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए समर्पित है। आज हम विभिन्न प्रकार की समस्याओं का समाधान करेंगे, लेकिन वे सभी समीकरणों की सहायता के बिना ही हल हो जायेंगी।

द्वितीय. ऐतिहासिक सन्दर्भ (1 मिनट।)

ऐतिहासिक रूप से, लंबे समय तक, गणितीय ज्ञान व्यावहारिक समस्याओं की सूची के साथ-साथ उनके समाधानों के रूप में पीढ़ी-दर-पीढ़ी हस्तांतरित होता रहा। प्राचीन काल में, जो व्यक्ति व्यवहार में आने वाली कुछ प्रकार की समस्याओं को हल करना जानता था उसे प्रशिक्षित माना जाता था।

तृतीय. जोश में आना (मौखिक रूप से समस्याओं का समाधान - 6 मिनट)
क) कार्डों पर समस्याएँ।
प्रत्येक छात्र को एक समस्या वाला कार्ड दिया जाता है, जिसे वह मौखिक रूप से हल करता है और उत्तर देता है। क्रिया 3 - 1 = 2 के लिए सभी कार्य।

(छात्र समस्याओं को सही ढंग से हल करते हैं, और कुछ नहीं। सभी मौखिक रूप से। वे कार्ड उठाते हैं और शिक्षक देखते हैं कि समस्या का समाधान किसने किया; कार्ड में संख्या 2 होनी चाहिए।)

ख) कविता में समस्याएँ और तार्किक समस्याएँ। (शिक्षक समस्या को ज़ोर से पढ़ता है, छात्र सही उत्तर वाला कार्ड उठाते हैं।

हेजहोग ने बत्तखों को एक उपहार दिया
लड़कों में से कौन उत्तर देगा?
आठ चमड़े के जूते
वहां कितने बत्तख के बच्चे थे?
(चार।)

दो फुर्तीले सूअर
वे इतने ठंडे थे कि काँप रहे थे।
गिनें और कहें:
मुझे कितने फ़ेल्ट बूट खरीदने चाहिए?
(आठ।)

मैं एक देवदार के जंगल में दाखिल हुआ
और मैंने एक फ्लाई एगारिक देखा
दो शहद मशरूम,
दो मोरेल.
तीन तेल के डिब्बे,
दो पंक्तियाँ...
किसके पास उत्तर तैयार है:
मुझे कितने मशरूम मिले?
(दस।)

4. मुर्गियाँ और कुत्ते आँगन में घूम रहे थे। लड़के ने उनके पंजे गिने। दस हो गये। वहाँ कितनी मुर्गियाँ और कितने कुत्ते हो सकते हैं? (दो कुत्ते और एक मुर्गी, एक कुत्ता और तीन मुर्गियाँ.)

5. डॉक्टर के नुस्खे के अनुसार, हमने फार्मेसी से 10 गोलियाँ खरीदीं। डॉक्टर ने मुझे दिन में 3 गोलियाँ लेने की सलाह दी। ये दवा कितने दिन चलेगी? (पूरे दिन.)

6. भाई 7 साल का है और बहन 5 साल की है। जब भाई 10 साल का है तो बहन की उम्र कितनी होगी?

7. दी गई संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. कौन बड़ा है: उनका गुणनफल या योग?

8. बाड़ बनाते समय बढ़ई ने 5 खंभों को एक सीधी रेखा में रखा। खंभों के बीच की दूरी 2 मीटर है बाड़ की लंबाई क्या है?

चतुर्थ. समस्या को सुलझाना

(बच्चों के लिए कार्य कार्ड पर दिए गए हैं - 15 मिनट। बच्चे बोर्ड पर समस्याओं का समाधान करते हैं)
कार्य ए) और बी) का उद्देश्य जोड़ और घटाव के संचालन के साथ "... अधिक" और "... कम" संबंधों के बीच संबंध को दोहराना है।

a) एक प्रशिक्षु टर्नर प्रति शिफ्ट 120 भाग घुमाता है, और टर्नर 36 भाग अधिक घुमाता है। टर्नर और उसके प्रशिक्षु ने एक साथ कितने भागों को घुमाया?

बी) पहली टीम ने शिफ्ट के दौरान 52 डिवाइस एकत्र किए, दूसरे ने - पहले से 9 डिवाइस कम, और तीसरी ने - दूसरे से 12 डिवाइस अधिक।

समस्या सी का उपयोग करके, छात्रों को समस्या का समाधान "उल्टा" दिखाया जा सकता है।

ग) तीन कक्षाओं में 44 लड़कियाँ हैं - यह लड़कों से 8 कम है। तीन कक्षाओं में कितने लड़के हैं?

समस्या d) में छात्र कई समाधान प्रस्तावित कर सकते हैं।

घ) तीन बहनों से पूछा गया: "प्रत्येक बहन की उम्र कितनी है?" वेरा ने जवाब दिया कि वह और नाद्या एक साथ 28 साल की थीं, नाद्या और ल्यूबा एक साथ 23 साल की थीं और तीनों 38 साल की थीं। प्रत्येक बहन की आयु कितनी है?

टास्क ई) का उद्देश्य "अधिक अंदर..." और "कम अंदर..." के बीच संबंध को दोहराना है।

ई) वास्या के 46 अंक थे। एक वर्ष के दौरान, उनके संग्रह में 230 टिकटों की वृद्धि हुई। उनका कलेक्शन कितने गुना बढ़ गया है?

वी. शारीरिक शिक्षा मिनट (दो मिनट।)

एक पैर पर खड़ा
यह ऐसा है जैसे आप एक दृढ़ सैनिक हैं।
अपना बायाँ पैर उठाएँ।
देखो, गिर मत जाना.
अब बाईं ओर खड़े हो जाएं,
यदि आप एक वीर सैनिक हैं।

VI. प्राचीन, ऐतिहासिक समस्याएँ। परीकथा सामग्री के साथ समस्याएँ (दस मिनट।)

समस्या ई) दो संख्याओं को उनके योग और अंतर से ज्ञात करना।

इ)(एल.एन. टॉल्स्टॉय द्वारा "अंकगणित" से)

दो व्यक्तियों के पास 35 भेड़ें हैं। एक के पास दूसरे से 9 अधिक हैं। प्रत्येक व्यक्ति के पास कितनी भेड़ें हैं?

संचलन कार्य.

और)(एक पुरानी समस्या.)दो ट्रेनें एक ही समय में मास्को से टवर के लिए रवाना हुईं। पहला 39 मील प्रति घंटे की गति से गुजरा और दूसरे से दो घंटे पहले टवर पहुंचा, जिसने 26 मील प्रति घंटे की यात्रा की। मॉस्को से टवर तक कितने मील?

(समीकरण का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करना आसान है। लेकिन छात्रों को समस्या का अंकगणितीय समाधान खोजने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है।)

1) 26 * 2 = 52 (वर्स्ट) - दूसरी ट्रेन पहली ट्रेन से इतने मील पीछे थी;

2) 39 - 26 = 13 (वर्स्ट) - इतने मील की दूरी पर दूसरी ट्रेन पहली ट्रेन से 1 घंटा पीछे थी;

3) 52: 13 = 4 (घंटे) - यानी कि पहली ट्रेन को यात्रा करने में कितना समय लगा;

4) 39 * 4 = 156 (वर्स्ट) - मॉस्को से टवर की दूरी।

किलोमीटर में दूरी जानने के लिए आप संदर्भ पुस्तकों में देख सकते हैं।

1 मील = 1 किमी 69 मीटर।

कार्य को भागों में विभाजित किया गया है।

एच)किकिमोरा का कार्य।मर्मन ने किकिमोर हा-हा से शादी करने का फैसला किया। उसने अपने किकिमोर घूँघट पर कई जोंकें लगाईं, और अपने केप पर दोगुनी जोंकें लगाईं। छुट्टियों के दौरान, 15 जोंकें गिर गईं, और केवल 435 ही बचीं किकिमोरा के घूंघट पर कितनी जोंकें थीं?

(समस्या को समीकरण का उपयोग करके हल करने के लिए दिया गया है, लेकिन हम इसे अंकगणितीय तरीके से हल करते हैं)

सातवीं. लाइव नंबर (अनलोडिंग विराम - 4 मिनट)

शिक्षक 10 छात्रों को बोर्ड पर बुलाता है और उन्हें 1 से 10 तक नंबर देता है। छात्रों को अलग-अलग कार्य मिलते हैं;

क) शिक्षक नंबरों पर कॉल करता है; नामित लोग एक कदम आगे बढ़ाते हैं (उदाहरण: 5, 8, 1, 7);

बी) केवल नामित संख्या के पड़ोसी बाहर आते हैं (उदाहरण के लिए: संख्या 6, 5 और 7 बाहर आते हैं);

ग) शिक्षक उदाहरण लेकर आता है, और केवल वही सामने आता है जिसके पास इस उदाहरण या समस्या का उत्तर है (उदाहरण के लिए: 2 ´ 4; 160: 80; आदि);

घ) शिक्षक कई तालियाँ बजाता है और एक संख्या (एक या दो) भी दिखाता है; एक छात्र को बाहर आना चाहिए जिसका नंबर सभी सुनी और देखी गई संख्याओं का योग हो (उदाहरण के लिए: 3 ताली, संख्या 5 और संख्या 1.);

कौन सी संख्या चार से बड़ी है?

मैंने एक संख्या के बारे में सोचा, उसमें से 3 घटाया, मुझे 7 मिला। मैंने कौन सी संख्या के बारे में सोचा?

यदि आप इच्छित संख्या में 2 जोड़ते हैं, तो आपको 8 प्राप्त होता है। इच्छित संख्या क्या है?

हमें कार्यों का चयन करने का प्रयास करना चाहिए ताकि उत्तरों में समान संख्याएँ दोहराई न जाएँ, ताकि हर कोई खेल में सक्रिय रूप से भाग ले सके।

आठवीं. पाठ का सारांश (दो मिनट।)

- आज हमने कक्षा में क्या किया?

- अंकगणित का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का क्या मतलब है?

- हमें यह याद रखना चाहिए कि समस्या का जो समाधान खोजा जाए वह समस्या की शर्तों को पूरा करना चाहिए।

नौवीं. होमवर्क असाइनमेंट। ग्रेडिंग (दो मिनट।)

№ कमजोर विद्यार्थियों के लिए 387 (अंकगणित विधि से समस्याएँ हल करें)। औसत और मजबूत छात्रों के लिए, होमवर्क असाइनमेंट कार्ड पर दिए गए हैं।

1. बेकरी में 645 किलो काली और सफेद ब्रेड थी। 215 किलो काली और 287 किलो सफेद ब्रेड बेचने के बाद दोनों प्रकार की ब्रेड बराबर मात्रा में बची। बेकरी में अलग-अलग कितने किलोग्राम काली और सफेद ब्रेड थीं?

भाई और बहन को जंगल में 25 पोर्सिनी मशरूम मिले। भाई को अपनी बहन से 7 मशरूम अधिक मिले। आपके भाई को कितने पोर्सिनी मशरूम मिले?

कॉम्पोट के लिए, हमने सेब के 6 भाग, नाशपाती के 5 भाग और शब्दों के 3 भाग लिए। यह पता चला कि नाशपाती और प्लम ने मिलकर 2 किलो 400 ग्राम लिए सेब का द्रव्यमान निर्धारित करें; सभी फलों का द्रव्यमान.

साहित्य

विलेनकिन एन., ज़ोखोव वी., चेसनोकोव ए.अंक शास्त्र। पाँचवी श्रेणी। - एम., "मेनेमोसिन", 2002।

शेवकिन ए.वी.स्कूली गणित पाठ्यक्रम में पाठ्य समस्याएँ। - एम.: पेडागोगिकल यूनिवर्सिटी "फर्स्ट ऑफ़ सितंबर", 2006।

वोलिना वी.संख्याओं की छुट्टी. - एम.: ज्ञान, 1994।

गणितीय ज्ञान के विकास में शब्द समस्याओं को हल करना सीखना महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। शब्द संबंधी समस्याएं छात्रों की सोच को विकसित करने के लिए काफी गुंजाइश प्रदान करती हैं। समस्याओं को हल करना सीखना न केवल कुछ विशिष्ट स्थितियों में सही उत्तर प्राप्त करने की तकनीक सिखाने के बारे में है, बल्कि समाधान खोजने के लिए रचनात्मक दृष्टिकोण सीखने, मानसिक गतिविधि में अनुभव प्राप्त करने और छात्रों को विभिन्न प्रकार के समाधानों में गणित की क्षमताओं का प्रदर्शन करने के बारे में भी है। समस्याओं का. हालाँकि, ग्रेड 5-6 में शब्द समस्याओं को हल करते समय, एक समीकरण का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। लेकिन पाँचवीं कक्षा के विद्यार्थियों की सोच अभी तक समीकरणों को हल करने में शामिल औपचारिक प्रक्रियाओं के लिए तैयार नहीं है। समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय विधि के बीजगणितीय विधि की तुलना में कई फायदे हैं क्योंकि क्रियाओं के प्रत्येक चरण का परिणाम स्पष्ट और अधिक विशिष्ट होता है, और पाँचवीं कक्षा के छात्रों के अनुभव से आगे नहीं जाता है। छात्र समीकरणों का उपयोग करने की तुलना में कार्यों का उपयोग करके समस्याओं को बेहतर और तेजी से हल करते हैं। बच्चों की सोच ठोस होती है, और इसे विशिष्ट वस्तुओं और मात्राओं पर विकसित किया जाना चाहिए, फिर धीरे-धीरे अमूर्त छवियों के साथ काम करना शुरू करना चाहिए।

कार्य पर काम करने में शर्त के पाठ को ध्यान से पढ़ना, प्रत्येक शब्द के अर्थ को समझना शामिल है। मैं उन समस्याओं के उदाहरण दूंगा जिन्हें अंकगणित का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है।

कार्य 1।जैम बनाने के लिए दो भाग रसभरी और तीन भाग चीनी लें। 2 किलो 600 ग्राम रसभरी के लिए आपको कितनी किलोग्राम चीनी लेनी होगी?

किसी समस्या को "भागों" में हल करते समय, आपको समस्या की स्थितियों की कल्पना करना सीखना चाहिए, यानी। ड्राइंग पर भरोसा करना बेहतर है।

1. 2600:2=1300 (जी) - जाम के एक हिस्से के लिए हिसाब;
2. 1300*3=3900 (ग्राम) - आपको चीनी लेनी होगी।

कार्य 2.पहली शेल्फ पर दूसरी शेल्फ की तुलना में तीन गुना अधिक किताबें थीं। दोनों अलमारियों पर मिलाकर 120 किताबें थीं। प्रत्येक शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?

1) 1+3=4 (भाग) - सभी पुस्तकों का लेखा-जोखा;

2) 120:4=30 (किताबें) - एक भाग के लिए खाते (दूसरे शेल्फ पर किताबें);

3) 30*3=90 (किताबें) - पहली शेल्फ पर खड़ी थीं।

कार्य 3.तीतर और खरगोश एक पिंजरे में बैठे हैं। कुल 27 सिर और 74 पैर हैं। पिंजरे में तीतरों की संख्या और खरगोशों की संख्या ज्ञात कीजिए।

आइए कल्पना करें कि हमने पिंजरे के ढक्कन पर एक गाजर रखी है जिसमें तीतर और खरगोश बैठे हैं। फिर सभी खरगोश उस तक पहुंचने के लिए अपने पिछले पैरों पर खड़े हो जाएंगे। तब:

1. 27*2=54 (पैर) - फर्श पर खड़े होंगे;
2. 74-54=20 (पैर) - शीर्ष पर होंगे;
3. 20:2=10 (खरगोश);
4. 27-10=17 (तीतर)।

कार्य 4.हमारी कक्षा में 30 छात्र हैं। 23 लोग संग्रहालय के भ्रमण पर गए, और 21 लोग सिनेमा गए, और 5 लोग भ्रमण या सिनेमा में नहीं गए। कितने लोग भ्रमण और सिनेमा दोनों पर गए?

स्थिति का विश्लेषण करने और समाधान योजना का चयन करने के लिए "यूलेरियन सर्कल" का उपयोग किया जा सकता है।

1. 30-5=25 (व्यक्ति) - या तो सिनेमा देखने गए या भ्रमण पर,
2. 25-23=2 (व्यक्ति) - केवल सिनेमा देखने गया;
3. 21-2=19 (व्यक्ति) - सिनेमा देखने और भ्रमण पर गया।

कार्य 5.तीन बत्तख और चार गोस्लिंग का वजन 2 किलो 500 ग्राम है, और चार बत्तख और तीन गोस्लिंग का वजन 2 किलो 400 ग्राम है। एक गोस्लिंग का वजन कितना होता है?

1. 2500+2400=2900 (जी) - सात बत्तख और सात गोस्लिंग का वजन;
2. 4900:7=700 (जी) - एक बत्तख और एक गोस्लिंग का वजन;
3. 700*3=2100 (जी) - 3 बत्तख और 3 गोस्लिंग का वजन;
4. 2500-2100=400 (ग्राम) - कैटरपिलर का वजन।

कार्य 6.हमने किंडरगार्टन के लिए 20 पिरामिड खरीदे: बड़े और छोटे - प्रत्येक में 7 और 5 अंगूठियां। सभी पिरामिडों में 128 वलय होते हैं। वहाँ कितने बड़े पिरामिड थे?

आइए कल्पना करें कि हमने सभी बड़े पिरामिडों से दो छल्ले हटा दिए। तब:

1) 20*5=100 (रिंग्स) - बाएँ;

2) 128-100-28 (रिंग्स) - हमने हटा दिया;

3) 28:2=14 (बड़े पिरामिड)।

कार्य 7. 20 किलो वजन वाले तरबूज में 99% पानी था। जब यह थोड़ा सूख गया तो इसमें पानी की मात्रा घटकर 98% रह गई। तरबूज का द्रव्यमान निर्धारित करें।

सुविधा के लिए, समाधान के साथ आयतों का चित्रण भी होगा।

99% पानी	1% शुष्क पदार्थ
98% पानी	2% शुष्क पदार्थ

इस मामले में, "शुष्क पदार्थ" के आयतों को बराबर खींचने की सलाह दी जाती है, क्योंकि तरबूज में "शुष्क पदार्थ" का द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है।

1) 20:100=0.2 (किलो) - "शुष्क पदार्थ" का द्रव्यमान;

2) 0.2:2=0.1 (किग्रा) - सूखे तरबूज का 1% है;

3) 0.1*100=10 (किलो) - तरबूज का द्रव्यमान।

कार्य 8.मेहमानों ने पूछा: तीनों बहनों में से प्रत्येक की उम्र कितनी थी? वेरा ने जवाब दिया कि वह और नाद्या एक साथ 28 साल की थीं, नाद्या और ल्यूबा एक साथ 23 साल की थीं और तीनों 38 साल की थीं। प्रत्येक बहन की आयु कितनी है?

1. 38-28=10 (वर्ष) - ल्यूबा;
2. 23-10=13 (वर्ष) - नाद्या;
3. 28-13=15 (वर्ष) - वेरा।

शब्द समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय विधि बच्चे को सचेत रूप से, तार्किक रूप से सही ढंग से कार्य करना सिखाती है, क्योंकि इस तरह से हल करने पर "क्यों" प्रश्न पर ध्यान बढ़ता है और विकास की बड़ी संभावनाएं होती हैं। यह छात्रों के विकास, समस्याओं को सुलझाने और गणित के विज्ञान में उनकी रुचि के निर्माण में योगदान देता है।

सीखने को व्यवहार्य, रोमांचक और शिक्षाप्रद बनाने के लिए, आपको पाठ्य समस्याओं को चुनते समय बहुत सावधान रहना होगा, उन्हें हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना होगा, सर्वोत्तम को चुनना होगा और तार्किक सोच विकसित करनी होगी, जो भविष्य में ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय आवश्यक है।

विद्यार्थी समस्याओं का समाधान करके ही उन्हें हल करना सीख सकते हैं। "यदि आप तैरना सीखना चाहते हैं, तो साहसपूर्वक पानी में प्रवेश करें, और यदि आप समस्याओं को हल करना सीखना चाहते हैं, तो उन्हें हल करें," डी. पोल्या ने "गणितीय खोज" पुस्तक में लिखा है।

अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने पर सामान्य नोट्स।

कार्यों के परिणामों के आधार पर अज्ञात खोजने की समस्याएँ।

आनुपातिक विभाजन की समस्याएँ.

