विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "आर्कसाइन। आर्कसाइन की तालिका। सूत्र y=आर्क्सिन(x)"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. आर्क्साइन क्या है?
2. आर्कसाइन संकेतन।
3. थोड़ा इतिहास.
4. परिभाषा.

6. उदाहरण.

आर्कसाइन क्या है?

दोस्तों, हम पहले ही सीख चुके हैं कि कोसाइन के समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, आइए अब सीखते हैं कि साइन के समान समीकरणों को कैसे हल करें। पाप(x)= √3/2 पर विचार करें। इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको एक सीधी रेखा y= √3/2 बनानी होगी और देखना होगा कि यह संख्या वृत्त को किन बिंदुओं पर काटती है। यह देखा जा सकता है कि सीधी रेखा वृत्त को दो बिंदुओं F और G पर काटती है। ये बिंदु हमारे समीकरण का समाधान होंगे। आइए F को x1 और G को x2 के रूप में पुनः नामित करें। हमने पहले ही इस समीकरण का हल ढूंढ लिया है और प्राप्त किया है: x1= π/3 + 2πk,
और x2= 2π/3 + 2πk.

इस समीकरण को हल करना काफी सरल है, लेकिन उदाहरण के लिए, समीकरण को कैसे हल करें
पाप(x)= 5/6. जाहिर है, इस समीकरण की भी दो जड़ें होंगी, लेकिन संख्या वृत्त पर समाधान के अनुरूप कौन से मान होंगे? आइए हमारे समीकरण पाप(x)=5/6 पर करीब से नज़र डालें।
हमारे समीकरण का समाधान दो बिंदु होंगे: F= x1 + 2πk और G= x2 ​​​​+ 2πk,
जहां x1 चाप AF की लंबाई है, x2 चाप AG की लंबाई है।
ध्यान दें: x2= π - x1, क्योंकि एएफ= एसी - एफसी, लेकिन एफसी= एजी, एएफ= एसी - एजी= π - x1.
लेकिन ये बिंदु क्या हैं?

इसी तरह की स्थिति का सामना करते हुए, गणितज्ञ एक नया प्रतीक - आर्क्सिन (x) लेकर आए। आर्क्साइन के रूप में पढ़ें.

फिर हमारे समीकरण का हल इस प्रकार लिखा जाएगा: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6)।

और सामान्य रूप में समाधान: x= arcsin(5/6) + 2πk और x= π - arcsin(5/6) + 2πk।
आर्कसाइन कोण (चाप लंबाई एएफ, एजी) साइन है, जो 5/6 के बराबर है।

आर्क्साइन का एक छोटा सा इतिहास

हमारे प्रतीक की उत्पत्ति का इतिहास बिल्कुल आर्कोस के समान ही है। प्रतीक आर्क्सिन सबसे पहले गणितज्ञ शेर्फ़र और प्रसिद्ध फ्रांसीसी वैज्ञानिक जे.एल. के कार्यों में दिखाई देता है। लैग्रेंज. कुछ समय पहले, आर्क्साइन की अवधारणा पर डी. बर्नौली ने विचार किया था, हालाँकि उन्होंने इसे विभिन्न प्रतीकों के साथ लिखा था।

ये प्रतीक 18वीं शताब्दी के अंत में ही आम तौर पर स्वीकृत हो गए। उपसर्ग "आर्क" लैटिन "आर्कस" (धनुष, चाप) से आया है। यह अवधारणा के अर्थ के साथ काफी सुसंगत है: आर्कसिन एक्स एक कोण है (या कोई चाप कह सकता है) जिसकी साइन एक्स के बराबर है।

आर्क्साइन की परिभाषा

यदि |a|≤ 1, तो arcsin(a) खंड से एक संख्या है [- π/2; π/2], जिसकी ज्या a के बराबर है।



यदि |a|≤ 1, तो समीकरण पाप(x)= a का एक समाधान है: x= arcsin(a) + 2πk और
x= π - आर्क्सिन(ए) + 2πk


आइए फिर से लिखें:

x= π - आर्क्सिन(ए) + 2πk = -आर्क्सिन(ए) + π(1 + 2k).

