इससे पहले कार्यक्रम में, छात्रों ने त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का विचार प्राप्त किया, आर्क कोसाइन और आर्क साइन की अवधारणाओं से परिचित हुए, और समीकरणों कॉस टी = ए और पाप टी = ए के समाधान के उदाहरणों से परिचित हुए। इस वीडियो ट्यूटोरियल में हम समीकरण tg x = a और ctg x = a को हल करने पर ध्यान देंगे।

इस विषय का अध्ययन शुरू करने के लिए, समीकरण tg x = 3 और tg x = - 3 पर विचार करें। यदि हम एक ग्राफ का उपयोग करके समीकरण tg x = 3 को हल करते हैं, तो हम देखेंगे कि फ़ंक्शन y = tg x और के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन y = 3 में अनंत संख्या में समाधान हैं, जहां x = x 1 + πk। मान x 1 फ़ंक्शन y = tan x और y = 3 के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का x निर्देशांक है। लेखक आर्कटैंजेंट की अवधारणा का परिचय देता है: आर्कटैन 3 एक संख्या है जिसका tan 3 के बराबर है, और यह संख्या -π/2 से π/2 तक के अंतराल से संबंधित है। आर्कटैन्जेंट की अवधारणा का उपयोग करते हुए, समीकरण tan x = 3 का समाधान x = arctan 3 + πk के रूप में लिखा जा सकता है।

सादृश्य द्वारा, समीकरण tg x = - 3 को हल किया जाता है। फ़ंक्शन y = tg x और y = - 3 के निर्मित ग्राफ़ से, यह स्पष्ट है कि ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु, और इसलिए समीकरणों के समाधान होंगे। x = x 2 + πk हो। आर्कटैन्जेंट का उपयोग करके, समाधान को x = आर्कटैन (- 3) + πk के रूप में लिखा जा सकता है। अगले चित्र में हम देखते हैं कि आर्कटग (- 3) = - आर्कटग 3।

आर्कटेंजेंट की सामान्य परिभाषा इस प्रकार है: आर्कटेंजेंट ए -π/2 से π/2 के अंतराल की एक संख्या है जिसका स्पर्शरेखा ए के बराबर है। तब समीकरण tan x = a का हल x = arctan a + πk है।

लेखक उदाहरण 1 देता है। अभिव्यक्ति आर्कटैन का समाधान ढूंढें आइए नोटेशन का परिचय दें: किसी संख्या का आर्कटेन्जेंट x के बराबर है, तो tg x दिए गए नंबर के बराबर होगा, जहां x -π से सेगमेंट से संबंधित है। /2 से π/2. पिछले विषयों के उदाहरणों की तरह, हम मूल्यों की एक तालिका का उपयोग करेंगे। इस तालिका के अनुसार, इस संख्या का स्पर्शरेखा मान x = π/3 से मेल खाता है। आइए हम समीकरण का हल लिखें: किसी दी गई संख्या का चाप स्पर्शरेखा π/3 के बराबर है, π/3 भी -π/2 से π/2 के अंतराल से संबंधित है।

उदाहरण 2 - एक ऋणात्मक संख्या की चापस्पर्शरेखा की गणना करें। समानता arctg (- a) = - arctg a का उपयोग करके, हम x का मान दर्ज करते हैं। उदाहरण 2 के समान, हम x का मान लिखते हैं, जो -π/2 से π/2 तक के खंड से संबंधित है। मानों की तालिका से हम पाते हैं कि x = π/3, इसलिए, -- tg x = - π/3। समीकरण का उत्तर है - π/3.