प्रतिशत और भागों से जुड़ी समस्याएँ।

समस्याओं का समाधान उलटा हुआ।

1. प्राथमिक विद्यालय में शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणित विधि मुख्य विधि है। इसका प्रयोग माध्यमिक विद्यालयों के मध्य स्तर में भी होता है। यह विधि आपको किसी कार्य पर काम करने के प्रत्येक चरण के महत्व को बेहतर ढंग से समझने और उसकी सराहना करने की अनुमति देती है।

कुछ मामलों में, अंकगणितीय विधि का उपयोग करके किसी समस्या को हल करना अन्य विधियों का उपयोग करने की तुलना में बहुत आसान है।

अपनी सरलता और पहुंच से मंत्रमुग्ध करने वाली, अंकगणितीय विधि एक ही समय में काफी जटिल है, और इस विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की तकनीकों में महारत हासिल करने के लिए गंभीर और श्रमसाध्य कार्य की आवश्यकता होती है। विभिन्न प्रकार की समस्याओं से हमें समस्याओं का विश्लेषण करने और उन्हें हल करने के तरीके खोजने के लिए एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण बनाने की अनुमति नहीं मिलती है: समस्याएं, यहां तक ​​​​कि एक समूह में संयुक्त होने पर, उन्हें हल करने के पूरी तरह से अलग तरीके होते हैं।

2 . कार्यों के लिए उनके अंतर और अनुपात के आधार पर अज्ञात ज्ञात करनाइनमें वे समस्याएं शामिल हैं जिनमें किसी निश्चित मात्रा के दो मानों के ज्ञात अंतर और भागफल का उपयोग करके इन मानों को ज्ञात करना आवश्यक होता है।

बीजगणितीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है: एक्स= एके/(के - 1), y = a/(k – 1).

उदाहरण।फास्ट ट्रेन की आरक्षित सीट वाली गाड़ियों में डिब्बे की गाड़ियों की तुलना में 432 अधिक यात्री होते हैं। आरक्षित सीट और डिब्बे वाली गाड़ियों में अलग-अलग कितने यात्री हैं, यदि आरक्षित सीट वाली गाड़ियों की तुलना में डिब्बे वाली गाड़ियों में 4 गुना कम यात्री हैं?

समाधान।समस्या का एक ग्राफिकल मॉडल चित्र में प्रस्तुत किया गया है। 4.

चावल। 4

हम कम्पार्टमेंट कारों में यात्रियों की संख्या को 1 भाग के रूप में लेंगे। फिर आप पता लगा सकते हैं कि आरक्षित सीट वाली कारों में प्रति यात्री संख्या के हिसाब से कितने हिस्से हैं, और फिर प्रति 432 यात्रियों के लिए कितने हिस्से हैं। इसके बाद, आप 1 भाग (कम्पार्टमेंट कारों में स्थित) बनाने वाले यात्रियों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं। यह जानते हुए कि आरक्षित सीट वाली गाड़ियों में 4 गुना अधिक यात्री होते हैं, हम उनकी संख्या ज्ञात कर सकते हैं।

1  4 = 4 (घंटे) - आरक्षित सीट वाली गाड़ियों में यात्रियों के लिए खाता;

4 - 1 = 3 (एच.) - आरक्षित सीट और डिब्बे की गाड़ियों में यात्रियों की संख्या के बीच अंतर के लिए जिम्मेदार है;

432: 3 = 144 (पी.) - कम्पार्टमेंट कारों में;

144  4 = 576 (पी.) - आरक्षित सीट वाली गाड़ियों में।

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल करके सत्यापित किया जा सकता है, अर्थात्:

1  4 = 4(एच);

4 – 1 = 3 (एच);

432: 3 = 144 (पी.);

144 + 432 = 576 (पी.)।

उत्तर: डिब्बे वाली गाड़ियों में 144 यात्री हैं, और आरक्षित सीट वाली गाड़ियों में 576 यात्री हैं।

कार्यों के लिए दो या दो अवशेषों से अज्ञात खोजना मतभेद, उन समस्याओं को शामिल करें जिनमें दो सीधे या व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं पर विचार किया जाता है, जैसे कि एक मात्रा के दो मान और दूसरी मात्रा के संगत मानों का अंतर ज्ञात हो, और इसके मान ज्ञात करना आवश्यक है मात्रा स्वयं.

बीजगणितीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं:

उदाहरण।दो ट्रेनों ने समान गति से यात्रा की - एक 837 किमी, दूसरी 248 किमी, और पहली सड़क पर दूसरी की तुलना में 19 घंटे अधिक समय तक चली। प्रत्येक ट्रेन ने कितने घंटे की यात्रा की?

समाधान।समस्या का एक ग्राफिकल मॉडल चित्र 5 में प्रस्तुत किया गया है।

चावल। 5

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यह या वह ट्रेन कितने घंटे रास्ते में थी, आपको यह जानने की आवश्यकता है कि उसने कितनी दूरी तय की और उसकी गति क्या थी। शर्त में दूरी दी गई है. गति का पता लगाने के लिए, आपको वह दूरी और वह समय जानना होगा जिसके दौरान यह दूरी तय की गई थी। शर्त कहती है कि पहली ट्रेन को 19 घंटे अधिक लगे और इस दौरान उसने कितनी दूरी तय की, इसका पता लगाया जा सकता है। वह अतिरिक्त 19 घंटे तक चले - जाहिर है, इस दौरान उन्होंने अतिरिक्त दूरी भी तय की।

837 – 248 = 589 (किमी) – पहली ट्रेन ने इतने किलोमीटर अधिक यात्रा की;

589: 19 = 31 (किमी/घंटा) - पहली ट्रेन की गति;

837: 31 = 27 (घंटे) - पहली ट्रेन अपने रास्ते पर थी;

4) 248: 31 = 8 (घंटे) - दूसरी ट्रेन रास्ते में थी।

आइए समस्या को हल करते समय प्राप्त आंकड़ों और संख्याओं के बीच एक पत्राचार स्थापित करके समस्या के समाधान की जांच करें।

यह पता लगाने पर कि प्रत्येक ट्रेन कितने समय तक सड़क पर थी, हमें पता चलेगा कि पहली ट्रेन सड़क पर दूसरी की तुलना में कितने घंटे अधिक थी: 27 - 8 = 19 (घंटे)। यह संख्या स्थिति से मेल खाती है। अतः समस्या का समाधान सही ढंग से किया गया।

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल करके सत्यापित किया जा सकता है। सभी चार प्रश्न और पहली तीन क्रियाएं समान रहती हैं।

4) 27 –19 = 8 (घंटे)।

उत्तर: पहली ट्रेन को यात्रा करने में 31 घंटे लगे, दूसरी ट्रेन को 8 घंटे लगे।

जोड़े में लिए गए इन अज्ञातों के तीन योगों में से तीन अज्ञात खोजने की समस्याएँ:

बीजगणितीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

एक्स =(ए -बी + ग)/2, y = (ए +बी – ग)/2, जेड = (बी + साथ -ए)/ 2.

उदाहरण। 116 छात्र अंग्रेजी और जर्मन पढ़ते हैं, 46 छात्र जर्मन और स्पेनिश पढ़ते हैं, और 90 छात्र अंग्रेजी और स्पेनिश पढ़ते हैं। यदि यह ज्ञात हो कि प्रत्येक छात्र केवल एक भाषा पढ़ता है, तो कितने छात्र अंग्रेजी, जर्मन और स्पेनिश अलग-अलग पढ़ते हैं?

समाधान।समस्या का एक ग्राफिकल मॉडल चित्र 6 में प्रस्तुत किया गया है।

कितने छात्र प्रत्येक भाषा पढ़ते हैं?

समस्या का ग्राफिकल मॉडल दिखाता है: यदि हम शर्त (116 + 90 + 46) में दिए गए स्कूली बच्चों की संख्या को जोड़ते हैं, तो हमें अंग्रेजी, जर्मन और स्पेनिश पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या दोगुनी हो जाती है। इसे दो से विभाजित करने पर हमें स्कूली बच्चों की कुल संख्या ज्ञात होती है। अंग्रेजी पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या ज्ञात करने के लिए, इस संख्या में से जर्मन और स्पेनिश पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या घटाना पर्याप्त है। इसी प्रकार, हम शेष आवश्यक संख्याएँ ज्ञात करते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

116 + 90 + 46 = 252 (स्कूली बच्चे) - भाषाएँ पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या दोगुनी;

252: 2 = 126 (स्कूल) - भाषाओं का अध्ययन करें;

126 - 46 = 80 (स्कूल) - अंग्रेजी का अध्ययन करें;

126 – 90 = 36 (स्कूल) – जर्मन अध्ययन करें;

126 - 116 = 10 (स्कूल) - स्पेनिश सीखें।

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल करके सत्यापित किया जा सकता है।

116 - 46 = 70 (स्कूली बच्चे) - स्पैनिश की तुलना में बहुत अधिक स्कूली बच्चे अंग्रेजी सीखते हैं;

90 + 70 = 160 (स्कूली बच्चे) - अंग्रेजी पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या दोगुनी;

160: 2 = 80 (स्कूल) - अंग्रेजी सीखें;

90 - 80 = 10 (स्कूल) - स्पेनिश सीखें;

116 – 80 = 36 (स्कूल) – जर्मन अध्ययन करें।

उत्तर: 80 स्कूली बच्चे अंग्रेजी पढ़ते हैं, 36 स्कूली बच्चे जर्मन पढ़ते हैं, और 10 स्कूली बच्चे स्पेनिश पढ़ते हैं।

3. आनुपातिक विभाजन समस्याओं में वे समस्याएँ शामिल होती हैं जिनमें किसी निश्चित मात्रा के दिए गए मान को दी गई संख्याओं के अनुपातिक भागों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है। उनमें से कुछ में, भागों को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया जाता है, जबकि अन्य में, इन भागों को इस मात्रा के मूल्यों में से एक को एक भाग के रूप में लेकर और यह निर्धारित करके अलग किया जाना चाहिए कि ऐसे कितने हिस्से इसके अन्य मूल्यों के हिसाब से हैं।

आनुपातिक विभाजन समस्याएँ पाँच प्रकार की होती हैं।

1) किसी संख्या को सीधे भागों में विभाजित करने से संबंधित समस्याएँपूर्ण या भिन्नात्मक संख्याओं की श्रृंखला के समानुपाती

इस प्रकार की समस्याओं में वे कार्य शामिल हैं जिनमें संख्या ए एक्स 1, एक्स 2 , एक्स 3 , ..., एक्स एन संख्याओं के सीधे आनुपातिक ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन .

बीजगणितीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

उदाहरण।ट्रैवल कंपनी के चार मनोरंजन केंद्र हैं, जिनमें समान क्षमता की इमारतें हैं। पहले मनोरंजन केंद्र के क्षेत्र में 6 इमारतें हैं, दूसरे में 4 इमारतें हैं, तीसरे में 5 इमारतें हैं, चौथे में 7 इमारतें हैं। यदि सभी 4 अड्डों पर 2,112 लोगों को ठहराया जा सकता है, तो प्रत्येक अड्डे पर कितने कैंपर रह सकते हैं?

समाधान। कार्य का सारांश चित्र 7 में दिखाया गया है।

चावल। 7

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, प्रत्येक बेस पर कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है, आपको यह जानना होगा कि एक इमारत में कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है और प्रत्येक बेस के क्षेत्र में कितनी इमारतें स्थित हैं। प्रत्येक आधार पर भवनों की संख्या शर्त में दी गई है। यह पता लगाने के लिए कि एक इमारत में कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है, आपको यह जानना होगा कि सभी 4 ठिकानों पर कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है (यह शर्त में दिया गया है) और सभी 4 ठिकानों के क्षेत्र में कितनी इमारतें स्थित हैं। उत्तरार्द्ध को स्थिति से यह जानकर निर्धारित किया जा सकता है कि प्रत्येक आधार के क्षेत्र में कितनी इमारतें स्थित हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (के.) - 4 ठिकानों के क्षेत्र पर स्थित;

2112: 22 = 96 (घंटे) - एक इमारत में रखा जा सकता है;

96  6 = 576 (एच) - पहले आधार पर रखा जा सकता है;

96  4 = 384 (एच) - दूसरे आधार पर रखा जा सकता है;

96  5 = 480 (एच) - तीसरे आधार पर रखा जा सकता है;

96  7 = 672 (h) - चौथे आधार पर रखा जा सकता है।

इंतिहान।हम गणना करते हैं कि 4 आधारों पर कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है: 576 + 384 + 480 + 672 = 2,112 (घंटे)। कार्य की शर्तों में कोई विसंगति नहीं है। समस्या का समाधान सही ढंग से किया गया.

उत्तर: पहला बेस 576 वेकेशनर्स को समायोजित कर सकता है, दूसरा - 384 वेकेशनर्स, तीसरा - 480 वेकेशनर्स, और चौथा - 672 वेकेशनर्स।

2) किसी संख्या को पूर्णांकों या भिन्नों की श्रृंखला के व्युत्क्रमानुपाती भागों में विभाजित करने से संबंधित समस्याएँ

इनमें वे कार्य शामिल हैं जिनमें संख्या ए(एक निश्चित मात्रा का मूल्य) को भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है एक्स 1 मैं , एक्स 2 , एक्स 3 मैं , ..., एक्स"संख्याओं के व्युत्क्रमानुपाती ए 1बी ए 2 , ए 3 ,..., ए एन .

बीजगणितीय मॉडल:

या

एक्स 1 : एक्स 2 :एक्स 3 :...:х„ = ए 2 ए 3 ...ए एन :ए 1 ए 3 ...ए पी :ए 1 ए 2 ए 4 ...ए एन :...:ए 1 ए 2 ...ए एन -1

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

कहाँ एस = ए 2 ए 3 ...ए„+ए एल ए मैं ... ए एन + ए ] ए 2 ए 4 ...ए एन + ... + ए 1 ए 2 ...ए एन -1.

उदाहरण।चार महीनों के लिए, फर की बिक्री से फर फार्म की आय 1,925,000 रूबल थी, और महीने के अनुसार प्राप्त धन को संख्या 2, 3, 5, 4 के विपरीत अनुपात में वितरित किया गया था। प्रत्येक महीने में फार्म की आय अलग से क्या है?

समाधान।शर्त में उल्लिखित आय निर्धारित करने के लिए, चार महीनों की कुल आय दी गई है, अर्थात, चार आवश्यक संख्याओं का योग, साथ ही आवश्यक संख्याओं के बीच संबंध। आवश्यक आय संख्या 2, 3, 5, 4 के व्युत्क्रमानुपाती है।

चलो निरूपित करें x के माध्यम से क्रमशः आवश्यक आय, एक्स 2 , एक्स 3 , एक्स 4 . फिर समस्या को संक्षेप में लिखा जा सकता है जैसा कि चित्र 8 में दिखाया गया है।

चावल। 8

प्रत्येक आवश्यक संख्या के भागों की संख्या जानकर, हम उनके योग में निहित भागों की संख्या ज्ञात करेंगे। चार महीनों के लिए दी गई कुल आय के आधार पर, यानी आवश्यक संख्याओं के योग और इस राशि में निहित भागों की संख्या के आधार पर, हम एक हिस्से का मूल्य और फिर आवश्यक आय का पता लगाते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

1. आवश्यक आय संख्या 2, 3, 5, 4 के व्युत्क्रमानुपाती हैं, जिसका अर्थ है कि वे व्युत्क्रम संख्याओं के सीधे आनुपातिक हैं, अर्थात संबंध हैं . आइए भिन्नात्मक संख्याओं के इन अनुपातों को पूर्णांकों के अनुपातों से बदलें:

2. यह जानना एक्सइसमें 30 बराबर भाग हैं, एक्स 2 – 20, एक्स 3 – 12, एक्स 4 – 15, आइए जानें कि उनके योग में कितने भाग शामिल हैं:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (घंटे)।

3. एक हिस्से के लिए कितने रूबल हैं?

1,925,000: 77 = 25,000 (आर.).

4. पहले महीने में खेत की आय कितनी है?

25,000 30 = 750,000 (आर.).

5. दूसरे महीने में कृषि आय कितनी है?

25,000 20 = 500,000 (आर.).

6. तीसरे महीने में कृषि आय क्या है?

25,000-12 = 300,000 (आर.)।

7. चौथे महीने में कृषि आय कितनी है?

25,000-15 = 375,000 (आर.).

उत्तर: पहले महीने में, खेत की आय 750,000 रूबल थी, दूसरे में - 500,000 रूबल, तीसरे में - 300,000 रूबल, चौथे में - 375,000 रूबल।

3) किसी संख्या को भागों में विभाजित करने से जुड़ी समस्याएं, जब आवश्यक संख्याओं के प्रत्येक जोड़े के लिए अलग-अलग अनुपात दिए जाते हैं

इस प्रकार की समस्याओं में वे कार्य शामिल हैं जिनमें संख्या ए(एक निश्चित मात्रा का मूल्य) को भागों x 1 में विभाजित किया जाना चाहिए, एक्स 2 , एक्स 3, ..., एक्स",जब जोड़े में ली गई आवश्यक संख्याओं के लिए संबंधों की एक श्रृंखला दी जाती है। बीजगणितीय मॉडल:

एक्स 1: एक्स 2 = ए 1 : बी 1, एक्स 2 : एक्स 3 = ए 2 : बी 2, एक्स 3 : एक्स 4 = ए 3 : बी 3 , ..., एक्स एन-1 : एक्स एन = ए एन -1 : बी एन-1 .

एन = 4. बीजगणितीय मॉडल:

एक्स एक्स :एक्स 2 = ए 1 : बी 1, एक्स 2 :एक्स 3= ए 2 : बी 2, एक्स 3 : एक्स 4 = ए 3: बी 3 .

इसलिए, एक्स 1: एक्स 2 : एक्स 3: एक्स 4 = ए 1 ए 2 ए 3 : बी 1 ए 2 ए 3 : बी 1 बी 2 ए 3 : बी 1 बी 2 बी 3 .

कहाँ एस = ए 1 ए 2 ए 3 + बी 1 ए जी ए 3 + बी 1 बी 2 ए 3 + बी 1 बी 2 बी 3

उदाहरण।तीनों शहरों में 168,000 निवासी हैं। पहले और दूसरे शहर के निवासियों की संख्या अनुपात में है , और दूसरे और तीसरे शहर - के संबंध में। प्रत्येक शहर में कितने निवासी हैं?

समाधान।आइए क्रमशः निवासियों की आवश्यक संख्या को निरूपित करें एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 . फिर समस्या को संक्षेप में लिखा जा सकता है जैसा कि चित्र 9 में दिखाया गया है।

चावल। 9

निवासियों की संख्या निर्धारित करने के लिए, तीन शहरों में निवासियों की संख्या दी गई है, अर्थात, तीन आवश्यक संख्याओं का योग, साथ ही आवश्यक संख्याओं के बीच व्यक्तिगत संबंध। इन संबंधों को संबंधों की एक श्रृंखला के साथ प्रतिस्थापित करते हुए, हम तीन शहरों के निवासियों की संख्या को समान भागों में व्यक्त करते हैं। प्रत्येक आवश्यक संख्या के भागों की संख्या जानकर, हम उनके योग में निहित भागों की संख्या ज्ञात करेंगे। तीन शहरों में निवासियों की दी गई कुल संख्या से, यानी आवश्यक संख्याओं के योग से और इस योग में निहित भागों की संख्या से, हम एक हिस्से का आकार और फिर निवासियों की आवश्यक संख्या का पता लगाते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें।

1. भिन्नात्मक संख्याओं के अनुपात को पूर्णांकों के अनुपात से बदलें:

हम दूसरे शहर के निवासियों की संख्या का मिलान संख्या 15 (संख्या 3 और 5 का सबसे छोटा सामान्य गुणक) से करते हैं।

हम परिणामी रिश्तों को तदनुसार बदलते हैं:

एक्स 1: एक्स 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.

व्यक्तिगत संबंधों से हम संबंधों की एक श्रृंखला बनाते हैं:

एक्स 1: एक्स 2 : एक्स 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (एच) - संख्या 168,000 इतने सारे समान भागों से मेल खाती है;

3. 168,000: 56 = 3,000 (एफ.) - प्रति भाग;

4. 3,000 20 = 60,000 (एफ) - पहले शहर में;

5. 3,000 15 = 45,000 (एफ) - दूसरे शहर में;

3,000 21 = 63,000 (एफ.) - तीसरे शहर में।

उत्तर: 60,000 निवासी; 45,000 निवासी; 63,000 निवासी।

4) किसी संख्या को दो, तीन और इसी प्रकार संख्याओं की पंक्तियों के अनुपात में भागों में विभाजित करने से जुड़ी समस्याएँ

इस प्रकार की समस्याओं में वे समस्याएँ शामिल हैं जिनमें संख्या ए(एक निश्चित मात्रा का मूल्य) को भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है एक्स 1, एक्स 2 , एक्स 3 ,..., एक्स एन दो, तीन, ... के समानुपाती एनसंख्याओं की पंक्तियाँ.