दोस्तों, हमारे दो समाधानों को ध्यान से देखें। आप क्या सोचते हैं: क्या उन्हें सामान्य सूत्र का उपयोग करके लिखा जा सकता है? ध्यान दें कि यदि आर्कसाइन के सामने धन चिह्न है, तो π को सम संख्या 2πk से गुणा किया जाता है, और यदि ऋण चिह्न है, तो गुणक विषम 2k+1 है।
इसे ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण पाप(x)=a को हल करने के लिए सामान्य सूत्र लिखते हैं:

ऐसे तीन मामले हैं जिनमें समाधानों को सरल तरीके से लिखना पसंद किया जाता है:

पाप(x)=0, फिर x= πk,

पाप(x)=1, फिर x= π/2 + 2πk,

पाप(x)=-1, फिर x= -π/2 + 2πk.

किसी भी -1 ≤ a ≤ 1 के लिए समानता कायम है: arcsin(-a)=-arcsin(a)।




आइए कोसाइन मानों की तालिका को उल्टा लिखें और आर्कसाइन के लिए एक तालिका प्राप्त करें।

उदाहरण

1. गणना करें: आर्क्सिन(√3/2)।
समाधान: मान लीजिए कि arcsin(√3/2)= x, तो syn(x)= √3/2. परिभाषा के अनुसार:- π/2 ≤x≤ π/2. आइए तालिका में साइन मान देखें: x= π/3, क्योंकि पाप(π/3)= √3/2 और –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
उत्तर: आर्क्सिन(√3/2)= π/3.

2. गणना करें: आर्क्सिन(-1/2)।
समाधान: मान लीजिए आर्कसिन(-1/2)= x, तो पाप(x)= -1/2. परिभाषा के अनुसार:- π/2 ≤x≤ π/2. आइए तालिका में साइन मान देखें: x= -π/6, क्योंकि पाप(-π/6)= -1/2 और -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
उत्तर: आर्क्सिन(-1/2)=-π/6.

3. गणना करें: आर्क्सिन(0)।
समाधान: मान लीजिए कि arcsin(0)= x, तो syn(x)= 0. परिभाषा के अनुसार: - π/2 ≤x≤ π/2. आइए तालिका में साइन के मान देखें: इसका मतलब है x= 0, क्योंकि पाप(0)= 0 और - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. उत्तर: आर्क्सिन(0)=0.

4. समीकरण हल करें: पाप(x) = -√2/2.
x= आर्क्सिन(-√2/2) + 2πk और x= π - आर्क्सिन(-√2/2) + 2πk।
आइए तालिका में मान देखें: आर्क्सिन (-√2/2)= -π/4।
उत्तर: x= -π/4 + 2πk और x= 5π/4 + 2πk।

5. समीकरण हल करें: पाप(x) = 0.
समाधान: आइए परिभाषा का उपयोग करें, फिर समाधान इस रूप में लिखा जाएगा:
x= आर्क्सिन(0) + 2πk और x= π - आर्क्सिन(0) + 2πk। आइए तालिका में मान देखें: आर्क्सिन(0)= 0.
उत्तर: x= 2πk और x= π + 2πk

6. समीकरण हल करें: पाप(x) = 3/5.
समाधान: आइए परिभाषा का उपयोग करें, फिर समाधान इस रूप में लिखा जाएगा:
x= आर्क्सिन(3/5) + 2πk और x= π - आर्क्सिन(3/5) + 2πk।
उत्तर: x= (-1) n - आर्क्सिन(3/5) + πk।

7. असमानता पाप(x) को हल करें: ज्या संख्या वृत्त पर एक बिंदु की कोटि है। इसका मतलब है: हमें ऐसे बिंदु खोजने होंगे जिनकी कोटि 0.7 से कम हो। आइए एक सीधी रेखा y=0.7 खींचें। यह संख्या वृत्त को दो बिंदुओं पर काटता है। असमानता y तब असमानता का समाधान होगा: -π – आर्क्सिन(0.7) + 2πk

स्वतंत्र समाधान के लिए आर्क्साइन समस्याएं

1) गणना करें: ए) आर्क्सिन(√2/2), बी) आर्क्सिन(1/2), सी) आर्क्सिन(1), डी) आर्क्सिन(-0.8)।
2) समीकरण हल करें: ए) पाप(x) = 1/2, बी) पाप(x) = 1, सी) पाप(x) = √3/2, घ) पाप(x) = 0.25,
ई) पाप(x) = -1.2.
3) असमानता को हल करें: ए) पाप (x)> 0.6, बी) पाप (x)≤ 1/2।

आर्कटिक (y = आर्कटान एक्स) स्पर्श रेखा (x =) का व्युत्क्रम फलन है टीजी वाई
टीजी(आर्कटीजी एक्स) = एक्स
आर्कटान(टीजी एक्स) = एक्स

आर्कटेंजेंट को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.

आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्कटान एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है, तो स्पर्शरेखा ग्राफ़ से चाप स्पर्शरेखा ग्राफ़ प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों का सेट उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को चापस्पर्शज्या का मुख्य मान कहा जाता है।

आर्ककोटैंजेंट, आर्कसीटीजी

चाप स्पर्शरेखा (y = आर्कसीटीजी एक्स) कोटैंजेंट (x =) का व्युत्क्रम फलन है सीटीजी वाई). इसमें परिभाषा का एक क्षेत्र और अर्थों का एक समूह है।
सीटीजी(आर्कसीटीजी एक्स) = एक्स
आर्कसीटीजी(सीटीजी एक्स) = एक्स

आर्ककोटैंजेंट को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.

व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ़


फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्कसीटीजी एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है, तो चाप कोटैंजेंट ग्राफ को कोटैंजेंट ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों की सीमा उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को चाप कोटैंजेंट का मुख्य मान कहा जाता है।

समानता

आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन विषम है:
आर्कटैन(- x) = आर्कटीजी(-टीजी आर्कटीजी एक्स) = arctg(tg(-arctg x)) = - आर्कटान एक्स

व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फलन सम या विषम नहीं है:
arcctg(- x) = आर्कसीटीजी(-सीटीजी आर्कसीटीजी एक्स) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - आर्कक्टग x ≠ ± आर्कक्टग x.

गुण-अधिकता, वृद्धि, ह्रास

आर्कटेन्जेंट और आर्ककोटेंजेंट फ़ंक्शन उनकी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं, यानी सभी एक्स के लिए। (निरंतरता प्रमाण देखें)। आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

आप= आर्कटान एक्स आप= आर्कसीटीजी एक्स
दायरा और निरंतरता - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
अनेक अर्थ
आरोही अवरोही नीरस रूप से बढ़ता है नीरस रूप से घटता है
ऊँचाइयाँ, नीचाइयाँ नहीं नहीं
शून्य, y = 0 एक्स = 0 नहीं
कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0 आप= 0 y = π/ 2
- π
0

आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए, डिग्री और रेडियन में, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट के मान प्रस्तुत करती है।

एक्स आर्कटान एक्स आर्कसीटीजी एक्स
ओलों खुश। ओलों खुश।
- ∞ - 90° - 180° π
- - 60° - 150°
- 1 - 45° - 135°
- - 30° - 120°
0 0° 0 90°
30° 60°
1 45° 45°
60° 30°
+ ∞ 90° 0° 0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

सूत्रों

योग और अंतर सूत्र


पर

पर

पर


पर

पर

पर

लघुगणक, सम्मिश्र संख्याओं के माध्यम से व्यंजक

,
.

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

संजात


आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट डेरिवेटिव्स की व्युत्पत्ति देखें > > >

उच्च क्रम डेरिवेटिव:
होने देना । फिर आर्कटेंजेंट के nवें-क्रम व्युत्पन्न को निम्नलिखित तरीकों में से एक में दर्शाया जा सकता है:
;
.
प्रतीक का अर्थ निम्नलिखित अभिव्यक्ति का काल्पनिक भाग है।

आर्कटिक स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा के उच्च क्रम व्युत्पन्न की व्युत्पत्ति देखें > > >
पहले पांच ऑर्डरों के डेरिवेटिव के सूत्र भी वहां दिए गए हैं।

इसी प्रकार चाप स्पर्शरेखा के लिए। होने देना । तब
;
.

अभिन्न

हम प्रतिस्थापन x = करते हैं टीजी टीऔर भागों द्वारा एकीकृत करें:
;
;
;

आइए चाप स्पर्शरेखा को चाप स्पर्शरेखा के माध्यम से व्यक्त करें:
.

शक्ति शृंखला विस्तार

कब |x| ≤ 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:
;
.

उलटा कार्य

आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट के व्युत्क्रम क्रमशः स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट हैं।

निम्नलिखित सूत्र परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में मान्य हैं:
टीजी(आर्कटीजी एक्स) = एक्स
सीटीजी(आर्कसीटीजी एक्स) = एक्स .