आइए उदाहरण 3 पर विचार करें। समीकरण tg x = 1 को हल करें। लिखें कि x = arctan 1 + πk। तालिका में, मान tg 1, मान x = π/4 से मेल खाता है, इसलिए, arctg 1 = π/4। आइए इस मान को मूल सूत्र x में प्रतिस्थापित करें और उत्तर x = π/4 + πk लिखें।

उदाहरण 4: tan x = - 4.1 की गणना करें। इस स्थिति में x = आर्कटैन (- 4.1) + πk। क्योंकि इस मामले में आर्कटग का मान ज्ञात करना संभव नहीं है; उत्तर x = आर्कटग (- 4.1) + πk जैसा दिखेगा।

उदाहरण 5 में, असमानता tg x > 1 के समाधान पर विचार किया गया है। इसे हल करने के लिए, हम फ़ंक्शन y = tan x और y = 1 के ग्राफ़ बनाते हैं। जैसा कि चित्र में देखा जा सकता है, ये ग्राफ़ बिंदु x = पर प्रतिच्छेद करते हैं। π/4 + πk. क्योंकि इस मामले में tg x > 1, ग्राफ़ पर हम स्पर्शरेखा क्षेत्र को हाइलाइट करते हैं, जो ग्राफ़ y = 1 के ऊपर स्थित है, जहां x π/4 से π/2 तक के अंतराल से संबंधित है। हम उत्तर को π/4 + πk के रूप में लिखते हैं< x < π/2 + πk.

इसके बाद, समीकरण cot x = a पर विचार करें। चित्र फ़ंक्शन y = cot x, y = a, y = - a के ग्राफ़ दिखाता है, जिसमें कई प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। समाधानों को x = x 1 + πk के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x 1 = arcctg a और x = x 2 + πk, जहाँ x 2 = arcctg (- a)। यह नोट किया गया है कि x 2 = π - x 1. इसका तात्पर्य समानता arcctg (- a) = π - arcctg a से है। आर्क कोटैंजेंट की परिभाषा निम्नलिखित है: आर्क कोटैंजेंट ए 0 से π के अंतराल की एक संख्या है जिसका कोटैंजेंट ए के बराबर है। समीकरण сtg x = a का हल इस प्रकार लिखा गया है: x = arcctg a + πk।

वीडियो पाठ के अंत में, एक और महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला गया है - अभिव्यक्ति ctg x = a को tg x = 1/a के रूप में लिखा जा सकता है, बशर्ते कि a शून्य के बराबर न हो।

पाठ डिकोडिंग:

आइए समीकरण tg x = 3 और tg x = - 3 को हल करने पर विचार करें। पहले समीकरण को आलेखीय रूप से हल करने पर, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन y = tg x और y = 3 के ग्राफ़ में अनंत रूप से कई प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, जिनमें से भुज हम लिखते हैं प्रपत्र में

x = x 1 + πk, जहां x 1 स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y = 3 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है (चित्र 1), जिसके लिए पदनाम का आविष्कार किया गया था

आर्कटान 3 (तीन की चाप स्पर्शरेखा)।

आर्कटग 3 को कैसे समझें?

यह एक संख्या है जिसकी स्पर्शरेखा 3 है और यह संख्या अंतराल (- ;) से संबंधित है। फिर समीकरण tg x = 3 के सभी मूल सूत्र x = arctan 3+πk द्वारा लिखे जा सकते हैं।

इसी प्रकार, समीकरण tg x = - 3 का हल x = x 2 + πk के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x 2, सीधी रेखा y = - 3 की मुख्य शाखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है। स्पर्शरेखा (चित्र 1), जिसके लिए पदनाम arctg(- 3) (चाप स्पर्शरेखा शून्य से तीन)। फिर समीकरण के सभी मूल सूत्र द्वारा लिखे जा सकते हैं: x = arctan(-3)+ πk. चित्र से पता चलता है कि arctg(- 3)= - arctg 3.