सामान्य रूप में समस्या को हल करने के सूत्रों की बोझिलता के कारण, आइए हम विशेष मामले पर विचार करें जब एन = 3 और एन = 2.होने देना एक्स 1 एक्स 2 , एक्स 3 संख्याओं के सीधे आनुपातिक ए 1 , ए 2 , ए 3 और संख्याओं के व्युत्क्रमानुपाती बी 1 , बी 2 , बी 3 .

बीजगणितीय मॉडल:

(इस पैराग्राफ का पैराग्राफ 1 देखें),

उदाहरण।दो श्रमिकों को 1,800 रूबल मिले। एक ने 3 दिन 8 घंटे काम किया, दूसरे ने 6 दिन 6 घंटे काम किया, यदि 1 घंटे के काम के लिए उन्हें समान वेतन मिलता हो तो प्रत्येक ने कितना कमाया?

समाधान. कार्य का सारांश चित्र 10 में दिखाया गया है।

चावल।10

यह जानने के लिए कि प्रत्येक कर्मचारी को कितना प्राप्त हुआ, आपको यह जानना होगा कि उन्होंने 1 घंटे के काम के लिए कितने रूबल का भुगतान किया और प्रत्येक कर्मचारी ने कितने घंटे काम किया। यह जानने के लिए कि उन्होंने 1 घंटे के काम के लिए कितने रूबल का भुगतान किया, आपको यह जानना होगा कि उन्होंने पूरे काम के लिए कितना भुगतान किया (शर्त में दिया गया) और दोनों श्रमिकों ने एक साथ कितने घंटे काम किया। काम किए गए कुल घंटों की संख्या जानने के लिए, आपको यह जानना होगा कि प्रत्येक व्यक्ति ने कितने घंटे काम किया है, और इसके लिए आपको यह जानना होगा कि प्रत्येक व्यक्ति ने कितने दिन काम किया और प्रति दिन कितने घंटे काम किया। यह डेटा शर्त में शामिल है.

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

8  3 = 24 (घंटे) - पहले कार्यकर्ता ने काम किया;

6  6 = 36 (घंटे) - दूसरे कर्मचारी ने काम किया;

24 + 36 = 60 (घंटे) - दोनों श्रमिकों ने एक साथ काम किया;

1800: 60 = 30 (आर.) - श्रमिकों को 1 घंटे के काम के लिए प्राप्त हुआ;

30  24 = 720 (आर.) - पहले कार्यकर्ता द्वारा अर्जित;

30  36 = 1080 (आर.) - दूसरे कार्यकर्ता द्वारा अर्जित। उत्तर: 720 रूबल; 1080 रगड़।

5) अनेक संख्याएँ ढूँढ़ने में समस्याएँउनके संबंधों और योग या अंतर के अनुसार (उनमें से कुछ का योग या अंतर)

उदाहरण।स्कूल प्रशासन ने खेल के मैदान, ग्रीनहाउस और जिम के उपकरणों पर 49,000 रूबल खर्च किए। खेल के मैदान के लिए उपकरण की लागत ग्रीनहाउस की तुलना में आधी है, और ग्रीनहाउस की लागत जिम और खेल के मैदान की तुलना में 3 गुना कम है। इनमें से प्रत्येक सुविधा के लिए उपकरणों पर कितना पैसा खर्च किया गया?

समाधान. कार्य का सारांश चित्र 11 में दिखाया गया है।

चावल। ग्यारह

प्रत्येक वस्तु के उपकरण पर खर्च की गई धनराशि का पता लगाने के लिए, आपको यह जानना होगा कि प्रत्येक वस्तु के उपकरण पर खर्च किए गए सभी धन के कितने भाग थे और प्रत्येक भाग के लिए कितने रूबल थे। प्रत्येक वस्तु के उपकरण पर खर्च किए गए धन के हिस्सों की संख्या समस्या की स्थितियों से निर्धारित होती है। प्रत्येक वस्तु के उपकरण के लिए भागों की संख्या अलग-अलग निर्धारित करने और फिर उनका योग ज्ञात करने के बाद, हम एक भाग के मूल्य (रूबल में) की गणना करते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें।

हम खेल के मैदान के लिए उपकरणों पर खर्च की गई राशि को एक भाग के रूप में लेते हैं। शर्त के अनुसार, ग्रीनहाउस उपकरणों पर 2 गुना अधिक खर्च किया गया, यानी 1  2 = 2 (एच); ग्रीनहाउस की तुलना में खेल के मैदान और स्पोर्ट्स हॉल के लिए उपकरणों पर 3 गुना अधिक खर्च किया गया था, यानी, 2  3 = 6 (घंटे), इसलिए, 6 - 1 = 5 (घंटे) स्पोर्ट्स हॉल के लिए उपकरणों पर खर्च किए गए थे।

1 भाग खेल के मैदान के लिए उपकरण पर, 2 भाग ग्रीनहाउस के लिए और 5 भाग जिम के लिए खर्च किया गया। संपूर्ण खपत 1 + 2 + + 5 = 8 (एच) थी।

8 भाग 49,000 रूबल के बराबर हैं, एक भाग इस राशि से 8 गुना कम है: 49,000: 8 = 6,125 (रगड़)। नतीजतन, खेल के मैदान के लिए उपकरणों पर 6,125 रूबल खर्च किए गए।

ग्रीनहाउस उपकरणों पर दोगुना खर्च किया गया: 6,125  2 = 12,250 (आर.)।

जिम के लिए उपकरणों पर 5 भाग खर्च किए गए: 6,125  5 = 30,625 (आर.)।

उत्तर: 6,125 रूबल; रगड़ 12,250; रगड़ 30,625

6) अज्ञात में से किसी एक को बाहर करने में समस्याएँ

इस समूह की समस्याओं में वे समस्याएँ शामिल हैं जिनमें दो दोहराए जाने वाले कारकों वाले दो उत्पादों का योग दिया गया है, और इन कारकों का मान ज्ञात करना आवश्यक है। बीजगणितीय मॉडल

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

इन समस्याओं को डेटा को बराबर करने की विधि, डेटा और आवश्यक डेटा को बराबर करने की विधि, डेटा को बदलने की विधि, साथ ही तथाकथित "अनुमान लगाने" की विधि द्वारा हल किया जाता है।

उदाहरण।एक कपड़ा कारखाने में, 24 कोट और 45 सूट में 204 मीटर कपड़े का उपयोग किया जाता है, और 24 कोट और 30 सूट में 162 मीटर कपड़े का उपयोग किया जाता है। एक सूट के लिए कितना कपड़ा उपयोग किया जाता है और एक कोट के लिए कितना?

समाधान. आइए डेटा समायोजन विधि का उपयोग करके समस्या का समाधान करें। कार्य का संक्षिप्त विवरण.

1. बीजगणितीय पद्धति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने पर सामान्य टिप्पणियाँ।

2. आंदोलन कार्य.

3. कार्य के लिए कार्य।

4. मिश्रण और प्रतिशत पर समस्याएँ।

शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीका खोजने के लिए बीजगणितीय विधि का उपयोग करना।

1. बीजीय विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय, आवश्यक मात्राएँ या अन्य मात्राएँ, जिन्हें जानकर आवश्यक मात्राएँ निर्धारित की जा सकती हैं, अक्षरों द्वारा निरूपित की जाती हैं (आमतौर पर एक्स, वाई,जेड). डेटा और अज्ञात मात्राओं के बीच सभी पारस्परिक रूप से स्वतंत्र संबंध, जो या तो सीधे स्थिति में (मौखिक रूप में) तैयार किए जाते हैं, या समस्या के अर्थ से अनुसरण करते हैं (उदाहरण के लिए, भौतिक कानून जिनके अधीन विचाराधीन मात्राएं हैं), या अनुसरण करते हैं स्थिति और कुछ तर्क से, असमानताओं की समानता के रूप में लिखा जाता है। सामान्य स्थिति में, ये संबंध कुछ मिश्रित प्रणाली बनाते हैं। विशेष मामलों में, इस प्रणाली में असमानताएँ या समीकरण नहीं हो सकते हैं, या इसमें केवल एक समीकरण या असमानता शामिल हो सकती है।

बीजगणितीय पद्धति का उपयोग करके समस्याओं को हल करना किसी एकल, काफी सार्वभौमिक योजना का पालन नहीं करता है। अत: सभी कार्यों से संबंधित कोई भी निर्देश अत्यंत सामान्य प्रकृति का होता है। व्यावहारिक और सैद्धांतिक मुद्दों को हल करते समय जो कार्य उत्पन्न होते हैं, उनकी अपनी व्यक्तिगत विशेषताएं होती हैं। इसलिए, उनका शोध और समाधान सबसे विविध प्रकृति का है।

आइए हम उन समस्याओं को हल करने पर ध्यान दें जिनका गणितीय मॉडल एक अज्ञात समीकरण द्वारा दिया गया है।

आइए याद रखें कि किसी समस्या को हल करने की गतिविधि में चार चरण होते हैं। पहले चरण में कार्य (समस्या की सामग्री का विश्लेषण) चुनी गई समाधान पद्धति पर निर्भर नहीं करता है और इसमें कोई बुनियादी अंतर नहीं है। दूसरे चरण में (समस्या को हल करने का तरीका खोजते समय और उसके समाधान के लिए एक योजना तैयार करते समय), बीजगणितीय समाधान विधि का उपयोग करने के मामले में, निम्नलिखित कार्य किए जाते हैं: समीकरण बनाने के लिए मुख्य संबंध चुनना; किसी अज्ञात को चुनना और उसके लिए एक पदनाम प्रस्तुत करना; अज्ञात और डेटा के माध्यम से मूल संबंध में शामिल मात्राओं की अभिव्यक्ति। तीसरे चरण (समस्या को हल करने के लिए एक योजना का कार्यान्वयन) में एक समीकरण बनाना और उसे हल करना शामिल है। चौथा चरण (समस्या के समाधान की जाँच करना) मानक तरीके से किया जाता है।

आमतौर पर किसी अज्ञात के साथ समीकरण बनाते समय एक्सनिम्नलिखित दो नियमों का पालन करें.

नियम मैं . इनमें से एक मात्रा अज्ञात के माध्यम से व्यक्त की जाती है एक्सऔर अन्य डेटा (अर्थात, एक समीकरण तैयार किया जाता है जिसमें एक भाग में एक दिया गया मान होता है, और दूसरे में वही मान होता है, जिसे व्यक्त किया जाता है) एक्सऔर अन्य डेटा मान)।

नियम द्वितीय . एक ही मात्रा के लिए, दो बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ संकलित की जाती हैं, जिन्हें बाद में एक दूसरे के बराबर कर दिया जाता है।

बाह्य रूप से, ऐसा लगता है कि पहला नियम दूसरे की तुलना में सरल है।

पहले मामले में, आपको हमेशा एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति बनाने की आवश्यकता होती है, और दूसरे में, दो। हालाँकि, अक्सर ऐसी समस्याएँ होती हैं जिनमें पहले से ज्ञात एक को चुनने और उसके लिए एक अभिव्यक्ति लिखने की तुलना में एक ही मात्रा के लिए दो बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ बनाना अधिक सुविधाजनक होता है।

शब्द समस्याओं को बीजगणितीय रूप से हल करने की प्रक्रिया निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार की जाती है:

1. सबसे पहले, एक रिश्ते का चयन करें जिसके आधार पर समीकरण तैयार किया जाएगा। यदि समस्या में दो से अधिक संबंध हों तो समीकरण बनाने का आधार वह संबंध लेना चाहिए जो सभी अज्ञातों के बीच कोई संबंध स्थापित करता हो।

फिर एक अज्ञात का चयन किया जाता है, जिसे संबंधित अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

समीकरण बनाने के लिए चुने गए संबंध में शामिल सभी अज्ञात मात्राओं को मुख्य एक को छोड़कर समस्या में शामिल शेष संबंधों पर भरोसा करते हुए, चयनित अज्ञात के माध्यम से व्यक्त किया जाना चाहिए।

4. इन तीन संक्रियाओं से, एक समीकरण की संरचना सीधे गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके एक मौखिक संकेतन के डिजाइन के रूप में अनुसरण करती है।

सूचीबद्ध संक्रियाओं के बीच केंद्रीय स्थान समीकरणों की रचना के लिए मूल संबंध के चुनाव द्वारा लिया गया है। सुविचारित उदाहरणों से पता चलता है कि समीकरण बनाते समय मुख्य संबंध का चुनाव निर्णायक होता है, समस्या के कभी-कभी अस्पष्ट मौखिक पाठ में तार्किक क्रम लाता है, अभिविन्यास में विश्वास देता है और डेटा के माध्यम से समस्या में शामिल सभी मात्राओं को व्यक्त करने के लिए अव्यवस्थित कार्यों से बचाता है। और मांगे गए।

समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय विधि का अत्यधिक व्यावहारिक महत्व है। इसकी मदद से वे प्रौद्योगिकी, कृषि और रोजमर्रा की जिंदगी के क्षेत्र में कई तरह की समस्याओं का समाधान करते हैं। पहले से ही माध्यमिक विद्यालय में, छात्र भौतिकी, रसायन विज्ञान और खगोल विज्ञान का अध्ययन करते समय समीकरणों का उपयोग करते हैं। जहां अंकगणित शक्तिहीन हो जाता है या, अधिक से अधिक, अत्यधिक बोझिल तर्क की आवश्यकता होती है, वहां बीजगणितीय विधि आसानी से और जल्दी से उत्तर की ओर ले जाती है। और यहां तक ​​कि तथाकथित "मानक" अंकगणितीय समस्याओं में भी, जिन्हें अंकगणित में हल करना अपेक्षाकृत आसान है, बीजगणितीय समाधान, एक नियम के रूप में, छोटा और अधिक प्राकृतिक दोनों है।

समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय विधि यह दिखाना आसान बनाती है कि कुछ समस्याएं, केवल कथानक में एक-दूसरे से भिन्न होती हैं, न केवल डेटा और वांछित मात्राओं के बीच समान संबंध रखती हैं, बल्कि विशिष्ट तर्क भी देती हैं जिसके माध्यम से ये संबंध स्थापित होते हैं। . ऐसी समस्याएं एक ही गणितीय तर्क, एक ही रिश्ते की अलग-अलग विशिष्ट व्याख्याएं देती हैं, यानी उनका गणितीय मॉडल एक ही होता है।

2. गति समस्याओं के समूह में वे समस्याएं शामिल हैं जो तीन मात्राओं के बारे में बात करती हैं: पथ (एस), रफ़्तार ( वी) और समय ( टी). एक नियम के रूप में, वे एकसमान सीधीरेखीय गति से निपटते हैं, जब गति परिमाण और दिशा में स्थिर होती है। इस मामले में, सभी तीन मात्राएँ निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं: एस = वीटी. उदाहरण के लिए, यदि किसी साइकिल चालक की गति 12 किमी/घंटा है, तो 1.5 घंटे में वह 12 किमी/घंटा  1.5 घंटे = 18 किमी की यात्रा करेगा। ऐसी समस्याएं हैं जिनमें समान रूप से त्वरित सीधी रेखा गति पर विचार किया जाता है, यानी निरंतर त्वरण के साथ गति (ए)।तय की गई दूरी एस इस मामले में इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है: एस = वी 0 टी + पर 2 /2, कहाँ वी 0 – आंदोलन की प्रारंभिक गति. तो, 5 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति और 9.8 मीटर 2/सेकेंड के मुक्त गिरावट त्वरण के साथ गिरने के 10 सेकंड में, शरीर 5 मीटर/सेकेंड  10 s + 9.8 m 2/s  के बराबर दूरी तय करेगा। 10 2 एस 2/2 = 50 मीटर + 490 मीटर = 540 मीटर।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, शब्द समस्याओं को हल करते समय और, सबसे पहले, आंदोलन से संबंधित समस्याओं में, एक उदाहरणात्मक चित्र बनाना (समस्या का एक सहायक ग्राफिक मॉडल बनाने के लिए) बहुत उपयोगी होता है। चित्र इस प्रकार बनाया जाना चाहिए कि यह सभी बैठकों, पड़ावों और मोड़ों के साथ आंदोलन की गतिशीलता को दर्शाए। एक अच्छी तरह से बनाई गई ड्राइंग न केवल आपको समस्या की सामग्री को बेहतर ढंग से समझने की अनुमति देती है, बल्कि समीकरणों और असमानताओं की तैयारी की सुविधा भी देती है। ऐसे रेखाचित्रों के उदाहरण नीचे दिये जायेंगे।

आमतौर पर, गति संबंधी समस्याओं में निम्नलिखित परिपाटी अपनाई जाती है।

जब तक समस्या में विशेष रूप से न कहा जाए, कुछ क्षेत्रों में गति को एक समान माना जाता है (चाहे वह सीधी रेखा में गति हो या वृत्त में)।

गतिमान पिंडों के घूर्णन को तात्कालिक माना जाता है, अर्थात वे बिना समय बर्बाद किए घटित होते हैं; गति भी तुरन्त बदल जाती है।

समस्याओं के इस समूह को, बदले में, उन कार्यों में विभाजित किया जा सकता है जो निकायों की गतिविधियों पर विचार करते हैं: 1) एक दूसरे के प्रति; 2) एक दिशा में ("बाद में"); 3) विपरीत दिशाओं में; 4) एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ; 5) नदी के किनारे.

यदि शवों के बीच की दूरी बराबर है एस, और पिंडों की गति बराबर होती है वी 1 और वी 2 (चित्र 16) ए), फिर जब पिंड एक दूसरे की ओर बढ़ते हैं, तो उनके मिलने का समय बराबर होता है एस/(वी 1 + वी 2).

2. यदि शवों के बीच की दूरी बराबर है एस, और पिंडों की गति बराबर होती है वी 1 और वी 2 (चित्र 16) बी), तब जब पिंड एक दिशा में चलते हैं ( वी 1 > वी 2) वह समय जिसके बाद पहला पिंड दूसरे को पकड़ लेगा, बराबर है एस/(वी 1 – वी 2).

3. यदि शवों के बीच की दूरी बराबर है एस, और पिंडों की गति बराबर होती है वी 1 और वी 2 (चित्र 16) वी), फिर, विपरीत दिशाओं में एक साथ प्रस्थान करने पर, शरीर समय के बाद होंगे टी दूरी पर रहो एस 1 = एस + (वी 1 + वी 2 ) टी.

चावल। 16

4. यदि पिंड लंबाई के बंद पथ पर एक दिशा में चलते हैं एस गति के साथ वी 1 और वी 2, वह समय जिसके बाद पिंड फिर मिलेंगे (एक पिंड दूसरे को पकड़ लेगा), एक बिंदु से एक साथ शुरू करते हुए, सूत्र द्वारा पाया जाता है टी = एस/(वी 1 – वी 2) वह प्रदान किया गया वी 1 > वी 2 .