निम्नलिखित सूत्र केवल आर्कटेन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट मानों के सेट पर मान्य हैं:
आर्कटान(टीजी एक्स) = एक्सपर
आर्कसीटीजी(सीटीजी एक्स) = एक्सपर ।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

इससे पहले कार्यक्रम में, छात्रों ने त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का विचार प्राप्त किया, आर्क कोसाइन और आर्क साइन की अवधारणाओं से परिचित हुए, और समीकरणों कॉस टी = ए और पाप टी = ए के समाधान के उदाहरणों से परिचित हुए। इस वीडियो ट्यूटोरियल में हम समीकरण tg x = a और ctg x = a को हल करने पर ध्यान देंगे।

इस विषय का अध्ययन शुरू करने के लिए, समीकरण tg x = 3 और tg x = - 3 पर विचार करें। यदि हम एक ग्राफ का उपयोग करके समीकरण tg x = 3 को हल करते हैं, तो हम देखेंगे कि फ़ंक्शन y = tg x और के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन y = 3 में अनंत संख्या में समाधान हैं, जहां x = x 1 + πk। मान x 1 फ़ंक्शन y = tan x और y = 3 के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का x निर्देशांक है। लेखक आर्कटैंजेंट की अवधारणा का परिचय देता है: आर्कटैन 3 एक संख्या है जिसका tan 3 के बराबर है, और यह संख्या -π/2 से π/2 तक के अंतराल से संबंधित है। आर्कटैन्जेंट की अवधारणा का उपयोग करते हुए, समीकरण tan x = 3 का समाधान x = arctan 3 + πk के रूप में लिखा जा सकता है।

सादृश्य द्वारा, समीकरण tg x = - 3 को हल किया जाता है। फ़ंक्शन y = tg x और y = - 3 के निर्मित ग्राफ़ से, यह स्पष्ट है कि ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु, और इसलिए समीकरणों के समाधान होंगे। x = x 2 + πk हो। आर्कटैन्जेंट का उपयोग करके, समाधान को x = आर्कटैन (- 3) + πk के रूप में लिखा जा सकता है। अगले चित्र में हम देखते हैं कि आर्कटग (- 3) = - आर्कटग 3।

आर्कटेंजेंट की सामान्य परिभाषा इस प्रकार है: आर्कटेंजेंट ए -π/2 से π/2 के अंतराल की एक संख्या है जिसका स्पर्शरेखा ए के बराबर है। तब समीकरण tan x = a का हल x = arctan a + πk है।

लेखक उदाहरण 1 देता है। अभिव्यक्ति आर्कटैन का समाधान ढूंढें आइए नोटेशन का परिचय दें: किसी संख्या का आर्कटेन्जेंट x के बराबर है, तो tg x दिए गए नंबर के बराबर होगा, जहां x -π से सेगमेंट से संबंधित है। /2 से π/2. पिछले विषयों के उदाहरणों की तरह, हम मूल्यों की एक तालिका का उपयोग करेंगे। इस तालिका के अनुसार, इस संख्या का स्पर्शरेखा मान x = π/3 से मेल खाता है। आइए हम समीकरण का हल लिखें: किसी दी गई संख्या का चाप स्पर्शरेखा π/3 के बराबर है, π/3 भी -π/2 से π/2 के अंतराल से संबंधित है।

उदाहरण 2 - एक ऋणात्मक संख्या की चापस्पर्शरेखा की गणना करें। समानता arctg (- a) = - arctg a का उपयोग करके, हम x का मान दर्ज करते हैं। उदाहरण 2 के समान, हम x का मान लिखते हैं, जो -π/2 से π/2 तक के खंड से संबंधित है। मानों की तालिका से हम पाते हैं कि x = π/3, इसलिए, -- tg x = - π/3। समीकरण का उत्तर है - π/3.

आइए उदाहरण 3 पर विचार करें। समीकरण tg x = 1 को हल करें। लिखें कि x = arctan 1 + πk। तालिका में, मान tg 1, मान x = π/4 से मेल खाता है, इसलिए, arctg 1 = π/4। आइए इस मान को मूल सूत्र x में प्रतिस्थापित करें और उत्तर x = π/4 + πk लिखें।

उदाहरण 4: tan x = - 4.1 की गणना करें। इस स्थिति में x = आर्कटैन (- 4.1) + πk। क्योंकि इस मामले में आर्कटग का मान ज्ञात करना संभव नहीं है; उत्तर x = आर्कटग (- 4.1) + πk जैसा दिखेगा।

उदाहरण 5 में, असमानता tg x > 1 के समाधान पर विचार किया गया है। इसे हल करने के लिए, हम फ़ंक्शन y = tan x और y = 1 के ग्राफ़ बनाते हैं। जैसा कि चित्र में देखा जा सकता है, ये ग्राफ़ बिंदु x = पर प्रतिच्छेद करते हैं। π/4 + πk. क्योंकि इस मामले में tg x > 1, ग्राफ़ पर हम स्पर्शरेखा क्षेत्र को हाइलाइट करते हैं, जो ग्राफ़ y = 1 के ऊपर स्थित है, जहां x π/4 से π/2 तक के अंतराल से संबंधित है। हम उत्तर को π/4 + πk के रूप में लिखते हैं< x < π/2 + πk.