यह इस तथ्य से पता चलता है कि जब एक ही दिशा में एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ शुरू होता है, तो जिस शरीर की गति अधिक होती है वह उस शरीर को पकड़ना शुरू कर देता है जिसकी गति कम होती है। की दूरी तय करने के बाद पहली बार वह उसे पकड़ लेता है एस दूसरे शरीर से बड़ा. यदि यह दूसरी, तीसरी बार, इत्यादि से आगे निकल जाता है, तो इसका मतलब है कि यह 2 की दूरी तय करता है एस, 3 से एस और इसी तरह दूसरे शरीर से भी बड़ा।

यदि पिंड लंबाई के किसी बंद रास्ते पर अलग-अलग दिशाओं में चलते हैं एस गति के साथ वी 1 और वी 2, वह समय जिसके बाद वे एक बिंदु से एक साथ प्रस्थान करते हुए मिलेंगे, सूत्र द्वारा पाया जाता है टी = वी(वी 1 + वी 2). इस मामले में, गति शुरू होने के तुरंत बाद, एक स्थिति उत्पन्न होती है जब शरीर एक-दूसरे की ओर बढ़ने लगते हैं।

5. यदि कोई पिंड नदी के प्रवाह के साथ गति करता है तो उसकी गति किनारे के सापेक्ष होती है औरशांत पानी में एक पिंड की गति से बना है वीऔर नदी के प्रवाह की गति डब्ल्यू: और =वी + डब्ल्यू. यदि कोई पिंड नदी के प्रवाह के विपरीत चलता है, तो उसकी गति और =वी – डब्ल्यू. उदाहरण के लिए, यदि नाव की गति वी= 12 किमी/घंटा, और नदी के प्रवाह की गति डब्ल्यू = 3 किमी/घंटा, तो 3 घंटे में नाव नदी के प्रवाह के साथ चलेगी (12 किमी/घंटा + 3 किमी/घंटा)  3 घंटे = 45 किमी, और धारा के विपरीत - (12 किमी/घंटा - 3 किमी/घंटा)  3 घंटे = 27 किमी. ऐसा माना जाता है कि शांत पानी (बेड़ा, लॉग इत्यादि) में गति की शून्य गति वाली वस्तुओं की गति नदी के प्रवाह की गति के बराबर होती है।

आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण.हर 20 मिनट में एक बिंदु से एक दिशा में। गाड़ियाँ जा रही हैं. दूसरी कार 60 किमी/घंटा की गति से यात्रा कर रही है, और पहली की गति दूसरी की गति से 50% अधिक है। तीसरी कार की गति ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि वह पहली कार से दूसरी कार की तुलना में 5.5 घंटे बाद आगे निकली।

समाधान. माना तीसरी कार की गति x किमी/घंटा है। पहली कार की गति दूसरी की गति से 50% अधिक अर्थात बराबर है

एक दिशा में चलते समय, मिलन का समय वस्तुओं के बीच की दूरी और उनकी गति के अंतर के अनुपात के रूप में पाया जाता है। 40 मिनट में पहली कार. (2/3 घंटे) 90  (2/3) = 60 किमी की यात्रा करेंगे। इसलिए, तीसरा व्यक्ति उसे 60/( में पकड़ लेगा (वे मिलेंगे) एक्स– 90) घंटे. 20 मिनट में दूसरा. (1/3 घंटा) 60  (1/3) = 20 किमी की यात्रा होगी। इसका मतलब यह है कि 20/( में तीसरा व्यक्ति उसे पकड़ लेगा (वे मिलेंगे) एक्स- 60) घंटे (चित्र 17)।

पी
समस्या स्थितियों के बारे में

चावल। 17

सरल परिवर्तनों के बाद हमें द्विघात समीकरण 11x 2 - 1730x + 63000 = 0 प्राप्त होता है, जिसे हल करने पर हम पाएंगे

जाँच से पता चलता है कि दूसरी रूट समस्या की शर्तों को पूरा नहीं करती है, क्योंकि इस मामले में तीसरी कार अन्य कारों की बराबरी नहीं कर पाएगी। उत्तर: तीसरी कार की गति 100 किमी/घंटा है।

उदाहरणमोटर जहाज ने नदी के किनारे 96 किमी की यात्रा की, वापस लौटा और कुछ समय तक लोडिंग के तहत खड़ा रहा, नदी की गति 2 किमी/घंटा है। शांत पानी में जहाज की गति निर्धारित करें यदि लोडिंग समय वहां और वापसी की पूरी यात्रा में खर्च किए गए समय का 37.5% है।

समाधान. माना शांत पानी में जहाज की गति x किमी/घंटा है। तब ( एक्स+2) किमी/घंटा - धारा के साथ इसकी गति; (एक्स - 2) किमी/घंटा - धारा के विपरीत; 96/( एक्स+ 2) एच - धारा के साथ गति का समय; 96/( एक्स– 2) एच – धारा के विपरीत गति का समय। चूंकि जहाज को लोड किए जाने के कुल समय का 37.5%, शुद्ध यात्रा समय 62.5%  32/100% = 20 (घंटे) है। इसलिए, समस्या की स्थितियों के अनुसार, हमारे पास समीकरण है:

इसे रूपांतरित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 24( एक्स – 2 + एक्स + 2) = 5(एक्स + 2)(एक्स – 2) => 5एक्स 2 – 4एक्स– 20 = 0. द्विघात समीकरण को हल करने के बाद, हम पाते हैं: एक्स 1 = 10; एक्स 2 = -0.4. दूसरी जड़ समस्या की शर्तों को पूरा नहीं करती.

उत्तर: शांत पानी में जहाज की गति 10 किमी/घंटा है।

उदाहरण. कार शहर से बाहर चली गई एशहर के माध्यम से शहर सी तक मेंबिना रुके. दूरी एबी, 120 किमी के बराबर, उसने दूरी की तुलना में 1 घंटा तेज गति से यात्रा की सूरज, 90 किमी के बराबर. शहर से कार की औसत गति ज्ञात कीजिए एशहर C तक, यदि यह ज्ञात हो कि अनुभाग पर गति अबसेक्शन पर 30 किमी/घंटा अधिक गति सूरज।

समाधान. होने देना एक्सकिमी/घंटा - अनुभाग पर वाहन की गति सूरज।

तब ( एक्स+30) किमी/घंटा - खंड पर गति एबी, 120/(एक्स+30) घंटा, 90/ एक्सएच - मार्ग तय करने में कार को लगने वाला समय अबऔर सूरजक्रमश।

इसलिए, समस्या की स्थितियों के अनुसार, हमारे पास समीकरण है:

.

आइए इसे रूपांतरित करें:

120एक्स+ 1(एक्स + 30)एक्स = 90(एक्स + 30) => एक्स 2 + 60एक्स – 2700 = 0.

द्विघात समीकरण को हल करने के बाद, हम पाते हैं: एक्स 1 = 30, एक्स 2 =-90. दूसरी जड़ समस्या की शर्तों को पूरा नहीं करती. इसका मतलब है कि सेक्शन पर स्पीड सूरजखंड पर 30 किमी/घंटा के बराबर एबी - 60 किमी/घंटा. यह इस प्रकार है कि दूरी अबकार ने 2 घंटे (120 किमी: 60 किमी/घंटा = 2 घंटे) और दूरी तय की सूरज - 3 घंटे में (90 किमी: 30 किमी/घंटा = 3 घंटे), तो पूरी दूरी एसीउसने 5 घंटे (3 घंटे + 2 घंटे = 5 घंटे) में गाड़ी चलाई। फिर अनुभाग पर औसत गति एसी,जिसकी लंबाई 210 किमी है वह 210 किमी के बराबर है: 5 घंटे = 42 किमी/घंटा।

उत्तर: 42 किमी/घंटा - साइट पर कार की औसत गति एसी।

कार्य कार्यों के समूह में ऐसे कार्य शामिल हैं जो तीन मात्राओं के बारे में बात करते हैं: कार्य ए, समय टी, जिसके दौरान कार्य किया जाता है, उत्पादकता आर -समय की प्रति इकाई किया गया कार्य। ये तीन मात्राएँ समीकरण द्वारा संबंधित हैं ए = आरटी. कार्य कार्यों में पाइप, पंप और अन्य उपकरणों का उपयोग करके कंटेनरों (जहाज, टैंक, पूल, आदि) को भरने और खाली करने से संबंधित कार्य भी शामिल हैं। इस मामले में, पंप किए गए पानी की मात्रा को किए गए कार्य के रूप में माना जाता है।

सामान्यतया कार्य समस्याओं को गति समस्याओं के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, क्योंकि इस प्रकार की समस्याओं में हम मान सकते हैं कि सभी कार्य या जलाशय की पूरी मात्रा दूरी की भूमिका निभाती है, और कार्य करने वाली वस्तुओं का प्रदर्शन गति की गति के समान होता है . हालाँकि, कथानक के संदर्भ में, ये कार्य स्वाभाविक रूप से भिन्न होते हैं, और कुछ कार्य कार्यों के समाधान के अपने विशिष्ट तरीके होते हैं। इस प्रकार, उन कार्यों में जिनमें किए जाने वाले कार्य की मात्रा निर्दिष्ट नहीं है, सभी कार्यों को एक मान लिया जाता है।

उदाहरण।दो टीमों को 12 दिनों में ऑर्डर पूरा करना था। 8 दिनों तक एक साथ काम करने के बाद, पहली टीम को एक और कार्य मिला, इसलिए दूसरी टीम ने अगले 7 दिनों में ऑर्डर पूरा किया। प्रत्येक टीम अलग-अलग कार्य करते हुए कितने दिनों में ऑर्डर पूरा कर सकती है?

समाधान. पहले ब्रिगेड को कार्य पूरा करने दें एक्सदिन, दूसरी ब्रिगेड - के लिए यदिन. आइए सभी कार्यों को एक इकाई के रूप में लें। फिर 1/ एक्स -प्रथम ब्रिगेड की उत्पादकता, 1/ य – दूसरा। चूँकि दो टीमों को 12 दिनों में ऑर्डर पूरा करना होगा, हमें पहला समीकरण 12(1/) मिलता है एक्स + 1/पर) = 1.

दूसरी शर्त से यह पता चलता है कि दूसरी टीम ने 15 दिनों तक काम किया, और पहली ने केवल 8 दिनों तक काम किया। तो दूसरा समीकरण इस प्रकार दिखता है:

8/एक्स+ 15/पर= 1.

इस प्रकार, हमारे पास प्रणाली है:

दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:

21/य = 1 => y = 21.

फिर 12/ एक्स + 12/21 = 1 => 12/एक्स – = 3/7 => एक्स = 28.

उत्तर: पहली टीम 28 दिनों में और दूसरी 21 दिनों में ऑर्डर पूरा करेगी।

उदाहरण. मज़दूर एऔर कार्यकर्ता मेंकार्यकर्ता 12 दिन में काम पूरा कर सकता है एऔर कार्यकर्ता साथ- 9 दिनों के भीतर, काम करना मेंऔर कार्यकर्ता सी - 12 दिन। एक साथ काम करते हुए उन्हें काम पूरा करने में कितने दिन लगेंगे?

समाधान. चलो कार्यकर्ता एके लिए काम कर सकते हैं एक्सदिन, काम कर रहे हैं में- पीछे परदिन, काम कर रहे हैं साथ- पीछे जेड दिन. आइए सभी कार्यों को एक इकाई के रूप में लें। फिर 1/ एक्स, 1/य और 1/ जेड – श्रमिक उत्पादकता ए, बीऔर साथ क्रमश। समस्या की स्थिति का उपयोग करते हुए, हम तालिका में प्रस्तुत समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर पहुँचते हैं।

तालिका नंबर एक

समीकरणों को रूपांतरित करने के बाद, हमारे पास तीन अज्ञातों के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली है:

सिस्टम के समीकरणों को पद दर पद जोड़ने पर, हमें मिलता है:

या

योग श्रमिकों की संयुक्त उत्पादकता है, इसलिए जिस समय में वे सभी कार्य पूरा करेंगे वह बराबर होगा

उत्तर: 7.2 दिन.

उदाहरण. पूल में दो पाइप लगाए गए हैं - आपूर्ति और निर्वहन, और पहले पाइप के माध्यम से पूल को दूसरे पाइप के माध्यम से पूल से बाहर डालने की तुलना में 2 घंटे अधिक समय तक भरा जाता है। जब पूल एक तिहाई भर गया, तो दोनों पाइप खोल दिए गए, और 8 घंटे के बाद पूल खाली हो गया दूसरा पाइप?

समाधान. होने देना वी मी 3 – पूल का आयतन, एक्सएम 3 / एच - आपूर्ति पाइप की क्षमता, परएम 3 / एच - आउटलेट। तब वी/ एक्स एच - पूल को भरने के लिए आपूर्ति पाइप के लिए आवश्यक समय, वी/ य एच - आउटलेट पाइप द्वारा पूल को खाली करने के लिए आवश्यक समय। समस्या की परिस्थितियों के अनुसार वी/ एक्स – वी/ य = 2.

चूंकि आउटलेट पाइप की क्षमता भरने वाले पाइप की क्षमता से अधिक है, जब दोनों पाइप चालू होते हैं, तो पूल खाली हो जाएगा और पूल का एक तिहाई हिस्सा समय पर निकल जाएगा। (वी/3)/(य – एक्स), जो, समस्या की शर्तों के अनुसार, 8 घंटे के बराबर है, इसलिए समस्या की स्थिति को तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है:

समस्या में आपको खोजने की जरूरत है वी/ एक्स और वी/ य. आइए समीकरणों में अज्ञातों के संयोजन का चयन करें वी/ एक्स और वी/ य, सिस्टम को इस रूप में लिखना:

नये अज्ञात का परिचय वी/ एक्स= एऔर वी/ य = बी, हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:

व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना ए= बी + 2, हमारे पास एक समीकरण है बी:

हमने तय कर लिया है कि हम कौन सा पाएंगे बी 1 = 6, बी 2 = -8. समस्या की स्थितियाँ पहले मूल 6, = 6 (h) से संतुष्ट होती हैं। अंतिम प्रणाली के पहले समीकरण से हम पाते हैं ए= 8 (एच), अर्थात पहला पाइप पूल को 8 घंटे में भरता है।

उत्तर: पहले पाइप से पूल 8 घंटे में भर जाएगा, दूसरे पाइप से पूल की निकासी 6 घंटे में हो जाएगी।

उदाहरण. एक ट्रैक्टर टीम को 240 हेक्टेयर की जुताई करनी होगी, और दूसरे को पहले की तुलना में 35% अधिक जुताई करनी होगी। पहली टीम ने, प्रतिदिन दूसरी टीम की तुलना में 3 हेक्टेयर कम जुताई करके, दूसरी टीम की तुलना में 2 दिन पहले काम पूरा कर लिया। प्रत्येक टीम ने प्रतिदिन कितने हेक्टेयर की जुताई की?

समाधान. आइए 240 हेक्टेयर का 35% ज्ञात करें: 240 हेक्टेयर  35% /100% = 84 हेक्टेयर।

इसलिए, दूसरी ब्रिगेड को 240 हेक्टेयर + 84 हेक्टेयर = 324 हेक्टेयर जमीन जोतनी पड़ी। प्रथम ब्रिगेड को प्रतिदिन हल चलाने दें एक्सहा. फिर दूसरी ब्रिगेड हर दिन जुताई करती थी ( एक्स+3) हा; 240/ एक्स- पहली टीम का कार्य समय; 324/( एक्स+3)- दूसरी टीम के कार्य का समय. समस्या की स्थितियों के अनुसार, पहली टीम ने दूसरी टीम की तुलना में 2 दिन पहले काम खत्म किया, इसलिए हमारे पास समीकरण है

जिसे परिवर्तनों के बाद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

324एक्स – 240एक्स - 720 = 2x 2 + 6x=> 2x 2 – 78x + 720 = 0 => x 2 – 39x + 360 = 0.

द्विघात समीकरण को हल करने पर, हम x 1 = 24, x 2 = 15 पाते हैं। यह पहली ब्रिगेड का मानदंड है।

परिणामस्वरूप, दूसरी टीम ने प्रतिदिन क्रमशः 27 हेक्टेयर और 18 हेक्टेयर की जुताई की। दोनों समाधान समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं।

उत्तर: पहली ब्रिगेड द्वारा प्रति दिन 24 हेक्टेयर, दूसरे द्वारा 27 हेक्टेयर की जुताई की गई; पहली टीम द्वारा प्रति दिन 15 हेक्टेयर, दूसरे द्वारा 18 हेक्टेयर की जुताई की गई।

उदाहरण. मई में, दो कार्यशालाओं ने 1,080 भागों का उत्पादन किया। जून में, पहली कार्यशाला ने भागों के उत्पादन में 15% की वृद्धि की, और दूसरी ने भागों के उत्पादन में 12% की वृद्धि की, इस प्रकार दोनों कार्यशालाओं ने 1224 भागों का उत्पादन किया। जून में प्रत्येक कार्यशाला ने कितने भागों का उत्पादन किया?

समाधान. होने देना एक्सपहली कार्यशाला ने मई में भागों का उत्पादन किया, परविवरण - दूसरा. चूँकि मई में 1080 भागों का निर्माण किया गया था, समस्या की स्थितियों के अनुसार हमारे पास समीकरण है एक्स + य = 1080.

आइए 15% ज्ञात करें एक्स:

तो, 0.15 तक एक्सभागों, पहली कार्यशाला ने अपने उत्पादन उत्पादन में वृद्धि की, इसलिए, जून में इसका उत्पादन हुआ एक्स + 0,15 एक्स = 1,15 एक्सविवरण। इसी प्रकार, हमने पाया कि जून में दूसरी कार्यशाला में 1.12 का उत्पादन हुआ यविवरण। इसका मतलब है कि दूसरा समीकरण इस तरह दिखेगा: 1.15 एक्स + 1,12 पर= 1224. इस प्रकार, हमारे पास प्रणाली है:

जिससे हम पाते हैं एक्स = 480, य = 600. नतीजतन, जून में कार्यशालाओं ने क्रमशः 552 भागों और 672 भागों का उत्पादन किया।

उत्तर: पहली कार्यशाला ने 552 भागों का उत्पादन किया, दूसरे ने - 672 भागों का।

4. मिश्रण और प्रतिशत पर समस्याओं के समूह में वे समस्याएँ शामिल हैं जिनमें विभिन्न पदार्थों को निश्चित अनुपात में मिलाना शामिल है, साथ ही प्रतिशत पर समस्याएँ भी शामिल हैं।

एकाग्रता और प्रतिशत की समस्या

आइए कुछ अवधारणाओं को स्पष्ट करें। का मिश्रण हो जाये पीविभिन्न पदार्थ (घटक) ए 1 ए 2 , ..., ए एन क्रमशः, जिनकी मात्राएँ बराबर हैं वी 1 , वी 2 , ..., वी एन . मिश्रण की मात्रा वी 0 शुद्ध घटकों की मात्राएँ शामिल हैं: वी 0 = वी 1 + वी 2 + ... + वी एन .

आयतन एकाग्रतापदार्थों ए मैं (मैं = 1, 2, ..., पी)किसी मिश्रण में मात्रा c कहलाती है मैं, सूत्र द्वारा गणना की गई:

पदार्थ A का आयतन प्रतिशत मैं (मैं = 1, 2, ..., पी)किसी मिश्रण में मात्रा कहलाती है पी मैं , सूत्र द्वारा गणना की गई आर मैं = साथ मैं ,  100%. सांद्रता साथ 1, साथ 2 , ..., साथ एन, जो आयामहीन मात्राएँ हैं, समानता से संबंधित हैं साथ 1 + एस 2 + ... + एस एन = 1, और संबंध

दिखाएँ कि मिश्रण की कुल मात्रा का कितना हिस्सा व्यक्तिगत घटकों की मात्रा से बना है।

यदि प्रतिशत ज्ञात हो मैंवें घटक, तो इसकी सांद्रता सूत्र द्वारा पाई जाती है:

वह है अनुकरणीय – यह एकाग्रता है मैंमिश्रण में वां पदार्थ, प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया। उदाहरण के लिए, यदि किसी पदार्थ का प्रतिशत 70% है, तो उसकी संगत सांद्रता 0.7 है। इसके विपरीत, यदि सांद्रता 0.33 है, तो प्रतिशत 33% है। तो राशि आर 1 + पी 2 + …+ पी एन = 100%. यदि सांद्रता ज्ञात हो साथ 1 , साथ 2 , ..., साथ एन वे घटक जो इस आयतन मिश्रण को बनाते हैं वी 0 , फिर घटकों की संगत मात्राएँ सूत्रों द्वारा पाई जाती हैं:

अवधारणाओं को इसी तरह पेश किया जाता है वजन (द्रव्यमान) conकेंद्रीकरणमिश्रण के घटक और संबंधित प्रतिशत। इन्हें शुद्ध पदार्थ के भार (द्रव्यमान) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है ए मैं , किसी मिश्रधातु में संपूर्ण मिश्रधातु के भार (द्रव्यमान) के बराबर। किसी विशेष समस्या में किस एकाग्रता, आयतन या वजन पर चर्चा की जा रही है, यह उसकी स्थितियों से हमेशा स्पष्ट होता है।

ऐसी समस्याएं हैं जिनमें आयतन सांद्रता को वज़न सांद्रता में पुनर्गणना करना या इसके विपरीत करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, समाधान या मिश्र धातु बनाने वाले घटकों के घनत्व (विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण) को जानना आवश्यक है। आइए, उदाहरण के लिए, घटकों की वॉल्यूमेट्रिक सांद्रता वाले दो-घटक मिश्रण पर विचार करें साथ 1 और साथ 2 (साथ 1 + एस 2 = 1) और घटकों का विशिष्ट गुरुत्व डी 1 और डी 2 . मिश्रण का द्रव्यमान सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

जिसमें वी 1 और वी 2 – मिश्रण बनाने वाले घटकों की मात्रा। घटकों की भार सांद्रता समानता से पाई जाती है:

जो वॉल्यूमेट्रिक सांद्रता के साथ इन मात्राओं का संबंध निर्धारित करते हैं।

एक नियम के रूप में, ऐसी समस्याओं के ग्रंथों में एक ही दोहराई जाने वाली स्थिति होती है: घटकों वाले दो या दो से अधिक मिश्रणों से ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन , मूल मिश्रण को एक निश्चित अनुपात में मिलाकर नया मिश्रण तैयार किया जाता है। इस मामले में, यह पता लगाना आवश्यक है कि घटक किस संबंध में हैं ए 1, ए 2 , ए 3 , ..., ए एन परिणामी मिश्रण में शामिल किया जाएगा। इस समस्या को हल करने के लिए, प्रत्येक मिश्रण की मात्रा या वजन की मात्रा, साथ ही इसके घटक घटकों की सांद्रता पर विचार करना सुविधाजनक है। ए 1, ए 2 , ए 3 , ..., ए एन . सांद्रता का उपयोग करते हुए, आपको प्रत्येक मिश्रण को अलग-अलग घटकों में "विभाजित" करना होगा, और फिर समस्या विवरण में निर्दिष्ट विधि का उपयोग करके एक नया मिश्रण बनाना होगा। इस मामले में, यह गणना करना आसान है कि परिणामी मिश्रण में प्रत्येक घटक का कितना हिस्सा शामिल है, साथ ही इस मिश्रण की कुल मात्रा भी। इसके बाद, घटकों की सांद्रता निर्धारित की जाती है ए 1, ए 2 , ए 3 , ..., ए एन एक नये मिश्रण में.

उदाहरणतांबे और जस्ता मिश्र धातु के दो टुकड़े हैं जिनमें तांबे का प्रतिशत क्रमशः 80% और 30% है। 60% तांबा युक्त मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए लिए गए टुकड़ों को एक साथ पिघलाने के लिए इन मिश्र धातुओं को किस अनुपात में लिया जाना चाहिए?

समाधान. पहले मिश्रधातु ग्रहण करें एक्सकिलो, और दूसरा - परकिलोग्राम। शर्त के अनुसार, पहले मिश्र धातु में तांबे की सांद्रता 80/100 = 0.8 है, दूसरे में - 30/100 = 0.3 (यह स्पष्ट है कि हम वजन सांद्रता के बारे में बात कर रहे हैं), जिसका अर्थ है कि पहले मिश्र धातु में 0.8 एक्सकिग्रा तांबा और (1 - 0.8) एक्स = 0,2एक्सजिंक का किलोग्राम, दूसरे में - 0.3 परकिग्रा तांबा और (1 - 0.3) य = 0,7परकिलो जिंक. परिणामी मिश्र धातु में तांबे की मात्रा (0.8 ) है एक्स + 0,3  य)किग्रा, और इस मिश्रधातु का द्रव्यमान होगा (एक्स + वाई)किलोग्राम। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, मिश्र धातु में तांबे की नई सांद्रता बराबर है

समस्या की स्थितियों के अनुसार यह सांद्रता 0.6 के बराबर होनी चाहिए। इसलिए, हमें समीकरण मिलता है:

इस समीकरण में दो अज्ञात शामिल हैं एक्सऔर यूहालाँकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, मात्राएँ स्वयं निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं है एक्सऔर हाँ,लेकिन सिर्फ उनका रवैया. सरल परिवर्तनों के बाद हमें मिलता है

उत्तर: मिश्र धातु को 3:2 के अनुपात में लेना चाहिए।

उदाहरणपानी में सल्फ्यूरिक एसिड के दो घोल हैं: पहला 40%, दूसरा 60%। इन दोनों घोलों को मिलाया गया, जिसके बाद 20% घोल प्राप्त करने के लिए 5 किलो शुद्ध पानी मिलाया गया। यदि हम 5 किलो शुद्ध पानी के स्थान पर 5 किलो 80% घोल मिला दें तो हमें 70% घोल मिलेगा। कितने 40% और 60% समाधान थे?

समाधान. होने देना एक्सकिग्रा - पहले घोल का द्रव्यमान, परकिलो - दूसरा. फिर 20% घोल का द्रव्यमान ( एक्स + पर+5) किग्रा. के बाद से एक्स 40% घोल के किग्रा में 0.4 होता है एक्सकिलो एसिड, में पर 60% घोल के किग्रा में 0.6 होता है यकिलो एसिड, और में (एक्स + वाई + 5) 20% घोल के किग्रा में 0.2( एक्स + वाई + 5) किग्रा एसिड, तो शर्त के अनुसार हमारे पास पहला समीकरण 0.4 है एक्स + 0,6य = 0,2(एक्स +y + 5).

यदि आप 5 किलो पानी के स्थान पर 5 किलो 80% घोल मिलाते हैं, तो आपको एक वजनदार घोल मिलेगा (एक्स + वाई+5) किग्रा, जिसमें (0.4) होगा एक्स + 0,6पर+ 0.8  5) किग्रा अम्ल, जो 70% है (एक्स + वाई+5) किग्रा.

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परिचय

1.1 शब्द समस्या की अवधारणा

1.2 अंकगणितीय समस्याओं के प्रकार

1.3 गणित में समस्या की भूमिका

1.4 शब्द समस्याओं को हल करने के चरण और उनके कार्यान्वयन की तकनीकें

1.5 शब्द समस्याओं को हल करने के कुछ तरीके

2.4 प्रतिशत से जुड़ी समस्याएं

2.5 सहयोग कार्य

निष्कर्ष

साहित्य

परिचय

हम छात्रों को कई प्रकार की समस्याओं का समाधान करना सिखा सकते हैं, लेकिन सच्ची संतुष्टि तभी मिलेगी जब हम अपने छात्रों को सिर्फ ज्ञान ही नहीं, बल्कि मन का लचीलापन भी बता सकेंगे। तुम तुम। लकड़हारा

समस्याओं को हल करने की क्षमता गणितीय विकास के स्तर और शैक्षिक सामग्री की महारत की गहराई के मुख्य संकेतकों में से एक है। स्कूल के पहले दिनों से ही बच्चे को एक कार्य का सामना करना पड़ता है। स्कूल की शुरुआत से अंत तक, एक गणितीय समस्या निश्चित रूप से छात्र को सही गणितीय अवधारणाओं को विकसित करने में मदद करती है, उसके आस-पास के जीवन में रिश्तों के विभिन्न पहलुओं को बेहतर ढंग से समझती है, और अध्ययन किए जा रहे सैद्धांतिक सिद्धांतों को लागू करना संभव बनाती है। गणित पढ़ाने के लिए शब्द समस्याएँ एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं। उनकी मदद से, छात्र मात्राओं के साथ काम करने का अनुभव प्राप्त करते हैं, उनके बीच संबंधों को समझते हैं और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए गणित को लागू करने का अनुभव प्राप्त करते हैं। समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों के उपयोग से सरलता और बुद्धिमत्ता, प्रश्न पूछने और उनका उत्तर देने की क्षमता विकसित होती है, यानी प्राकृतिक भाषा विकसित होती है। शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके आपको समस्या स्थितियों का विश्लेषण करने, ज्ञात और अज्ञात मात्राओं (समस्या के प्रकार को ध्यान में रखते हुए) के बीच संबंधों को ध्यान में रखते हुए एक समाधान योजना बनाने, ढांचे के भीतर प्रत्येक क्रिया के परिणाम की व्याख्या करने की क्षमता विकसित करने की अनुमति देते हैं। समस्या की स्थितियों के बारे में, उलटा समस्या तैयार करके और हल करके समाधान की शुद्धता की जांच करें, यानी, महत्वपूर्ण सामान्य शैक्षिक कौशल बनाने और विकसित करने के लिए।

शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके बच्चों को पहले अमूर्त के आदी बनाते हैं, उन्हें एक तार्किक संस्कृति विकसित करने की अनुमति देते हैं, और किसी समस्या को हल करने और गणित का अध्ययन करने के संबंध में स्कूली बच्चों में सौंदर्य बोध के विकास में योगदान कर सकते हैं, जिससे प्रक्रिया में सबसे पहले रुचि पैदा होती है। किसी समस्या का समाधान ढूंढना, और फिर अध्ययन किए जा रहे विषय में।

स्कूली बच्चों के एक महत्वपूर्ण हिस्से के लिए शब्द समस्याएं पारंपरिक रूप से कठिन सामग्री हैं। व्यवहार में, अधिकांश शिक्षक समस्याओं को हल करने पर बहुत कम ध्यान देते हैं। छात्र अक्सर यह नहीं जानते कि आवश्यक डेटा की पहचान कैसे करें और समस्या में शामिल मात्राओं के बीच संबंध कैसे स्थापित करें; एक समाधान योजना बनाएं और प्राप्त परिणामों की जांच करें।

मेरे स्नातक कार्य का उद्देश्य अंकगणितीय विधि का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करने की शिक्षण पद्धति का अध्ययन करना, शब्द समस्या की संरचना, अंकगणित विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के चरणों पर विचार करना, समस्याओं को हल करने में कठिनाइयों, क्षमता को दिखाना है। इन कठिनाइयों को दूर करने के लिए, और व्यक्तिगत अभ्यास से शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधि का उपयोग करें।

अध्ययन का उद्देश्य गणित पाठों में शैक्षिक प्रक्रिया है।

नौकरी के उद्देश्य:

– इस विषय पर मनोवैज्ञानिक और शैक्षणिक साहित्य का विश्लेषण करें; शब्द समस्याओं को हल करना सिखाने के उद्देश्य से वैज्ञानिक और पद्धति संबंधी साहित्य का अध्ययन करें;

- किसी पाठ्य समस्या की विशेषताओं और उसके साथ काम करने की पद्धति पर विचार करें;

– शब्द समस्याओं को हल करने में अंकगणितीय विधि का उपयोग दिखाएं।

कार्य संरचना. मेरे काम में एक परिचय, अध्याय "एक शब्द समस्या की विशेषताएं और उसके साथ काम करने के तरीके" और "स्कूली बच्चों को अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करना सिखाना" और एक निष्कर्ष शामिल हैं। पहले अध्याय में, मैंने शब्द समस्या की अवधारणा, समस्याओं के प्रकार, किसी समस्या को हल करने का क्या अर्थ है, अंकगणितीय तरीकों का उपयोग करके समस्या को हल करने की प्रक्रिया के चरणों पर ध्यान दिया। दूसरे अध्याय में, मैंने शब्द को हल करने पर ध्यान दिया आंदोलन पर समस्याओं के उदाहरण का उपयोग करके अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करने में समस्याएं, किसी संख्या का एक अंश और उसके परिमाण अंशों द्वारा एक संख्या खोजने पर, प्रतिशत गणना के लिए समस्याएं, संयुक्त कार्य के लिए; समस्याओं को तालिकाओं, समस्याओं में अंकगणितीय माध्य का उपयोग करके हल किया जाता है। मैंने छात्रों को शब्द समस्याओं को हल करने के लिए शिक्षण की पद्धति, कक्षा में शिक्षण और शैक्षिक प्रक्रिया में उनका स्थान दिखाने का प्रयास किया। अपने काम में मैं अपने व्यक्तिगत अनुभव का उपयोग करते हुए, शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों के विशिष्ट अनुप्रयोग को दिखाना चाहता हूँ।

इस मुद्दे पर पर्याप्त साहित्य उपलब्ध है। उनमें से कुछ का विश्लेषण करने के बाद, मैं एस लुक्यानोवा की पुस्तक "अंकगणितीय विधियों का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करना" पर ध्यान देना चाहूंगा। यह पुस्तक शब्द समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न अंकगणितीय तरीकों की जांच करती है और ग्रेड 5-6 में छात्रों को इसे पढ़ाने के लिए मूल तरीके प्रदान करती है। लेखक जटिलता के विभिन्न स्तरों की लगभग 200 समस्याओं की जाँच करता है, जिनमें से अधिकांश के लिए एक समाधान प्रस्तावित है (कुछ के लिए - कई विधियाँ), जिनमें से प्रत्येक को केवल अंकगणितीय संक्रियाओं की सहायता से कार्यान्वित किया जाता है, जो हमें गणितीय की सर्वोत्तम परंपराओं की ओर लौटाता है शिक्षा, सीखने के प्रारंभिक चरण में समीकरणों के उपयोग को छोड़ने और समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों के व्यापक उपयोग पर लौटने, पारंपरिक शिक्षण पद्धति में समायोजन करने और पाठ्यपुस्तक में इसके उपयोग की विशिष्ट कमियों से बचने की कोशिश करने की आवश्यकता के बारे में। फ्रीडमैन एल.एम. द्वारा “गणित में समस्याओं को प्लॉट करें। इतिहास, सिद्धांत, कार्यप्रणाली" कहती है कि विभिन्न तरीकों का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय, उस एक को चुनना बेहतर होता है जो समस्याओं की व्यापक श्रेणी पर लागू होता है और ऐसी कई समस्याएं हैं जिन्हें बीजगणित की तुलना में अंकगणितीय रूप से हल करना आसान है, और कुछ ऐसी भी हैं जिन्हें हल करना आसान है। बीजगणित के लिए पूरी तरह से दुर्गम हैं, हालाँकि अंकगणित के लिए कठिन नहीं हैं।

अपने काम में मैंने शैक्षिक और कार्यप्रणाली समाचार पत्र "गणित" संख्या 23 - 2005 (प्रकाशन गृह "फर्स्ट ऑफ़ सितंबर"), "गैर-पारंपरिक पाठ" से सामग्री का उपयोग किया। गणित 5-11 ग्रेड।" (एम.ई. कोजिना, एम.ई. फादेवा - वोल्गोग्राड, 2008), ग्रेड 5-6 के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें, ग्रेड 5-6 के लिए उपदेशात्मक सामग्री (एम.के. पोटापोव, ए.वी. शेवकिन) और अन्य।

अध्याय I. एक शब्द समस्या की विशेषताएँ और उसके साथ काम करने की विधियाँ

समाधान शब्द समस्या अंकगणित

गणित सोचने का एक उपकरण है; इसके शस्त्रागार में बड़ी संख्या में समस्याएं हैं, जिन्होंने हजारों वर्षों से लोगों की सोच के निर्माण, गैर-मानक समस्याओं को हल करने की क्षमता और कठिन परिस्थितियों को सम्मान के साथ दूर करने में योगदान दिया है।

शब्द समस्याओं के साथ काम करने, किसी समस्या को हल करने के विभिन्न तरीकों की खोज और तुलना करने, गणितीय मॉडल बनाने और समस्याओं को हल करते समय अपने स्वयं के तर्क को सक्षम रूप से व्यक्त करने के लिए बच्चों का ध्यान आकर्षित करने में काफी समय व्यतीत किया जाना चाहिए।

1.1 शब्द समस्या की अवधारणा

शाब्दिक समस्याओं का समाधान छात्रों के विकास और शिक्षा के लिए समृद्ध सामग्री प्रदान करता है। ये कार्य प्राकृतिक भाषा में तैयार किए जाते हैं, इसीलिए इन्हें पाठ्य कार्य कहा जाता है। वे आमतौर पर कुछ घटनाओं या घटनाओं के मात्रात्मक पक्ष का वर्णन करते हैं, यही कारण है कि उन्हें अक्सर कथानक कहा जाता है। समस्याओं को हल करके, छात्र नया गणितीय ज्ञान प्राप्त करते हैं और व्यावहारिक गतिविधियों के लिए तैयार होते हैं। कार्य उनकी तार्किक सोच विकसित करने में मदद करते हैं। छात्रों के व्यक्तित्व के विकास में समस्याओं का समाधान भी बहुत महत्वपूर्ण है। इसलिए, यह महत्वपूर्ण है कि शिक्षक को पाठ्य समस्या, उसकी संरचना की गहरी समझ हो और वह जानता हो कि ऐसी समस्याओं को विभिन्न तरीकों से कैसे हल किया जाए। "एक कार्य एक आवश्यकता या एक प्रश्न है जिसका उत्तर कार्य में निर्दिष्ट शर्तों और उन्हें ध्यान में रखते हुए पाया जाना चाहिए," एल.एम. ने कहा। फ्रीडमैन ने अपने काम "गणित में समस्याएं प्लॉट करें।"

एक पाठ कार्य प्राकृतिक भाषा में एक निश्चित स्थिति का वर्णन है जिसमें इस स्थिति के किसी भी घटक का मात्रात्मक विवरण देने, उसके घटकों के बीच एक निश्चित संबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति स्थापित करने या इस संबंध के प्रकार को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। . पाठ की समस्याएँ अमूर्त सामग्री की हो सकती हैं, जब पाठ मौखिक रूप से संख्याओं के बीच संबंधों का वर्णन करता है (दो संख्याएँ खोजें यदि उनमें से एक दूसरे से 18 अधिक है, और उनका योग 80 है) या एक विशिष्ट कथानक के साथ (स्टेडियम में प्रवेश के लिए एक टिकट) लागत 160 रूबल। प्रवेश शुल्क कम होने के बाद, दर्शकों की संख्या 50% बढ़ गई, और राजस्व 25% बढ़ गया। प्रवेश शुल्क कम होने के बाद टिकट की लागत कितनी हो गई?)

प्रत्येक कार्य स्थिति एवं लक्ष्य की एकता है। यदि इनमें से एक भी घटक गायब है, तो कोई कार्य नहीं है। ऐसी एकता बनाए रखते हुए किसी समस्या के पाठ का विश्लेषण करने के लिए इसे ध्यान में रखना बहुत महत्वपूर्ण है। इसका मतलब यह है कि कार्य की स्थितियों का विश्लेषण कार्य प्रश्न के साथ सहसंबद्ध होना चाहिए और, इसके विपरीत, कार्य प्रश्न का स्थिति के साथ दिशात्मक तरीके से विश्लेषण किया जाना चाहिए। उन्हें अलग नहीं किया जा सकता, क्योंकि वे एक पूरे का निर्माण करते हैं।

गणितीय समस्या एक संबंधित संक्षिप्त कहानी है जिसमें कुछ मात्राओं के मूल्यों को पेश किया जाता है और मात्राओं के अन्य अज्ञात मूल्यों को खोजने का प्रस्ताव किया जाता है जो डेटा पर निर्भर होते हैं और स्थिति में निर्दिष्ट कुछ रिश्तों से संबंधित होते हैं।

किसी भी पाठ्य कार्य में दो भाग होते हैं: शर्तें और आवश्यकताएं (प्रश्न), और शर्तें और आवश्यकताएं परस्पर संबंधित होती हैं।

स्थिति में वस्तुओं और कुछ मात्राओं के बारे में जानकारी होती है जो वस्तु के डेटा को दर्शाती हैं, इन मात्राओं के ज्ञात और अज्ञात मूल्यों के बारे में, उनके बीच संबंधों के बारे में।

कार्य आवश्यकताएँ इस बात का संकेत हैं कि क्या पाया जाना चाहिए। इसे अनिवार्य या प्रश्नवाचक वाक्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ("साइकिल चालकों की गति ज्ञात करें" या "पर्यटक प्रत्येक तीन दिनों में कितने किलोमीटर चला?")। किसी कार्य में कई आवश्यकताएँ हो सकती हैं।

समस्या पर विचार करें: 1 किलो 200 ग्राम ऊन से एक स्वेटर, टोपी और स्कार्फ बुना जाता है। स्कार्फ के लिए टोपी की तुलना में 100 ग्राम अधिक और स्वेटर की तुलना में 400 ग्राम कम ऊन की आवश्यकता होती है। आपने प्रत्येक वस्तु के लिए कितना ऊन उपयोग किया?

समस्या वस्तुएँ: स्कार्फ, टोपी, स्वेटर। इन वस्तुओं के संबंध में कुछ कथन और आवश्यकताएँ हैं।

कथन: स्वेटर, टोपी, स्कार्फ 1200 ग्राम ऊन से बुना जाता है।

हमने टोपी की तुलना में स्कार्फ पर 100 ग्राम अधिक खर्च किया।

हमने स्वेटर की तुलना में टोपी पर 400 ग्राम कम खर्च किया।

आवश्यकताएँ: आपने स्वेटर के लिए कितना ऊन इस्तेमाल किया?

आपने टोपी के लिए कितना ऊन इस्तेमाल किया?

आपने दुपट्टे के लिए कितना ऊन इस्तेमाल किया?