इसके बाद, समीकरण cot x = a पर विचार करें। चित्र फ़ंक्शन y = cot x, y = a, y = - a के ग्राफ़ दिखाता है, जिसमें कई प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। समाधानों को x = x 1 + πk के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x 1 = arcctg a और x = x 2 + πk, जहाँ x 2 = arcctg (- a)। यह नोट किया गया है कि x 2 = π - x 1. इसका तात्पर्य समानता arcctg (- a) = π - arcctg a से है। आर्क कोटैंजेंट की परिभाषा निम्नलिखित है: आर्क कोटैंजेंट ए 0 से π के अंतराल की एक संख्या है जिसका कोटैंजेंट ए के बराबर है। समीकरण сtg x = a का हल इस प्रकार लिखा गया है: x = arcctg a + πk।

वीडियो पाठ के अंत में, एक और महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला गया है - अभिव्यक्ति ctg x = a को tg x = 1/a के रूप में लिखा जा सकता है, बशर्ते कि a शून्य के बराबर न हो।

पाठ डिकोडिंग:

आइए समीकरण tg x = 3 और tg x = - 3 को हल करने पर विचार करें। पहले समीकरण को आलेखीय रूप से हल करने पर, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन y = tg x और y = 3 के ग्राफ़ में अनंत रूप से कई प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, जिनमें से भुज हम लिखते हैं प्रपत्र में

x = x 1 + πk, जहां x 1 स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y = 3 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है (चित्र 1), जिसके लिए पदनाम का आविष्कार किया गया था

आर्कटान 3 (तीन की चाप स्पर्शरेखा)।

आर्कटग 3 को कैसे समझें?

यह एक संख्या है जिसकी स्पर्शरेखा 3 है और यह संख्या अंतराल (- ;) से संबंधित है। फिर समीकरण tg x = 3 के सभी मूल सूत्र x = arctan 3+πk द्वारा लिखे जा सकते हैं।

इसी प्रकार, समीकरण tg x = - 3 का समाधान x = x 2 + πk के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x 2, सीधी रेखा y = - 3 की मुख्य शाखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है। स्पर्शरेखा (चित्र 1), जिसके लिए पदनाम arctg(- 3) (चाप स्पर्शरेखा शून्य से तीन)। फिर समीकरण के सभी मूल सूत्र द्वारा लिखे जा सकते हैं: x = arctan(-3)+ πk. चित्र से पता चलता है कि arctg(- 3)= - arctg 3.

आइए हम आर्कटेंजेंट की परिभाषा तैयार करें। चापस्पर्शरेखा a अंतराल (-;) से एक संख्या है जिसकी स्पर्शरेखा a के बराबर है।

समानता का अक्सर उपयोग किया जाता है: arctg(-a) = -arctg a, जो किसी भी a के लिए मान्य है।

आर्कटैन्जेंट की परिभाषा जानने के बाद, हम समीकरण के समाधान के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकाल सकते हैं

tg x= a: समीकरण tg x = a का हल x = arctan a + πk है।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1. आर्कटान की गणना करें।

समाधान। माना arctg = x, फिर tgх = और xϵ (- ;)। मानों की तालिका दिखाएँ इसलिए, x =, चूँकि tg = और ϵ (- ;)।

तो, आर्कटान =।

उदाहरण 2. आर्कटैन (-) की गणना करें।

समाधान। समानता arctg(- a) = - arctg a का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

आर्कटीजी(-) = - आर्कटीजी। मान लीजिए - arctg = x, फिर - tgх = और xϵ (- ;)। इसलिए, x =, चूँकि tg = और ϵ (- ;)। मानों की तालिका दिखाएँ

इसका मतलब है - arctg=- tgх= - .

उदाहरण 3. समीकरण tgх = 1 को हल करें।

1. समाधान सूत्र लिखें: x = आर्कटान 1 + πk।

2. चापस्पर्शज्या का मान ज्ञात कीजिए

चूँकि tg = . मानों की तालिका दिखाएँ

तो arctan1= .