समस्या में तीन अज्ञात मान हैं, जिनमें से एक समस्या की आवश्यकता में निहित है। मात्रा का यह मान वांछित मान कहलाता है।

कभी-कभी कार्यों का गठन इस प्रकार किया जाता है कि स्थिति का एक भाग या पूरी स्थिति कार्य की आवश्यकता के साथ एक वाक्य में शामिल हो जाती है।

वास्तविक जीवन में, विभिन्न प्रकार की समस्याएँ अक्सर उत्पन्न होती हैं। उनके आधार पर तैयार किए गए कार्यों में अनावश्यक जानकारी हो सकती है, अर्थात वह जानकारी जो कार्य की आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए आवश्यक नहीं है।

जीवन में उत्पन्न होने वाली समस्या स्थितियों के आधार पर ऐसे कार्य भी तैयार किए जा सकते हैं जिनमें आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं हो। तो समस्या में: "प्रत्येक बैरल में कितने लीटर पानी है यदि पहले में दूसरे से 48 लीटर अधिक है?" - उसके प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त डेटा नहीं है। इस समस्या को हल करने के लिए, इसे लापता डेटा के साथ पूरक करना आवश्यक है।

उपलब्ध और निर्णायक मूल्यों के आधार पर उसी समस्या को पर्याप्त डेटा वाली समस्या माना जा सकता है।

इस अवधारणा के संकीर्ण अर्थ में कार्य को ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित घटकों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

1. कथानक की एक मौखिक प्रस्तुति, जिसमें मात्राओं के बीच कार्यात्मक संबंध, जिनके संख्यात्मक मान समस्या में शामिल हैं, को स्पष्ट रूप से या परोक्ष रूप में दर्शाया गया है।

2. समस्या के पाठ में निर्दिष्ट मात्राओं के संख्यात्मक मान या संख्यात्मक डेटा।

एक कार्य, आमतौर पर एक प्रश्न के रूप में तैयार किया जाता है, जो एक या अधिक मात्राओं के अज्ञात मूल्यों का पता लगाने के लिए कहता है। इन मूल्यों को वांछित मूल्य कहा जाता है।

छात्र के प्रशिक्षण और शिक्षा में कार्य की भूमिका और उसके स्थान को समझते हुए, शिक्षक को कार्य के चयन और समाधान के तरीकों की पसंद को तर्कसंगत रूप से और स्पष्ट रूप से जानना चाहिए कि दी गई समस्या को हल करते समय कार्य को छात्र को क्या देना चाहिए उसे।

1.2 अंकगणितीय समस्याओं के प्रकार

सभी अंकगणितीय समस्याओं को, उन्हें हल करने के लिए की गई क्रियाओं की संख्या के अनुसार, सरल और यौगिक में विभाजित किया गया है। वह समस्या जिसके लिए आपको एक बार अंकगणितीय संक्रिया करने की आवश्यकता होती है, सरल कहलाती है। जिस कार्य के लिए कई क्रियाएं करनी पड़ती हैं उसे यौगिक कार्य कहते हैं।

गणित शिक्षण में सरल समस्याएँ अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। सरल समस्याओं को हल करने से, प्रारंभिक गणित पाठ्यक्रम की केंद्रीय अवधारणाओं में से एक बनती है - अंकगणितीय संक्रियाओं की अवधारणा और कई अन्य अवधारणाएँ। सरल समस्याओं को हल करने की क्षमता छात्रों के लिए यौगिक समस्याओं को हल करने की क्षमता में महारत हासिल करने के लिए एक प्रारंभिक चरण है, क्योंकि एक यौगिक समस्या को हल करने से कई सरल समस्याओं का समाधान होता है। सरल समस्याओं को हल करते समय सबसे पहले समस्या और उसके घटकों से परिचय होता है। सरल समस्याओं को हल करने के संबंध में, बच्चे किसी समस्या पर काम करने की बुनियादी तकनीकों में महारत हासिल कर लेते हैं।

एक यौगिक समस्या में कई सरल समस्याएँ शामिल होती हैं जो इस तरह से परस्पर जुड़ी होती हैं कि कुछ सरल समस्याओं के आवश्यक मान दूसरों के लिए डेटा के रूप में काम करते हैं। किसी मिश्रित समस्या को हल करने के लिए उसे कई सरल समस्याओं में विभाजित करना और उन्हें क्रमिक रूप से हल करना आता है। इस प्रकार, एक मिश्रित समस्या को हल करने के लिए, डेटा और वांछित के बीच कनेक्शन की एक प्रणाली स्थापित करना आवश्यक है, जिसके अनुसार चयन करें और फिर अंकगणितीय संचालन करें।

किसी मिश्रित समस्या के समाधान को उसके आधार पर एक अभिव्यक्ति बनाकर रिकॉर्ड करने से छात्रों को समस्या पर काम करने के तार्किक पक्ष पर अपना ध्यान केंद्रित करने और इसे समग्र रूप से हल करने की प्रगति को देखने की अनुमति मिलती है। साथ ही, बच्चे किसी समस्या को हल करने के लिए एक योजना लिखना सीखते हैं और समय बचाते हैं।

एक यौगिक समस्या को हल करने में, एक साधारण समस्या को हल करने की तुलना में अनिवार्य रूप से कुछ नया सामने आया है: यहां एक कनेक्शन स्थापित नहीं किया गया है, बल्कि कई कनेक्शन स्थापित किए गए हैं, जिसके अनुसार अंकगणितीय संचालन विकसित किए गए हैं। इसलिए, बच्चों को यौगिक समस्या से परिचित कराने के साथ-साथ यौगिक समस्याओं को हल करने में उनके कौशल को विकसित करने के लिए विशेष कार्य किया जाता है।

1.3 गणित में समस्या की भूमिका

गणित में शब्द समस्याओं का महत्वपूर्ण स्थान है। अंकगणितीय संक्रियाओं के अर्थ पर विचार करते समय, क्रियाओं के बीच मौजूद संबंध और क्रियाओं के घटकों और परिणामों के बीच संबंध, संबंधित सरल समस्याओं (एक अंकगणितीय संक्रिया द्वारा हल की गई समस्याएं) का निश्चित रूप से उपयोग किया जाता है। शब्द समस्याएं बच्चों को गणितीय संबंधों से परिचित कराने के सबसे महत्वपूर्ण साधनों में से एक हैं; उनका उपयोग अनुपात को समझने के लिए किया जाता है, वे कई ज्यामितीय अवधारणाओं के निर्माण में भी मदद करते हैं, साथ ही बीजगणित के तत्वों पर विचार करते समय भी।

ज्ञान के निर्माण के लिए ठोस सामग्री के रूप में कार्य करते हुए, कार्य सिद्धांत को अभ्यास से, सीखने को जीवन से जोड़ने का अवसर प्रदान करते हैं। समस्याओं को सुलझाने से बच्चों में रोजमर्रा की जिंदगी में प्रत्येक व्यक्ति के लिए आवश्यक व्यावहारिक कौशल विकसित होते हैं। उदाहरण के लिए, खरीदारी की लागत की गणना करें, गणना करें कि आपको किस समय निकलना है ताकि ट्रेन छूट न जाए, आदि।

नए ज्ञान को प्रस्तुत करने और बच्चों के पास पहले से मौजूद ज्ञान को लागू करने के लिए ठोस आधार के रूप में कार्यों का उपयोग बच्चों में भौतिकवादी विश्वदृष्टि के तत्वों के निर्माण में अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। समस्याओं को हल करके, छात्र आश्वस्त हो जाता है कि कई गणितीय अवधारणाओं की जड़ें वास्तविक जीवन में, लोगों के व्यवहार में हैं। समस्याओं को सुलझाने के माध्यम से, बच्चे उन तथ्यों से परिचित हो जाते हैं जो संज्ञानात्मक और शैक्षिक दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण हैं। कई कार्यों की सामग्री बच्चों और वयस्कों के काम, राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था, प्रौद्योगिकी, विज्ञान और संस्कृति के क्षेत्र में हमारे देश की उपलब्धियों को दर्शाती है।

एक निश्चित पद्धति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया का स्कूली बच्चों के मानसिक विकास पर बहुत सकारात्मक प्रभाव पड़ता है, क्योंकि इसमें मानसिक संचालन के प्रदर्शन की आवश्यकता होती है: विश्लेषण और संश्लेषण, संक्षिप्तीकरण और अमूर्तता, तुलना, सामान्यीकरण। इस प्रकार, किसी भी समस्या को हल करते समय, छात्र एक विश्लेषण करता है: प्रश्न को स्थिति से अलग करता है, डेटा और आवश्यक संख्याओं का चयन करता है; एक समाधान योजना की रूपरेखा तैयार करते हुए, वह संक्षिप्तीकरण (मानसिक रूप से समस्या की स्थिति को चित्रित करता है) का उपयोग करके एक संश्लेषण करता है, और फिर अमूर्तता (विशिष्ट स्थिति से सार निकालना, अंकगणितीय संचालन का चयन करना); एक निश्चित प्रकार की समस्याओं को बार-बार हल करने के परिणामस्वरूप, छात्र डेटा और इस प्रकार की समस्याओं में जो खोजा जाता है, उसके बीच संबंधों के ज्ञान को सामान्यीकृत करता है, जिसके परिणामस्वरूप इस प्रकार की समस्याओं को हल करने की विधि सामान्यीकृत होती है।

समस्याएं बच्चों में तार्किक सोच विकसित करने, विश्लेषण और संश्लेषण करने, सामान्यीकरण, अमूर्त और ठोस बनाने और विचाराधीन घटनाओं के बीच मौजूद संबंधों को प्रकट करने की क्षमता विकसित करने का एक उपयोगी साधन हैं। समस्या समाधान एक ऐसा अभ्यास है जो सोच विकसित करता है। इसके अलावा, समस्याओं को सुलझाने से धैर्य, दृढ़ता, इच्छाशक्ति विकसित करने में मदद मिलती है, समाधान खोजने की प्रक्रिया में रुचि जगाने में मदद मिलती है और एक सफल समाधान से जुड़ी गहरी संतुष्टि का अनुभव करना संभव हो जाता है।

किसी समस्या को हल करने और उसका विश्लेषण किए बिना गणित की बुनियादी बातों में महारत हासिल करना अकल्पनीय है, जो गणित के ज्ञान की श्रृंखला में महत्वपूर्ण कड़ियों में से एक है, इस प्रकार की गतिविधि न केवल गणित के अध्ययन को सक्रिय करती है, बल्कि गहरी समझ का मार्ग भी प्रशस्त करती है; इसका. किसी विशेष गणितीय समस्या को हल करने की प्रगति को समझने के लिए काम करने से बच्चे की सोच के विकास को गति मिलती है। समस्याओं को हल करना अपने आप में एक लक्ष्य नहीं माना जा सकता है; उन्हें सैद्धांतिक सिद्धांतों के गहन अध्ययन के साधन के रूप में देखा जाना चाहिए और साथ ही सोच विकसित करने का एक साधन, आसपास की वास्तविकता के बारे में जागरूकता का मार्ग, समझने का मार्ग माना जाना चाहिए। दुनिया। इसके अलावा, हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि समस्याओं को सुलझाने से बच्चों में सकारात्मक चरित्र लक्षण पैदा होते हैं और उनमें सौंदर्य की दृष्टि से विकास होता है।

1.4 परीक्षण समस्याओं को हल करने के चरण और उनके कार्यान्वयन की तकनीकें

समस्याएँ और उनका समाधान स्कूली बच्चों की शिक्षा में समय की दृष्टि से और बच्चे के मानसिक विकास पर उनके प्रभाव दोनों की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं। किसी समस्या का समाधान ही परिणाम है, अर्थात समस्या की आवश्यकता का उत्तर, परिणाम खोजने की प्रक्रिया। इसके अलावा, इस प्रक्रिया को दो तरीकों से माना जाता है: परिणाम खोजने की विधि और उन कार्यों का अनुक्रम जो निर्णायक एक या किसी अन्य विधि का उपयोग करते समय करता है। अर्थात्, इस मामले में, किसी समस्या को हल करने का अर्थ समस्या को हल करने वाले व्यक्ति की सभी गतिविधियाँ हैं। शब्द समस्याओं को हल करने की मुख्य विधियाँ अंकगणित और बीजगणितीय हैं। किसी समस्या को अंकगणितीय तरीके से हल करने का अर्थ है संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित करके समस्या की आवश्यकता का उत्तर खोजना।

समस्याओं को हल करना कुछ हद तक असामान्य कार्य है, अर्थात् मानसिक कार्य। और किसी भी काम को सीखने के लिए सबसे पहले आपको उस सामग्री का अच्छी तरह से अध्ययन करना होगा जिस पर आपको काम करना होगा, जिन उपकरणों से यह काम किया जाता है।

इसका मतलब यह है कि समस्याओं को हल करने का तरीका सीखने के लिए, आपको यह समझने की ज़रूरत है कि वे क्या हैं, वे कैसे संरचित हैं, उनमें कौन से घटक शामिल हैं, वे कौन से उपकरण हैं जिनसे समस्याओं का समाधान किया जाता है।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें: “एक निश्चित व्यक्ति ने एक कर्मचारी को एक साल के लिए काम पर रखा और उसे 12 रूबल और एक कफ्तान देने का वादा किया। लेकिन 7 महीने तक काम करने के बाद, वह छोड़ना चाहता था और उसने काफ्तान के साथ उचित वेतन मांगा। मालिक ने उसे 5 रूबल और एक कफ्तान का बकाया भुगतान दिया। सवाल यह है कि उस काफ़्तान की कीमत क्या थी?”

समस्या का समाधान: कर्मचारी को 12 - 7 = 5 (महीने) के लिए 12 - 5 = 7 (रगड़) नहीं मिला,

इसलिए, एक महीने के लिए उन्हें 7:5 = 1.4 (रगड़) का भुगतान किया गया,

और 7 महीनों में उसे 7 * 1.4 = 9.8 (रगड़) प्राप्त हुए,

तो कफ्तान की कीमत 9.8 - 5 = 4.8 (रगड़) है।

उत्तर: एक कफ्तान की कीमत 4.8 रूबल है।

एक ही समस्या को विभिन्न अंकगणितीय तरीकों से हल किया जा सकता है। वे किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में किए गए तर्क के तर्क में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

विस्तारित रूप में, किसी शब्द समस्या के समाधान को निम्नलिखित चरणों के अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

1) कार्य विश्लेषण;

2) एक मॉडल का निर्माण;

3) समाधान खोजना (समाधान योजना तैयार करना);

4) निर्णय की रिकॉर्डिंग;

5) समाधान का सत्यापन;

6) समस्या का अनुसंधान और उसका समाधान;

7) उत्तर तैयार करना;

8) समस्या और उसके समाधान का शैक्षिक और संज्ञानात्मक विश्लेषण।

अक्सर, केवल चार चरणों को लागू किया जाता है: समस्या का विश्लेषण करना, समाधान योजना तैयार करना, समाधान लिखना, उत्तर तैयार करना, और सभी चरणों में वे केवल जटिल, समस्याग्रस्त समस्याओं या समस्याओं को हल करने पर ही रुकते हैं जिनका एक निश्चित सामान्यीकृत सैद्धांतिक महत्व होता है। .

किसी कार्य का विश्लेषण हमेशा उसकी आवश्यकता पर केंद्रित होता है।

मंच के लक्ष्य:- कार्य में वर्णित स्थिति को समझें;

शर्तों और आवश्यकताओं पर प्रकाश डालें;

ज्ञात और वांछित वस्तुओं के नाम बताएं;

उनके बीच के सभी रिश्तों (निर्भरताओं) को उजागर करें।

कार्य की सामग्री को समझने के लिए, शर्तों और आवश्यकताओं को अलग करने के लिए, आपको विशेष प्रश्न पूछने की आवश्यकता है:

1. कार्य किस बारे में है?

2. आपको समस्या में क्या खोजने की आवश्यकता है?

3. समस्या के पाठ में कुछ शब्दों का क्या अर्थ है?

4. समस्या में क्या अज्ञात है?

5. क्या मांगा जाता है?

एक उदाहरण पर विचार करें: “दो लड़के सड़क पर एक ही दिशा में चल रहे हैं। सबसे पहले, उनके बीच की दूरी 2 किमी थी, लेकिन चूँकि सामने वाले लड़के की गति 4 किमी/घंटा है, और दूसरे की गति 5 किमी/घंटा है, दूसरा लड़का पहले वाले को पकड़ लेता है। आंदोलन की शुरुआत से लेकर जब तक दूसरा लड़का पहले को पकड़ नहीं लेता, एक कुत्ता उनके बीच 8 किमी/घंटा की गति से दौड़ता है। वह पीछे चल रहे लड़के से लेकर आगे वाले लड़के तक दौड़ती है, उसके पास पहुंचकर वह वापस आती है और ऐसे ही दौड़ती रहती है जब तक कि लड़के पास में न आ जाएं। इतने समय में कुत्ता कितनी दूर तक दौड़ेगा?

कार्य विश्लेषण: 1) यह कार्य किस बारे में है?

दो लड़कों और एक कुत्ते की हरकत से परेशानी. यह गति, समय और तय की गई दूरी के आधार पर आंदोलन में प्रत्येक भागीदार के लिए विशेषता है।

2) आपको समस्या में क्या खोजने की आवश्यकता है?

समस्या के लिए यह पता लगाने की आवश्यकता है कि आंदोलन की शुरुआत से लेकर लड़कों के पास होने तक पूरे समय के दौरान कुत्ता कितनी दूरी तक दौड़ेगा, यानी दूसरा कुत्ता पहले वाले को पकड़ लेगा।

3) समस्या में इसके प्रत्येक प्रतिभागी की गति के बारे में क्या ज्ञात है?

समस्या में हम जानते हैं: क) लड़के एक ही दिशा में चल रहे हैं;

बी) आंदोलन शुरू होने से पहले, लड़कों के बीच की दूरी 2 किमी थी;

ग) सामने चलने वाले पहले लड़के की गति 4 किमी/घंटा है;

घ) पीछे चल रहे दूसरे लड़के की गति 5 किमी/घंटा है;

ई) कुत्ते की दौड़ने की गति 8 किमी/घंटा है;

च) आंदोलन का समय जब बैठक के क्षण से पहले लड़कों के बीच की दूरी 2 किमी थी।

4) समस्या में क्या अज्ञात है?

समस्या में यह अज्ञात है: ए) वह समय जिसके लिए दूसरा लड़का पहले को पकड़ लेगा (उसके सभी प्रतिभागियों के आंदोलन का समय);

ख) लड़के किस गति से करीब आ रहे हैं;

ग) कुत्ता कितनी दूरी तक दौड़ा (आपको समस्या में इसका पता लगाना होगा)।

5) क्या मांगा गया है: एक संख्या, एक मूल्य, कुछ संबंध का एक प्रकार?

वांछित मूल्य मात्रा का मूल्य है - वह दूरी जो कुत्ते ने लड़कों के आंदोलन की शुरुआत से लेकर बैठक के क्षण तक के दौरान तय की थी।

एक ऐसी तकनीक जो किसी समस्या को समझने में बहुत मदद करती है वह है समस्या के पाठ को व्याख्यायित करना। अर्थात्, समस्या के पाठ से सभी अनावश्यक (आवश्यक नहीं) को हटा दिया जाता है, और कुछ अवधारणाओं के विवरण को संबंधित शब्दों से बदल दिया जाता है और, इसके विपरीत, कुछ शब्दों को संबंधित अवधारणाओं की सामग्री के विवरण से बदल दिया जाता है।

किसी समस्या के पाठ को व्याख्यायित करना किसी समस्या के पाठ को समाधान योजना खोजने के लिए सुविधाजनक रूप में परिवर्तित करना है। व्याख्या का परिणाम मुख्य स्थितियों को उजागर करना होना चाहिए। समस्या को समझना आसान बनाने के लिए, आप इसे तालिका या योजनाबद्ध चित्र के रूप में लिख सकते हैं। तालिका और योजनाबद्ध रेखाचित्र दोनों ही समस्या के सहायक मॉडल हैं। वे एक पाठ्य समस्या के विश्लेषण को रिकॉर्ड करने के एक रूप के रूप में कार्य करते हैं और इसे हल करने के लिए एक योजना खोजने का मुख्य साधन हैं। सहायक मॉडल बनाने के बाद, आपको यह जांचना होगा:

1) मॉडल में दिखाए गए कार्य की सभी वस्तुएं हैं;

2) क्या वस्तुओं के बीच सभी संबंध प्रतिबिंबित होते हैं;

3) क्या सभी संख्यात्मक डेटा दिए गए हैं;

4) क्या कोई प्रश्न (आवश्यकता) है और क्या यह सही ढंग से इंगित करता है कि क्या मांगा जा रहा है।

किसी समस्या को हल करने के लिए एक योजना ढूँढना

चरण लक्ष्य: डेटा और स्रोत वस्तुओं के बीच संबंध स्थापित करना;

क्रियाओं के अनुक्रम की रूपरेखा तैयार करें।

किसी समस्या को हल करने की योजना किसी समाधान, उसके डिज़ाइन का एक विचार मात्र है। ऐसा हो सकता है कि पाया गया विचार ग़लत हो. फिर हमें समस्या के विश्लेषण पर लौटना होगा और सब कुछ फिर से शुरू करना होगा।

अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने की योजना खोजने की सबसे प्रसिद्ध तकनीकों में से एक पाठ या उसके सहायक मॉडल के अनुसार समस्या का विश्लेषण करना है। समस्या का विश्लेषण तर्क की एक श्रृंखला के रूप में किया जाता है, जो समस्या के डेटा और उसके प्रश्नों दोनों से शुरू हो सकता है। डेटा से प्रश्न तक किसी समस्या का विश्लेषण करते समय, सॉल्वर समस्या के पाठ में दो डेटा की पहचान करता है और, उनके बीच संबंध के ज्ञान के आधार पर (समस्या का विश्लेषण करते समय ऐसा ज्ञान प्राप्त किया जाना चाहिए), यह निर्धारित करता है कि इनमें से कौन सा अज्ञात पाया जा सकता है डेटा और किस अंकगणितीय ऑपरेशन का उपयोग करना। फिर, इस अज्ञात को डेटा के रूप में मानते हुए, सॉल्वर फिर से दो परस्पर संबंधित डेटा की पहचान करता है, उनमें से कौन सा अज्ञात पाया जा सकता है और किस क्रिया की मदद से, आदि का निर्धारण करता है, जब तक कि यह निर्धारित नहीं हो जाता कि किस क्रिया से वांछित वस्तु प्राप्त होती है। संकट। प्रश्न से डेटा तक किसी समस्या का विश्लेषण करते समय, आपको समस्या प्रश्न पर ध्यान देना होगा और यह निर्धारित करना होगा (समस्या के विश्लेषण से प्राप्त जानकारी के आधार पर) कि उस प्रश्न का उत्तर देने के लिए क्या जानना पर्याप्त है। आपको शर्तों को देखने और यह पता लगाने की आवश्यकता क्यों है कि क्या आपके पास इसके लिए आवश्यक डेटा है। यदि ऐसा कोई डेटा नहीं है या केवल एक डेटा है, तो गायब डेटा (लापता डेटा) आदि को खोजने के लिए आपको जो जानने की आवश्यकता है उसे स्थापित करें। फिर समस्या को हल करने के लिए एक योजना तैयार की जाती है। तर्क उल्टे क्रम में किया जाता है। समस्या के पाठ के आधार पर विश्लेषण: “पर्यटक ने 56 किमी/घंटा की गति से यात्रा करने वाली ट्रेन पर 6 घंटे तक यात्रा की। इसके बाद उन्हें अपनी यात्रा से 4 गुना ज्यादा यात्रा करनी पड़ी। एक पर्यटक की पूरी यात्रा क्या होती है?”

डेटा से प्रश्न तक तर्क: यह ज्ञात है: पर्यटक ने 6 घंटे तक ट्रेन से यात्रा की;

ट्रेन की गति 56 किमी/घंटा है।

इन डेटा का उपयोग करके, आप किसी पर्यटक द्वारा 6 घंटे में तय की गई दूरी (समय से गति गुणा) का पता लगा सकते हैं। तय की गई दूरी का हिस्सा और इस तथ्य को जानकर कि शेष दूरी 4 गुना अधिक है, आप पा सकते हैं कि यह किसके बराबर है (यात्रा की गई दूरी को 4 से गुणा किया जाना चाहिए (4 गुना बढ़ाया गया))। यह जानकर कि पर्यटक ने कितने किलोमीटर की यात्रा की है और उसके पास यात्रा करने के लिए कितना समय बचा है, आप पथ के पाए गए हिस्सों को जोड़कर पूरा पथ पा सकते हैं।

तो क्रियाएँ: 1) वह दूरी जो पर्यटक ने ट्रेन से तय की;

2) वह दूरी जो उसने तय करने के लिए छोड़ी है; . 3) हर तरह से.

प्रश्न से डेटा तक तर्क: समस्या के लिए पर्यटक के पूरे मार्ग का पता लगाना आवश्यक है। हमने स्थापित किया है कि पथ में दो भाग होते हैं। इसका मतलब है कि कार्य की आवश्यकता को पूरा करने के लिए, यह जानना पर्याप्त है कि पर्यटक ने कितने किलोमीटर की यात्रा की है और उसे कितने किलोमीटर की यात्रा करनी बाकी है। दोनों अज्ञात हैं. यात्रा किए गए पथ का पता लगाने के लिए, यह जानना पर्याप्त है कि पर्यटक किस समय और गति से यात्रा कर रहा था। यह समस्या में ज्ञात होता है। गति को समय से गुणा करके, हम यह पता लगाते हैं कि पर्यटक ने कितनी दूरी तय की। शेष रास्ता तय की गई दूरी को 4 गुना बढ़ाकर (4 से गुणा करके) पाया जा सकता है। तो, पहले आप तय की गई दूरी का पता लगा सकते हैं, फिर शेष दूरी का, जिसके बाद आप जोड़ कर पूरे रास्ते का पता लगा सकते हैं।

समस्या समाधान योजना का क्रियान्वयन:

चरण का उद्देश्य: योजना के अनुसार सभी कार्यों को पूरा करके कार्य की आवश्यकता का उत्तर खोजना।

अंकगणितीय रूप से हल की गई शब्द समस्याओं के लिए, निम्नलिखित तकनीकों का उपयोग किया जाता है:

कार्यों का रिकॉर्ड (स्पष्टीकरण के साथ, स्पष्टीकरण के बिना, प्रश्नों के साथ);

अभिव्यक्ति के रूप में रिकॉर्डिंग.

ए) किए गए प्रत्येक कार्य के स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय रिकॉर्ड करना: 1) 56 * 6 = 336 (किमी) - पर्यटक 6 घंटे में चला गया।

2) 336 * 4 = 1344 (किमी) - पर्यटक को अभी भी यात्रा करनी है;

3) 336 + 1344 = 1680 (किमी) - पर्यटक को यात्रा करनी पड़ी।

यदि स्पष्टीकरण मौखिक रूप से दिया गया है (या बिल्कुल नहीं दिया गया है), तो प्रविष्टि इस प्रकार होगी: 1) 56 * 6 = 336 (किमी);

2) 336*4 = 1344(किमी);

3)336 + 1344 = 1680(किमी)

बी) प्रश्नों के साथ कार्यों पर निर्णय रिकॉर्ड करना:

1)पर्यटक ने ट्रेन से कितने किलोमीटर की यात्रा की?

56 * 6 = 336 (किमी)

2) पर्यटक को कितने किलोमीटर की यात्रा करनी बाकी है?

336*4 = 1344(किमी)

3)पर्यटक को कितने किलोमीटर की यात्रा करनी पड़ी?

336 + 1344 = 1680(किमी)

समस्या के समाधान की जाँच करना:

चरण का उद्देश्य: निर्णय की शुद्धता या त्रुटि को स्थापित करना।

ऐसी कई तकनीकें हैं जो यह निर्धारित करने में मदद करती हैं कि किसी समस्या का समाधान सही ढंग से किया गया है या नहीं। आइए मुख्य बातों पर नजर डालें:

1. कार्य के परिणाम और शर्तों के बीच एक पत्राचार स्थापित करना। ऐसा करने के लिए, पाए गए परिणाम को समस्या के पाठ में दर्ज किया जाता है और, तर्क के आधार पर, यह स्थापित किया जाता है कि कोई विरोधाभास उत्पन्न होता है या नहीं।

2. समस्या को अलग तरीके से हल करना।

मान लीजिए कि किसी समस्या को किसी तरह हल करने पर एक निश्चित परिणाम प्राप्त होता है। यदि इसे दूसरे तरीके से हल करने पर वही परिणाम आता है, तो समस्या सही ढंग से हल हो गई है।

1.5 शब्द समस्याओं को हल करने के कुछ तरीके।

गणितीय अर्थ में समानता और विभिन्न समाधान विधियों की विनिमेयता के आधार पर, सभी अंकगणितीय विधियों को निम्नलिखित समूहों में जोड़ा जा सकता है:

1) एकता में कमी की विधि, एक सामान्य माप में कमी, एकता में व्युत्क्रम कमी, संबंधों की विधि;

2) समस्याओं को "अंत" से हल करने का एक तरीका;

3) अज्ञात को खत्म करने की एक विधि (एक अज्ञात को दूसरे के साथ बदलना, अज्ञात की तुलना करना, डेटा की तुलना करना, घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना करना, दो स्थितियों को एक में जोड़ना); अनुमान लगाने का तरीका;

4) आनुपातिक विभाजन, समानता या भागों का पता लगाना;

5) एक समस्या को दूसरी समस्या में बदलने की एक विधि (एक जटिल समस्या को सरल, प्रारंभिक समस्याओं में विघटित करना; अज्ञात को ऐसे मूल्यों पर लाना जिनके लिए उनका संबंध ज्ञात हो जाता है; अज्ञात मात्राओं में से एक के लिए एक मनमाना संख्या निर्धारित करने की विधि)।

उपरोक्त विधियों के अलावा, अंकगणित माध्य विधि, अधिशेष विधि, ज्ञात और अज्ञात को पुनर्व्यवस्थित करने की विधि और "गलत" नियमों की विधि पर भी विचार करना उचित है।

चूँकि आमतौर पर पहले से यह निर्धारित करना असंभव है कि कौन सी विधियाँ तर्कसंगत हैं, यह अनुमान लगाने के लिए कि उनमें से कौन सी विधि छात्र के लिए सबसे सरल और सबसे समझने योग्य समाधान की ओर ले जाएगी, छात्रों को विभिन्न विधियों से परिचित कराया जाना चाहिए और उन्हें चुनने का अवसर दिया जाना चाहिए कि कौन सी विधि अपनानी चाहिए किसी विशिष्ट समस्या को हल करते समय उपयोग करें।

अज्ञात को बाहर करने की विधि

इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब समस्या में कई अज्ञात हों। इस समस्या को पाँच तकनीकों में से एक का उपयोग करके हल किया जा सकता है: 1) एक अज्ञात को दूसरे से बदलना; 2) अज्ञात की तुलना; 3) घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना; 4) डेटा की तुलना; 5) कई स्थितियों को एक में जोड़ना।

सूचीबद्ध तकनीकों में से एक का उपयोग करने के परिणामस्वरूप, कई अज्ञात के बजाय, एक ऐसा रहता है जिसे पाया जा सकता है। इसकी गणना करने के बाद, वे अन्य अज्ञात को खोजने के लिए निर्भरता स्थिति में डेटा का उपयोग करते हैं।

आइए कुछ तकनीकों पर करीब से नज़र डालें।

1. एक अज्ञात को दूसरे से बदलना

तकनीक का नाम इसके विचार को प्रकट करता है: समस्या की स्थितियों के अनुसार दी गई निर्भरता (एकाधिक या अंतर) के आधार पर, उनमें से किसी एक के माध्यम से सभी अज्ञात को व्यक्त करना आवश्यक है।

काम। सर्गेई और एंड्री के पास केवल 126 टिकटें हैं। सर्गेई के एंड्री से 14 अंक अधिक हैं। प्रत्येक लड़के के पास कितने टिकटें थीं?

स्थिति का संक्षिप्त विवरण:

सेर्गेई -- ? अंक, 14 अंक अधिक

एंड्री -- ? टिकटों

कुल--126 टिकटें

समाधान 1.

(बड़े अज्ञात को छोटे अज्ञात से बदलना)

1) बता दें कि सर्गेई के पास एंड्री जितने ही टिकट हैं। तब टिकटों की कुल संख्या 126 -- 14 = 112 (टिकटें) होगी।

2) चूंकि अब लड़कों के पास समान अंक हैं, हम पाएंगे कि शुरुआत में आंद्रेई के पास कितने अंक थे: 112: 2 = 56 (टिकटें)।

3) यह मानते हुए कि सर्गेई के एंड्री से 14 अंक अधिक हैं, हमें मिलता है: 56 + 14 = 70 (अंक)।

समाधान 2.

(छोटे अज्ञात को बड़े अज्ञात से बदलना)

1) मान लीजिए आंद्रेई के पास सर्गेई के समान ही टिकटें हैं। तब टिकटों की कुल संख्या 126 + 14 = 140 (टिकटें) होगी।

2) चूँकि लड़कों के अब समान अंक हैं, आइए जानें कि सर्गेई के पहले कितने अंक थे: 140: 2 = 70 (अंक)।

3) यह मानते हुए कि एंड्री के सर्गेई से 14 अंक कम थे, हमें मिलता है: 70 - 14 = 56 (अंक)।

उत्तर: सर्गेई के 70 अंक थे, और एंड्री के 56 अंक थे।

छात्रों द्वारा एक छोटे अज्ञात को एक बड़े अज्ञात के साथ बदलने की विधि को सर्वोत्तम रूप से आत्मसात करने के लिए, इस पर विचार करने से पहले, छात्रों के साथ निम्नलिखित तथ्य को स्पष्ट करना आवश्यक है: यदि संख्या A, संख्या B से C इकाइयों से अधिक है, तो में संख्या ए और बी की तुलना करने के लिए यह आवश्यक है:

ए) संख्या सी को संख्या ए से घटाएं (तब दोनों संख्याएं संख्या बी के बराबर हैं);

बी) संख्या सी को संख्या बी में जोड़ें (तब दोनों संख्याएं संख्या ए के बराबर हैं)।

एक बड़े अज्ञात को एक छोटे से बदलने की छात्रों की क्षमता, और इसके विपरीत, एक समीकरण बनाते समय अज्ञात को चुनने और इसके माध्यम से अन्य मात्राओं को व्यक्त करने की क्षमता के विकास में योगदान देती है।

2. अज्ञात की तुलना

काम। चार अलमारियों पर 188 पुस्तकें थीं। दूसरी शेल्फ पर पहली की तुलना में 16 कम किताबें थीं, तीसरी पर - दूसरी की तुलना में 8 अधिक, और चौथी पर - तीसरी शेल्फ की तुलना में 12 कम। प्रत्येक शेल्फ पर कितनी किताबें रखी हुई हैं?

कार्य का विश्लेषण

चार अज्ञात मात्राओं (प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या) के बीच निर्भरता को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम निम्नलिखित चित्र का उपयोग करते हैं:

मैं_________________________________

II__________________________

III______________________________

चतुर्थ________________________ _ _ _ _ _

प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या को योजनाबद्ध रूप से दर्शाने वाले खंडों की तुलना करते हुए, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचते हैं: पहले शेल्फ पर दूसरे की तुलना में 16 अधिक किताबें हैं; तीसरे पर दूसरे से 8 अधिक हैं; चौथे पर - 12 - 8 = 4 (किताबें) दूसरे से कम। इसलिए, प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या की तुलना करके समस्या का समाधान किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, पहली शेल्फ से 16 किताबें, तीसरी से 8 किताबें और चौथी शेल्फ पर 4 किताबें हटा दें। तब सभी अलमारियों पर उतनी ही किताबें होंगी, जितनी पहले दूसरी पर थीं।

1) समस्या विश्लेषण में वर्णित कार्यों के बाद सभी अलमारियों पर कितनी किताबें हैं?

188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (किताबें)

2) दूसरी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?

168: 4 = 42 (किताबें)

3) पहली शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?

42 + 16 = 58 (किताबें)

4) तीसरी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?

42 + 8 = 50 (किताबें)

5) चौथी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?

50 -- 12 = 38 (किताबें)

उत्तर: चारों अलमारियों में से प्रत्येक पर 58, 42, 50 और 38 पुस्तकें थीं।

टिप्पणी। आप पहली, दूसरी या चौथी शेल्फ पर मौजूद अज्ञात संख्या में पुस्तकों की तुलना करके छात्रों को इस समस्या को अन्य तरीकों से हल करने के लिए आमंत्रित कर सकते हैं।

3. घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना

इस तकनीक द्वारा हल की जाने वाली समस्या के कथानक में अक्सर दो आनुपातिक मात्राएँ (वस्तु की मात्रा और उसकी लागत, श्रमिकों की संख्या और उनके द्वारा किया गया कार्य, आदि) शामिल होती हैं। शर्त एक मात्रा के दो मान और उनके समानुपाती दूसरी मात्रा के दो संख्यात्मक मानों का अंतर बताती है।

काम। 4 किलो संतरे और 5 किलो केले के लिए उन्होंने 620 रूबल का भुगतान किया, और अगली बार उसी कीमत पर खरीदे गए 4 किलो संतरे और 3 किलो केले के लिए उन्होंने 500 रूबल का भुगतान किया। 1 किलो संतरे और 1 किलो केले की कीमत कितनी है?

स्थिति का संक्षिप्त विवरण:

4 किलो ऐप. और 5 किलो पर प्रतिबंध. - 620 रूबल,

4 किलो ऐप. और 3 किलो पर प्रतिबंध. - 500 रूबल।

1) आइए दो खरीद की लागत की तुलना करें। पहली और दूसरी बार उन्होंने समान कीमत पर समान संख्या में संतरे खरीदे। पहली बार हमने अधिक भुगतान किया क्योंकि हमने अधिक केले खरीदे। आइए जानें कि पहली बार कितने किलोग्राम अधिक केले खरीदे गए: 5 - 3 = 2 (किग्रा)।

2) आइए जानें कि हमने दूसरी बार की तुलना में पहली बार कितना अधिक भुगतान किया (अर्थात, हमें पता चलता है कि 2 किलो केले की कीमत कितनी है): 620 - 500 = 120 (रगड़)।

3) 1 किलो केले की कीमत ज्ञात करें: 120: 2 = 60 (रगड़)।

4) पहली और दूसरी खरीद की कीमत जानकर हम 1 किलो संतरे की कीमत पता कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए सबसे पहले खरीदे गए केले की कीमत, फिर संतरे की कीमत और फिर 1 किलो की कीमत पता करें। हमारे पास है: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (रगड़)।

उत्तर: 1 किलो संतरे की कीमत 80 रूबल है, और 1 किलो केले की कीमत 60 रूबल है।

4. डेटा तुलना

इस तकनीक के उपयोग से डेटा की तुलना करना और घटाव विधि लागू करना संभव हो जाता है। आप डेटा मानों की तुलना कर सकते हैं:

1) गुणन का उपयोग करना (उनकी तुलना लघुत्तम समापवर्त्य से करना);

2) विभाजन का उपयोग करना (उनकी तुलना सबसे बड़े सामान्य भाजक से करना)।

आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

काम। 4 किलो संतरे और 5 किलो केले के लिए उन्होंने 620 रूबल का भुगतान किया, और अगली बार उसी कीमत पर खरीदे गए 6 किलो संतरे और 3 किलो केले के लिए उन्होंने 660 रूबल का भुगतान किया। 1 किलो संतरे और 1 किलो केले की कीमत कितनी है?

स्थिति का संक्षिप्त विवरण:

4 किलो ऐप. और 5 किलो पर प्रतिबंध. - 620 रूबल,

6 किलो ऐप. और 3 किलो पर प्रतिबंध. - 660 रूबल।

आइए संतरे और केले की संख्या को लघुत्तम समापवर्तक से तुलना करके बराबर करें: LCM(4;6) = 12.

समाधान1.

1) आइए पहले मामले में खरीदे गए फलों की संख्या और उनकी लागत को 3 गुना और दूसरे में 2 गुना बढ़ा दें। हमें स्थिति का निम्नलिखित संक्षिप्त विवरण मिलता है:

12 किलो ऐप. और 15 किलो पर प्रतिबंध. - 1860 रूबल,

12 किलो ऐप. और 6 किलो पर प्रतिबंध. - 1320 रूबल।

2) पता करें कि आपने पहली बार कितने और केले खरीदे: 15-6 = 9 (किग्रा)।

3) 9 किलो केले की कीमत कितनी है? 1860 -- 1320 = 540 (रगड़)।

4) 1 किलो केले की कीमत ज्ञात करें: 540: 9 = 60 (रगड़)।

5) 3 किलो केले की कीमत ज्ञात करें: 60 * 3 = 180 (रगड़)।

6) 6 किलो संतरे की कीमत ज्ञात करें: 660 -- 180 = 480 (रगड़)।

7) 1 किलो संतरे की कीमत ज्ञात करें: 480: 6 = 80 (रगड़)।

समाधान2.

आइए सबसे बड़े सामान्य भाजक के साथ तुलना करके संतरे और केले की संख्या को बराबर करें: जीसीडी (4; 6) = 2।

1) पहली बार और दूसरी बार खरीदे गए संतरे की संख्या को बराबर करने के लिए, हम खरीदे गए उत्पाद की मात्रा और उसकी लागत को पहले मामले में 2 गुना, दूसरे में - 3 गुना कम कर देते हैं। आइए एक समस्या प्राप्त करें जिसमें शर्त का निम्नलिखित संक्षिप्त रूप है:

2 किलो ऐप. और 2.5 किलो का बैन. - 310 रूबल,

2 किलो ऐप. और 1 किलो पर प्रतिबंध. - 220 रूबल।

2) अब वे कितने और केले खरीद रहे हैं: 2.5 - 1 = 1.5 (किग्रा)।

3) आइए जानें कि 1.5 किलो केले की कीमत कितनी है: 310 -- 220 = 90 (रगड़)।

4) 1 किलो केले की कीमत ज्ञात करें: 90: 1.5 = 60 (रगड़)।

5) 1 किलो संतरे की कीमत ज्ञात करें: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (रगड़)।

उत्तर: 1 किलो संतरे की कीमत 80 रूबल, 1 किलो केले की कीमत 60 रूबल है।

डेटा की तुलना करने की तकनीक का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय, आप इतना विस्तृत विश्लेषण और रिकॉर्डिंग नहीं कर सकते हैं, बल्कि केवल उन परिवर्तनों को रिकॉर्ड कर सकते हैं जो तुलना के लिए किए गए थे और उन्हें एक तालिका के रूप में लिख सकते हैं।

5. अनेक स्थितियों को एक में मिलाना

कभी-कभी आप कई स्थितियों को एक में मिलाकर अनावश्यक अज्ञात से छुटकारा पा सकते हैं।

काम। पर्यटकों ने शिविर छोड़ दिया और पहले 4 घंटे तक चले, और फिर एक निश्चित स्थिर गति से अगले 4 घंटे तक साइकिल चलाई और शिविर से 60 किमी दूर चले गए। दूसरी बार उन्होंने शिविर छोड़ा और पहले 7 घंटे तक उसी गति से साइकिल चलाई, और फिर विपरीत दिशा में मुड़ गए और 4 घंटे तक चलने के बाद, उन्होंने खुद को शिविर से 50 किमी की दूरी पर पाया। पर्यटकों ने कितनी तेजी से साइकिलें चलाईं?