3. पाए गए मान को समाधान सूत्र में डालें:

उदाहरण 4. समीकरण tgх = - 4.1 को हल करें (स्पर्शरेखा x शून्य से चार बिंदु एक के बराबर है)।

समाधान। आइए समाधान सूत्र लिखें: x = आर्कटान (- 4.1) + πk।

हम चापस्पर्शज्या के मान की गणना नहीं कर सकते, इसलिए हम समीकरण के समाधान को उसके प्राप्त रूप में ही छोड़ देंगे।

उदाहरण 5. असमानता tgх 1 को हल करें।

समाधान। हम इसे ग्राफ़िक तरीके से हल करेंगे.

  1. आइए एक स्पर्श रेखा बनाएं

y = tgх और सीधी रेखा y = 1 (चित्र 2)। वे x = + πk जैसे बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

2. आइए हम x-अक्ष के अंतराल का चयन करें जिसमें स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा सीधी रेखा y = 1 के ऊपर स्थित है, क्योंकि शर्त tgх 1 के अनुसार। यह अंतराल (;) है।

3. हम फ़ंक्शन की आवधिकता का उपयोग करते हैं।

संपत्ति 2. y=tg x मुख्य अवधि π के साथ एक आवधिक कार्य है।

फ़ंक्शन y = tgх की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए, हम उत्तर लिखते हैं:

(;). उत्तर को दोहरी असमानता के रूप में लिखा जा सकता है:

आइए समीकरण ctg x = a पर चलते हैं। आइए हम सकारात्मक और नकारात्मक ए के समीकरण के समाधान का एक चित्रमय चित्रण प्रस्तुत करें (चित्र 3)।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ y = ctg x और y = a और भी

y=ctg x और y=-a

इसमें अपरिमित रूप से कई सामान्य बिंदु हैं, जिनके भुज इस प्रकार दिखते हैं:

x = x 1 +, जहां x 1 स्पर्श रेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y = a के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है और

x 1 = आर्कसीटीजी ए;

x = x 2 +, जहां x 2 रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है

y = - a स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ और x 2 = arcсtg (- a)।

ध्यान दें कि x 2 = π - x 1. तो, आइए एक महत्वपूर्ण समानता लिखें:

आर्कसीटीजी (-ए) = π - आर्कसीटीजी ए।

आइए परिभाषा तैयार करें: चाप कोटैंजेंट ए अंतराल (0;π) से एक संख्या है जिसका कोटैंजेंट ए के बराबर है।

समीकरण ctg x = a का हल इस रूप में लिखा गया है: x = arcctg a +।

कृपया ध्यान दें कि समीकरण ctg x = a को रूप में बदला जा सकता है

tg x =, सिवाय इसके कि जब a = 0 हो।

आर्कसाइन (y = आर्कसिन एक्स) sine (x =) का व्युत्क्रम फलन है पापी -1 ≤ एक्स ≤ 1और मानों का समुच्चय -π /2 ≤ य ≤ π/2.
पाप(आर्क्सिन एक्स) = एक्स
आर्क्सिन(पाप x) = x

आर्क्साइन को कभी-कभी इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.

आर्क्साइन फ़ंक्शन का ग्राफ़

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्कसिन एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है, तो साइन ग्राफ़ से आर्कसाइन ग्राफ़ प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों की सीमा उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को आर्क्साइन का प्रमुख मान कहा जाता है।

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

आर्क कोसाइन (y = आर्ककोस एक्स) कोज्या (x =) का व्युत्क्रम फलन है आरामदायक). इसका एक दायरा है -1 ≤ एक्स ≤ 1और कई अर्थ 0 ≤ य ≤ π.
cos(arccos x) = x
आर्ककोस(cos x) = x

आर्ककोसाइन को कभी-कभी इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.

आर्क कोसाइन फ़ंक्शन का ग्राफ़


फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्ककोस एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है तो चाप कोज्या ग्राफ कोज्या ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों की सीमा उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को चाप कोज्या का प्रमुख मान कहा जाता है।

समानता

आर्क्साइन फ़ंक्शन विषम है:
आर्क्सिन(- x) = आर्क्सिन(-sin आर्क्सिन x) = आर्क्सिन(पाप(-आर्क्सिन x)) = - आर्क्सिन एक्स

चाप कोज्या फलन सम या विषम नहीं है:
आर्ककोस(- x) = आर्ककोस(-कॉस आर्ककोस x) = आर्ककोस(cos(π-arccos x)) = π - आर्ककोस x ≠ ± आर्ककोस x

गुण-अधिकता, वृद्धि, ह्रास

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

आप= आर्कसिन एक्स आप= आर्ककोस एक्स
दायरा और निरंतरता - 1 ≤ एक्स ≤ 1 - 1 ≤ एक्स ≤ 1
मूल्यों की श्रृंखला
आरोही अवरोही नीरस रूप से बढ़ता है नीरस रूप से घटता है
उतार
न्यूनतम
शून्य, y = 0 एक्स = 0 एक्स = 1
कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0 आप= 0 y = π/ 2

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए, डिग्री और रेडियन में आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के मान प्रस्तुत करती है।

एक्स आर्कसिन एक्स आर्ककोस एक्स
ओलों खुश। ओलों खुश।
- 1 - 90° - 180° π
- - 60° - 150°
- - 45° - 135°
- - 30° - 120°
0 0° 0 90°
30° 60°
45° 45°
60° 30°
1 90° 0° 0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

सूत्रों

योग और अंतर सूत्र


पर या

पर और

पर और


पर या

पर और

पर और


पर

पर


पर

पर

लघुगणक, सम्मिश्र संख्याओं के माध्यम से व्यंजक

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

संजात

;
.
आर्क्साइन और आर्ककोसाइन डेरिवेटिव्स की व्युत्पत्ति देखें > > >

उच्च क्रम डेरिवेटिव:
,
घात का बहुपद कहाँ है? यह सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
;
.

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के उच्च क्रम व्युत्पन्नों की व्युत्पत्ति देखें > > >

अभिन्न

हम प्रतिस्थापन x = करते हैं सिंट. हम इसे ध्यान में रखते हुए भागों द्वारा एकीकृत करते हैं -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, क्योंकि टी ≥ 0:
.

आइए आर्क कोसाइन को आर्क साइन के माध्यम से व्यक्त करें:
.

शृंखला विस्तार

कब |x|< 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:
;
.

उलटा कार्य

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के व्युत्क्रम क्रमशः साइन और कोसाइन हैं।

निम्नलिखित सूत्र परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में मान्य हैं:
पाप(आर्क्सिन एक्स) = एक्स
cos(arccos x) = x .

निम्नलिखित सूत्र केवल आर्कसाइन और आर्ककोसाइन मानों के सेट पर मान्य हैं:
आर्क्सिन(पाप x) = xपर
आर्ककोस(cos x) = xपर ।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।


यह आलेख निम्न से संबंधित है आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट का मान ज्ञात करनादिया गया नंबर. सबसे पहले हम स्पष्ट करेंगे कि आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट का अर्थ क्या कहा जाता है। इसके बाद, हम इन आर्क फ़ंक्शंस के मुख्य मान प्राप्त करेंगे, जिसके बाद हम समझेंगे कि साइन, कोसाइन, टैंगेंट और ब्रैडिस की तालिकाओं का उपयोग करके आर्क साइन, आर्क कोसाइन, आर्क टैंगेंट और आर्क कोटैंजेंट के मान कैसे पाए जाते हैं। कोटैंजेंट अंत में, आइए किसी संख्या की आर्कसाइन ज्ञात करने के बारे में बात करते हैं जब इस संख्या की आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट या आर्ककोटेंजेंट आदि ज्ञात हो।

पेज नेविगेशन.

आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट का मान

सबसे पहले, यह पता लगाना ज़रूरी है कि वास्तव में "यह" क्या है। आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट का अर्थ».

साइन और कोसाइन की ब्रैडिस तालिकाएँ, साथ ही स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट, आपको एक मिनट की सटीकता के साथ डिग्री में एक सकारात्मक संख्या के आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट का मान खोजने की अनुमति देती हैं। यहां यह उल्लेख करने योग्य है कि ऋणात्मक संख्याओं के आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट के मानों को खोजने के लिए सूत्र आर्क्सिन, आर्ककोस, आर्कटग और की ओर मुड़कर सकारात्मक संख्याओं के संबंधित आर्कफंक्शन के मूल्यों को खोजने के लिए कम किया जा सकता है। arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a और arcctg(−a)=π−arcctg a के रूप की विपरीत संख्याओं का arcctg।

आइए जानें कि ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करके आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट के मान कैसे ज्ञात करें। हम इसे उदाहरणों के साथ करेंगे।