समस्या में दो अज्ञात हैं: जिस गति से पर्यटक अपनी साइकिल चलाते थे और जिस गति से वे चलते थे। उनमें से किसी एक को बाहर करने के लिए, आप दो स्थितियों को एक में जोड़ सकते हैं। फिर पहली बार पैदल आगे बढ़ने पर पर्यटक 4 घंटे में जो दूरी तय करेंगे, वह दूसरी बार वापस जाने पर 4 घंटे में तय की गई दूरी के बराबर है। इसलिए हम इन दूरियों पर ध्यान नहीं देते. इसका मतलब यह है कि पर्यटक साइकिल पर 4 + 7 = 11 (घंटे) में जो दूरी तय करेंगे वह 50 + 60 = 110 (किमी) के बराबर होगी।

तो साइकिल पर पर्यटकों की गति है: 110: 11 = 10 (किमी/घंटा)।

उत्तर: साइकिल की गति 10 किमी/घंटा है।

6. धारणा की विधि

समस्याओं को हल करते समय अनुमान पद्धति का उपयोग करने से अधिकांश छात्रों के लिए कठिनाई नहीं होती है। इसलिए, छात्रों को इस विधि के चरणों के आरेख को यांत्रिक रूप से याद करने और उनमें से प्रत्येक पर किए गए कार्यों के सार को गलत समझने से बचने के लिए, छात्रों को पहले परीक्षण विधि ("झूठा नियम" और "प्राचीन बेबीलोनियों का नियम") दिखाया जाना चाहिए।

नमूना पद्धति का उपयोग करते समय, विशेष रूप से "गलत नियम" में, अज्ञात मात्राओं में से एक को एक निश्चित मान ("अनुमति") दिया जाता है। फिर, सभी शर्तों का उपयोग करके, वे दूसरी मात्रा का मूल्य ज्ञात करते हैं। परिणामी मान की जाँच शर्त में निर्दिष्ट मान के विरुद्ध की जाती है। यदि परिणामी मान शर्त में दिए गए मान से भिन्न है, तो निर्दिष्ट पहला मान सही नहीं है और इसे 1 से बढ़ाया या घटाया जाना चाहिए, और दूसरे मान का मान फिर से पाया जाना चाहिए। यह तब तक किया जाना चाहिए जब तक हमें किसी अन्य मात्रा का मान प्राप्त न हो जाए, जैसा कि समस्या कथन में है।

काम। खजांची के पास 50 कोप्पेक और 10 कोप्पेक के 50 सिक्के हैं, जिनकी कुल कीमत 21 रूबल है। पता लगाएं कि कैशियर के पास कितने अलग-अलग 50k सिक्के थे। और 10k प्रत्येक।

समाधान1. (नमूनाकरण विधि)

आइए "प्राचीन" बेबीलोनियों के नियम का उपयोग करें। आइए मान लें कि खजांची के पास प्रत्येक मूल्यवर्ग के सिक्कों की समान संख्या है, यानी प्रत्येक के 25 टुकड़े। तब धनराशि 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.), या 15 रूबल होगी। लेकिन 21 रूबल की स्थिति में, यानी, जो उन्हें प्राप्त हुआ उससे अधिक, 21 UAH - 15 रूबल = 6 रूबल। इसका मतलब यह है कि 50-कोपेक सिक्कों की संख्या बढ़ाना और 10-कोपेक सिक्कों की संख्या कम करना आवश्यक है जब तक कि हमें कुल 21 रूबल नहीं मिल जाते। हम सिक्कों की संख्या और कुल राशि में परिवर्तन को तालिका में दर्ज करेंगे।

सिक्कों की संख्या	सिक्कों की संख्या	पैसे की राशि	पैसे की राशि	कुल राशि	अवस्था में कम या ज्यादा
					6 रूबल से कम।
					5rub60k से कम
					जैसी हालत में है

जैसा कि टेबल से देखा जा सकता है, खजांची के पास 50 कोपेक के 40 सिक्के और 10 कोपेक के 10 सिक्के थे।

जैसा कि समाधान 1 में पता चला, यदि कैशियर के पास समान संख्या में 50k सिक्के थे। और 10 हजार प्रत्येक, तो कुल मिलाकर उसके पास 15 रूबल पैसे थे। यह नोटिस करना आसान है कि प्रत्येक सिक्के का प्रतिस्थापन 10k है। प्रति सिक्का 50k. कुल राशि 40k बढ़ जाती है। इसका मतलब है कि हमें यह पता लगाना होगा कि ऐसे कितने प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है, ऐसा करने के लिए, आइए पहले यह पता करें कि कुल राशि को बढ़ाने के लिए हमें कितने पैसे की आवश्यकता है:

21 रूबल--15 रूबल. = 6 रगड़. = 600 कि.

आइए जानें कि ऐसा प्रतिस्थापन कितनी बार करने की आवश्यकता है: 600 k : 40 k.

फिर 50k प्रत्येक 25 +15 =40 (सिक्के) होंगे, और 10k सिक्के रहेंगे
25 -- 15 = 10.

चेक पुष्टि करता है कि इस मामले में कुल धनराशि 21 रूबल है।

उत्तर: खजांची के पास 50 कोपेक के 40 सिक्के और 10 कोपेक के 10 सिक्के थे।

छात्रों को 50 कोप्पेक के सिक्कों की संख्या के लिए स्वतंत्र रूप से अलग-अलग मूल्य चुनने के लिए आमंत्रित करने के बाद, उन्हें इस विचार में लाना आवश्यक है कि तर्कसंगतता के दृष्टिकोण से सबसे अच्छा यह धारणा है कि खजांची के पास केवल उसी के सिक्के थे मूल्यवर्ग (उदाहरण के लिए, 50 कोप्पेक के सभी 50 सिक्के या 10k के सभी 50 सिक्के। प्रत्येक)। इसके कारण, अज्ञातों में से एक को बाहर कर दिया जाता है और उसके स्थान पर दूसरे अज्ञात को रख दिया जाता है।

7. अवशेष विधि

परीक्षण और अनुमान विधियों का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय इस पद्धति में सोच के साथ कुछ समानताएँ हैं। हम एक दिशा में गति से संबंधित समस्याओं को हल करते समय शेषफल की विधि का उपयोग करते हैं, अर्थात्, जब उस समय का पता लगाना आवश्यक होता है जिसके दौरान पहली वस्तु, जो अधिक गति से पीछे चल रही है, दूसरी वस्तु को पकड़ लेगी, जो कि है एक कम गति. 1 घंटे में, पहली वस्तु दूसरी वस्तु के पास इतनी दूरी पर पहुंचती है जो उनकी गति के अंतर के बराबर होती है, यानी कि दूसरी की गति की तुलना में उसकी गति के "शेष" के बराबर होती है। गति की शुरुआत में पहली वस्तु और दूसरी वस्तु के बीच की दूरी तय करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि "शेष" को इस दूरी में कितनी बार रखा गया है।

यदि हम कथानक से हटकर केवल समस्या की गणितीय संरचना पर विचार करते हैं, तो यह दो कारकों (दोनों वस्तुओं की गति की गति) या इन कारकों और दो उत्पादों के बीच अंतर (वे तय की गई दूरी) या उनके अंतर के बारे में बात करते हैं। अज्ञात कारक (समय) वही हैं और उन्हें ढूंढने की आवश्यकता है। गणितीय दृष्टिकोण से, अज्ञात कारक दर्शाता है कि उत्पादों के अंतर में ज्ञात कारकों का अंतर कितनी बार निहित है। इसलिए, जो समस्याएँ शेषफल की विधि का उपयोग करके हल की जाती हैं, उन्हें दो अंतरों द्वारा संख्याएँ ज्ञात करने की समस्याएँ कहा जाता है।

काम। छात्रों ने छुट्टियों की तस्वीरें एक एल्बम में चिपकाने का निर्णय लिया। यदि वे प्रत्येक पृष्ठ पर 4 तस्वीरें चिपकाते हैं, तो एल्बम में 20 तस्वीरों के लिए पर्याप्त जगह नहीं होगी। यदि आप प्रत्येक पेज पर 6 फोटो चिपकाते हैं, तो 5 पेज खाली रहेंगे। छात्र एल्बम में कितनी तस्वीरें डालने जा रहे हैं?

कार्य का विश्लेषण

पहले और दूसरे ग्लूइंग विकल्पों के लिए फ़ोटो की संख्या समान रहती है। समस्या की स्थितियों के अनुसार, यह अज्ञात है, लेकिन इसे पाया जा सकता है यदि एक पृष्ठ पर रखे गए तस्वीरों की संख्या और एल्बम में पृष्ठों की संख्या ज्ञात हो।

एक पृष्ठ पर चिपकाए गए फ़ोटोग्राफ़ों की संख्या ज्ञात होती है (पहला गुणक)। एल्बम में पृष्ठों की संख्या अज्ञात है और अपरिवर्तित रहती है (दूसरा गुणक)। चूँकि यह ज्ञात है कि एल्बम के 5 पृष्ठ दूसरी बार भी खाली रहते हैं, आप पता लगा सकते हैं कि एल्बम में कितनी और तस्वीरें चिपकाई जा सकती हैं: 6 * 5 = 30 (फोटो)।

इसका मतलब यह है कि एक पृष्ठ पर फ़ोटो की संख्या 6 - 4 = 2 बढ़ाने से, चिपकाई गई फ़ोटो की संख्या 20 + 30 = 50 बढ़ जाती है।

चूँकि दूसरी बार उन्होंने प्रत्येक पृष्ठ पर दो और तस्वीरें चिपकाईं और कुल मिलाकर उन्होंने 50 और तस्वीरें चिपकाईं, हम एल्बम में पृष्ठों की संख्या ज्ञात करेंगे: 50: 2 = 25 (पृष्ठ)।

इसलिए, कुल मिलाकर 4*25 + 20 = 120 (फोटो) थे।

उत्तर: एल्बम में 25 पेज और 120 तस्वीरें थीं।

दूसरा अध्याय। स्कूली बच्चों को पाठ्य अंकगणितीय समस्याओं को हल करने की तकनीक सिखाना

स्कूली पाठ्यक्रम के प्रत्येक विषय का अध्ययन करते समय, मैं शब्द समस्याओं को व्यवस्थित रूप से हल करने की विधियाँ सिखाता हूँ।

2.1 संयुक्त गति से जुड़ी समस्याओं का समाधान

5वीं कक्षा से शुरू करके, छात्रों को अक्सर इन समस्याओं का सामना करना पड़ता है। प्राथमिक विद्यालय में भी, छात्रों को "कुल गति" की अवधारणा दी जाती है, परिणामस्वरूप, वे दृष्टिकोण की गति और निष्कासन की गति के बारे में पूरी तरह से सही विचार नहीं बनाते हैं (यह शब्दावली अक्सर प्राथमिक विद्यालय में मौजूद नहीं होती है)। किसी समस्या को हल करते समय, छात्र योग ज्ञात करते हैं। इन समस्याओं को इन अवधारणाओं को प्रस्तुत करके हल करना शुरू करना सबसे अच्छा है: "दृष्टिकोण गति", "हटाने की गति"। स्पष्टता के लिए, आप हाथों की गति का उपयोग कर सकते हैं, यह समझाते हुए कि शरीर एक दिशा में या अलग-अलग दिशाओं में आगे बढ़ सकते हैं। दोनों मामलों में दृष्टिकोण की गति और हटाने की गति हो सकती है, लेकिन अलग-अलग मामलों में वे अलग-अलग पाए जाते हैं। इसके बाद, छात्र निम्नलिखित तालिका लिखते हैं:

तालिका नंबर एक।

पहुँचने की गति और हटाने की गति ज्ञात करने की विधियाँ

समस्या का विश्लेषण करते समय निम्नलिखित प्रश्न दिए जाते हैं:

1. हाथ की गति का उपयोग करके, हम यह पता लगाते हैं कि शरीर एक दूसरे के सापेक्ष कैसे चलते हैं (एक ही दिशा में, अलग-अलग दिशा में)।

2. पता करें कि गति कैसे ज्ञात की जाती है (जोड़, घटाव द्वारा)।

3. निर्धारित करें कि यह कौन सी गति है (दृष्टिकोण, दूरी)।

हम समस्या का समाधान लिखते हैं.

उदाहरण संख्या 1। शहरों ए और बी से, जिनके बीच की दूरी 600 किमी है, एक ट्रक और एक यात्री कार एक साथ एक दूसरे की ओर निकले। एक यात्री कार की गति 100 किमी/घंटा है, और एक मालवाहक कार की गति 50 किमी/घंटा है। वे कितने घंटे में मिलेंगे?

छात्र अपने हाथों से दिखाते हैं कि कारें कैसे चलती हैं और निम्नलिखित निष्कर्ष निकालते हैं:

एक। कारें अलग-अलग दिशाओं में चलती हैं;

बी। जोड़ने से गति ज्ञात होगी;

वी चूँकि वे एक दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं, यह दृष्टिकोण की गति है।

1. 100 + 50 = 150 (किमी/घंटा) - दृष्टिकोण गति।

2.600: 150 = 4 (एच) - बैठक तक आंदोलन का समय।

उत्तर: 4 घंटे में.

उदाहरण क्रमांक 2. एक आदमी और एक लड़का एक ही समय में घर से दचा के लिए निकले और एक ही सड़क पर चल रहे हैं। आदमी की गति 5 किमी/घंटा है, और लड़के की गति 3 किमी/घंटा है। 3 घंटे के बाद उनके बीच की दूरी क्या होगी?

हाथ की गतिविधियों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

एक। लड़का और आदमी एक ही दिशा में चल रहे हैं;

बी। अंतर से गति ज्ञात होती है;

वी आदमी तेजी से चलता है, यानी लड़के से दूर चला जाता है (हटाने की गति)।

1. 5 -- 3 = 2 (किमी/घंटा) - हटाने की गति।

2. 2*2 = 4 (किमी/घंटा) - 2 घंटे के बाद एक आदमी और एक लड़के के बीच की दूरी

उत्तर: 4 किमी.

2.2 तालिकाओं का उपयोग करके समस्याओं का समाधान किया गया

ऐसी समस्याओं को हल करने की तैयारी करते समय, आप सिग्नल मानचित्रों का सफलतापूर्वक उपयोग कर सकते हैं।

इन कार्डों का उपयोग करके मौखिक गिनती की जानी चाहिए, जो प्रत्येक छात्र के पास होनी चाहिए, जिससे पूरी कक्षा को काम में शामिल होने की अनुमति मिल सके।

उदाहरण क्रमांक 1. पहले लड़के के दूसरे से 5 अंक अधिक हैं। कैसे पता करें कि दूसरे के पास कितने स्टाम्प हैं?

छात्र कार्ड नंबर 1 उठाते हैं और समझाते हैं कि उन्हें पहले वाले की संख्या में 5 जोड़ने की जरूरत है, क्योंकि उसके पास 5 और हैं, "द्वारा ... और अधिक" स्वर पर जोर देते हुए।

उदाहरण संख्या 2. दूसरे लड़के के 30 अंक हैं, और पहले वाले के 3 गुना कम हैं। पहले लड़के के पास कितनी मोहरें हैं?

छात्रों को कार्ड नंबर 4 उठाना चाहिए और उत्तर देना चाहिए: 10 अंक, क्योंकि 30:3 = 10। मुख्य शब्द हैं "कम...में।"

मानसिक गणना के लिए समस्याओं का चयन विविध होना चाहिए, लेकिन हर बार छात्र को संदर्भ शब्दों का नामकरण करते हुए स्पष्टीकरण देना होगा। तालिका में सहायक शब्दों को रेखांकित करना बेहतर है।

उदाहरण संख्या 3. सवार ने 5 घंटे में 80 किमी की दूरी तय की। यदि एक साइकिल चालक की गति सवार की गति से 24 किमी/घंटा अधिक है तो वह इस यात्रा में कितना समय व्यतीत करेगा?

तालिका भरते समय, छात्र को सहायक शब्दों को रेखांकित करना होगा और समझाना होगा कि साइकिल चालक की गति 16 किमी/घंटा और 24 किमी/घंटा जोड़कर पाई जाती है। फिर, मात्राओं के बीच कार्यात्मक संबंध स्थापित करते हुए, छात्र तालिका की सभी पंक्तियों और स्तंभों को भरते हैं। इसके बाद, कार्य के आधार पर, छात्र या तो प्रश्न का उत्तर देता है या समाधान निकालता है। तालिका के साथ काम करते समय, छात्र को यह समझना चाहिए कि किसी समस्या को हल करते समय, सभी पंक्तियों और स्तंभों को समस्या के डेटा से भरा जाना चाहिए, और वह डेटा जो मात्राओं के बीच कार्यात्मक संबंध का उपयोग करने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है।

2.3 किसी संख्या का भाग और किसी संख्या को भाग से ज्ञात करने की समस्या का समाधान

इन समस्याओं को हल करने की तैयारी के लिए, भिन्न की अवधारणा में महारत हासिल करने के लिए काम किया जा रहा है। मौखिक गणना करते समय, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि प्रत्येक छात्र जानता हो: a. भिन्न पट्टी किस क्रिया को दर्शाती है?

बी। भिन्न का क्या अर्थ है?

भिन्न पट्टी विभाजन की क्रिया को दर्शाती है, और भिन्न 3/4 दर्शाता है कि दिए गए को 4 बराबर भागों में विभाजित किया गया था और 3 भाग लिए गए थे। इसके लिए उन लिफाफों का उपयोग करना अच्छा है जिन्हें सभी छात्र अपने माता-पिता की मदद से तैयार करते हैं। लिफाफे में वृत्त होते हैं: पूरे, आधे में कटे हुए, 3 बराबर भागों में, 4 में; 6; 8 भाग. एक वृत्त के प्रत्येक लोब का रंग एक जैसा होता है। इस सामग्री का उपयोग करके, छात्र स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि भिन्न कैसे बनते हैं।

उदाहरण के लिए। भिन्न 5/6 का प्रतिनिधित्व करने वाला एक चित्र बनाएं। शेयरों के रंगों को जानकर, शिक्षक छात्रों द्वारा की गई गलतियों को देखता है और कार्य का विश्लेषण करता है। उत्तर देते समय छात्र कहता है कि वृत्त को 6 बराबर भागों में विभाजित किया गया था और ऐसे 5 भाग लिए गए थे।

ऐसे लिफाफों की उपस्थिति से समान हर वाले भिन्नों के योग और एक इकाई से भिन्न के घटाव की कल्पना करना संभव हो जाता है। चूँकि सभी छात्र कार्य में शामिल हैं और जोड़ स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है, दो उदाहरणों के बाद छात्र स्वयं समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने का नियम बनाते हैं।

आइए घटाव पर नजर डालें। 1 में से 1/4 घटायें. छात्र मेज पर एक वृत्त रखते हैं, लेकिन ध्यान दें कि अभी तक इसमें से कुछ भी हटाया नहीं जा सकता है। फिर वे वृत्त को 4 बराबर भागों में काटने और एक को हटाने का सुझाव देते हैं। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 1 को भिन्न 4/4 से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। 2-3 उदाहरणों के बाद, छात्र अपने निष्कर्ष निकालते हैं।

इस सामग्री का उपयोग करके, भिन्न के मूल गुण की अवधारणा दी जाती है, जब वे भिन्न 1/3 पर 2/6 आरोपित करते हैं, आदि। इस सामग्री पर काम करने के बाद, हम समस्याओं को हल करना शुरू करते हैं।

उदाहरण क्रमांक 1. बगीचे में 120 पेड़ हैं। बिर्च सभी पेड़ों का 2/3 हिस्सा बनाते हैं, और बाकी देवदार के पेड़ हैं। वहाँ कितने देवदार के पेड़ थे?

प्रश्न: भिन्न 2/3 का क्या अर्थ है?

उत्तर: पेड़ों की पूरी संख्या को 3 बराबर भागों में विभाजित किया गया था और बर्च से 2 भाग बनते हैं।

40*2 = 80 (गाँव) - बिर्च थे।

120 -- 80 = 40 (गाँव) - वहाँ देवदार के पेड़ थे।

विधि II:

120: 3 = 40 (पेड़) - एक भाग बनाते हैं।

3 -- 2 = 1 (भाग) - देवदार के पेड़ बनाते हैं।

40*1 = 40 (पेड़) - देवदार के पेड़ बनाते हैं।

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