आइए हमें आर्क्साइन मान 0.2857 ज्ञात करने की आवश्यकता है। हम यह मान साइन की तालिका में पाते हैं (ऐसे मामले जब यह मान तालिका में नहीं है, तो नीचे चर्चा की जाएगी)। यह साइन 16 डिग्री 36 मिनट के अनुरूप है। अत: संख्या 0.2857 की आर्कसाइन का वांछित मान 16 डिग्री 36 मिनट का कोण है।

अक्सर तालिका के दाईं ओर तीन स्तंभों से सुधारों को ध्यान में रखना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें 0.2863 की आर्कसाइन ज्ञात करनी है। साइन की तालिका के अनुसार, यह मान 0.2857 प्लस 0.0006 के सुधार के रूप में प्राप्त होता है, अर्थात 0.2863 का मान 16 डिग्री 38 मिनट (16 डिग्री 36 मिनट प्लस 2 मिनट का सुधार) की साइन से मेल खाता है।

यदि वह संख्या जिसकी आर्कसाइन में हमारी रुचि है वह तालिका में नहीं है और उसे सुधारों को ध्यान में रखते हुए भी प्राप्त नहीं किया जा सकता है, तो तालिका में हमें उसके निकटतम साइन के दो मान खोजने होंगे, जिनके बीच यह संख्या संलग्न है। उदाहरण के लिए, हम 0.2861573 के आर्क्साइन मान की तलाश कर रहे हैं। यह संख्या तालिका में नहीं है, और यह संख्या संशोधनों का उपयोग करके भी प्राप्त नहीं की जा सकती है। फिर हमें दो निकटतम मान 0.2860 और 0.2863 मिलते हैं, जिनके बीच मूल संख्या संलग्न है, ये संख्याएँ 16 डिग्री 37 मिनट और 16 डिग्री 38 मिनट की ज्या के अनुरूप हैं; 0.2861573 का वांछित आर्क्साइन मान उनके बीच स्थित है, अर्थात, इनमें से किसी भी कोण मान को 1 मिनट की सटीकता के साथ अनुमानित आर्क्साइन मान के रूप में लिया जा सकता है।

चाप कोज्या मान, चाप स्पर्शरेखा मान और चाप कोटैंजेंट मान बिल्कुल उसी तरह से पाए जाते हैं (इस मामले में, निश्चित रूप से, क्रमशः कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिकाओं का उपयोग किया जाता है)।

आर्ककोस, आर्कटीजी, आर्कसीटीजी, आदि का उपयोग करके आर्क्सिन का मान ज्ञात करना।

उदाहरण के लिए, आइए जानते हैं कि arcsin a=−π/12, और हमें arccos a का मान ज्ञात करना होगा। हम आवश्यक चाप कोज्या मान की गणना करते हैं: आर्ककोस a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

स्थिति तब और अधिक दिलचस्प हो जाती है, जब किसी संख्या a के आर्कटेंजेंट या आर्ककोसाइन के ज्ञात मान का उपयोग करके, आपको इस नंबर a के आर्कटेंजेंट या आर्ककोटेंजेंट का मान ज्ञात करना होता है या इसके विपरीत। दुर्भाग्य से, हम ऐसे सूत्रों को नहीं जानते हैं जो ऐसे कनेक्शन को परिभाषित करते हैं। हो कैसे? आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं.

आइए जानते हैं कि किसी संख्या a की आर्ककोसाइन π/10 के बराबर है, और हमें इस संख्या a की आर्कटेंजेंट की गणना करने की आवश्यकता है। आप समस्या को इस प्रकार हल कर सकते हैं: चाप कोज्या के ज्ञात मान का उपयोग करके, संख्या a ज्ञात करें, और फिर इस संख्या की चाप स्पर्शरेखा ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हमें पहले कोसाइन की एक तालिका की आवश्यकता है, और फिर स्पर्शरेखा की एक तालिका की।

कोण π/10 रेडियन 18 डिग्री का कोण है; कोसाइन तालिका से हम पाते हैं कि 18 डिग्री की कोसाइन लगभग 0.9511 के बराबर है, तो हमारे उदाहरण में संख्या a 0.9511 है।

यह स्पर्शरेखाओं की तालिका की ओर मुड़ना बाकी है, और इसकी सहायता से हमें 0.9511 की आवश्यकता वाले आर्कटेंजेंट मान को ढूंढें, यह लगभग 43 डिग्री 34 मिनट के बराबर है।

यह विषय लेख की सामग्री द्वारा तार्किक रूप से जारी है। आर्क्सिन, आर्ककोस, आर्कटीजी और आर्कसीटीजी युक्त अभिव्यक्तियों के मूल्यों का मूल्यांकन करना.

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