आइए हम आर्कटेंजेंट की परिभाषा तैयार करें। चापस्पर्शरेखा a अंतराल (-;) से एक संख्या है जिसकी स्पर्शरेखा a के बराबर है।

समानता का अक्सर उपयोग किया जाता है: arctg(-a) = -arctg a, जो किसी भी a के लिए मान्य है।

आर्कटैन्जेंट की परिभाषा जानने के बाद, हम समीकरण के समाधान के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकाल सकते हैं

tg x= a: समीकरण tg x = a का हल x = arctan a + πk है।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1. आर्कटान की गणना करें।

समाधान। माना arctg = x, फिर tgх = और xϵ (- ;)। मानों की तालिका दिखाएँ इसलिए, x =, चूँकि tg = और ϵ (- ;)।

तो, आर्कटान =।

उदाहरण 2. आर्कटैन (-) की गणना करें।

समाधान। समानता arctg(- a) = - arctg a का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

आर्कटीजी(-) = - आर्कटीजी। मान लीजिए - arctg = x, फिर - tgх = और xϵ (- ;)। इसलिए, x =, चूँकि tg = और ϵ (- ;)। मानों की तालिका दिखाएँ

इसका मतलब है - arctg=- tgх= - .

उदाहरण 3. समीकरण tgх = 1 को हल करें।

1. समाधान सूत्र लिखें: x = आर्कटान 1 + πk।

2. चापस्पर्शज्या का मान ज्ञात कीजिए

चूँकि tg = . मानों की तालिका दिखाएँ

तो arctan1= .

3. पाए गए मान को समाधान सूत्र में डालें:

उदाहरण 4. समीकरण tgх = - 4.1 को हल करें (स्पर्शरेखा x शून्य से चार बिंदु एक के बराबर है)।

समाधान। आइए समाधान सूत्र लिखें: x = आर्कटान (- 4.1) + πk।

हम चापस्पर्शज्या के मान की गणना नहीं कर सकते, इसलिए हम समीकरण के समाधान को उसके प्राप्त रूप में ही छोड़ देंगे।

उदाहरण 5. असमानता tgх 1 को हल करें।

समाधान। हम इसे ग्राफ़िक तरीके से हल करेंगे.

1. आइए एक स्पर्श रेखा बनाएं

y = tgх और सीधी रेखा y = 1 (चित्र 2)। वे x = + πk जैसे बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

2. आइए x-अक्ष के अंतराल का चयन करें जिसमें स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा सीधी रेखा y = 1 के ऊपर स्थित है, क्योंकि शर्त tgx 1 के अनुसार। यह अंतराल (;) है।

3. हम फ़ंक्शन की आवधिकता का उपयोग करते हैं।

संपत्ति 2. y=tg x मुख्य अवधि π के साथ एक आवधिक कार्य है।

फ़ंक्शन y = tgх की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए, हम उत्तर लिखते हैं:

(;). उत्तर को दोहरी असमानता के रूप में लिखा जा सकता है:

आइए समीकरण ctg x = a पर चलते हैं। आइए हम सकारात्मक और नकारात्मक ए के समीकरण के समाधान का एक चित्रमय चित्रण प्रस्तुत करें (चित्र 3)।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ y = ctg x और y = a और भी

y=ctg x और y=-a

इसमें अपरिमित रूप से कई सामान्य बिंदु हैं, जिनके भुज इस प्रकार दिखते हैं:

x = x 1 +, जहां x 1 स्पर्श रेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y = a के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है और

x 1 = आर्कसीटीजी ए;

x = x 2 +, जहां x 2 रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है

y = - a स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ और x 2 = arcсtg (- a)।

ध्यान दें कि x 2 = π - x 1. तो, आइए एक महत्वपूर्ण समानता लिखें:

आर्कसीटीजी (-ए) = π - आर्कसीटीजी ए।

आइए परिभाषा तैयार करें: चाप कोटैंजेंट ए अंतराल (0;π) से एक संख्या है जिसका कोटैंजेंट ए के बराबर है।

समीकरण ctg x = a का हल इस रूप में लिखा गया है: x = arcctg a +।

कृपया ध्यान दें कि समीकरण ctg x = a को रूप में बदला जा सकता है

tg x =, सिवाय इसके कि जब a = 0 हो।

आर्कटिक (y = आर्कटान एक्स) स्पर्श रेखा (x =) का व्युत्क्रम फलन है टीजी वाई
टीजी(आर्कटीजी एक्स) = एक्स
आर्कटान(टीजी एक्स) = एक्स

आर्कटेंजेंट को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.

आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्कटान एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है, तो स्पर्शरेखा ग्राफ़ से चाप स्पर्शरेखा ग्राफ़ प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों का सेट उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को चापस्पर्शज्या का मुख्य मान कहा जाता है।

आर्ककोटैंजेंट, आर्कसीटीजी

चाप स्पर्शरेखा (y = आर्कसीटीजी एक्स) कोटैंजेंट (x =) का व्युत्क्रम फलन है सीटीजी वाई). इसमें परिभाषा का एक क्षेत्र और अर्थों का एक समूह है।
सीटीजी(आर्कसीटीजी एक्स) = एक्स
आर्कसीटीजी(सीटीजी एक्स) = एक्स

आर्ककोटैंजेंट को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.

व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ़

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्कसीटीजी एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है, तो चाप कोटैंजेंट ग्राफ को कोटैंजेंट ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों की सीमा उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को चाप कोटैंजेंट का मुख्य मान कहा जाता है।

समानता

आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन विषम है:
आर्कटैन(- x) = आर्कटीजी(-टीजी आर्कटीजी एक्स) = arctg(tg(-arctg x)) = - आर्कटान एक्स

व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फलन सम या विषम नहीं है:
arcctg(- x) = आर्कसीटीजी(-सीटीजी आर्कसीटीजी एक्स) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - आर्कक्टग x ≠ ± आर्कक्टग x.

गुण-अधिकता, वृद्धि, ह्रास

आर्कटेन्जेंट और आर्ककोटेंजेंट फ़ंक्शन उनकी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं, यानी सभी एक्स के लिए। (निरंतरता प्रमाण देखें)। आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

	आप= आर्कटान एक्स	आप= आर्कसीटीजी एक्स
दायरा और निरंतरता	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
अनेक अर्थ
आरोही अवरोही	नीरस रूप से बढ़ता है	नीरस रूप से घटता है
ऊँचाइयाँ, नीचाइयाँ	नहीं	नहीं
शून्य, y = 0	एक्स = 0	नहीं
कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0	आप= 0	y = π/ 2
	-	π
		0

आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए, डिग्री और रेडियन में, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट के मान प्रस्तुत करती है।

एक्स	आर्कटान एक्स		आर्कसीटीजी एक्स
	ओलों	खुश।	ओलों	खुश।
- ∞	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
- 1	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

सूत्रों

योग और अंतर सूत्र

पर

पर

पर

पर

पर

पर

लघुगणक, सम्मिश्र संख्याओं के माध्यम से व्यंजक

,
.

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

संजात

आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट डेरिवेटिव्स की व्युत्पत्ति देखें > > >

उच्च क्रम डेरिवेटिव:
होने देना । फिर आर्कटेंजेंट के nवें-क्रम व्युत्पन्न को निम्नलिखित तरीकों में से एक में दर्शाया जा सकता है:
;
.
प्रतीक का अर्थ निम्नलिखित अभिव्यक्ति का काल्पनिक भाग है।

आर्कटिक स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा के उच्च क्रम व्युत्पन्न की व्युत्पत्ति देखें > > >
पहले पांच ऑर्डरों के डेरिवेटिव के सूत्र भी वहां दिए गए हैं।

इसी प्रकार चाप स्पर्शरेखा के लिए। होने देना । तब
;
.

अभिन्न

हम प्रतिस्थापन x = करते हैं टीजी टीऔर भागों द्वारा एकीकृत करें:
;
;
;

आइए चाप स्पर्शरेखा को चाप स्पर्शरेखा के माध्यम से व्यक्त करें:
.

शक्ति शृंखला विस्तार

कब |x| ≤ 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:
;
.

उलटा कार्य

आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट के व्युत्क्रम क्रमशः स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट हैं।

निम्नलिखित सूत्र परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में मान्य हैं:
टीजी(आर्कटीजी एक्स) = एक्स
सीटीजी(आर्कसीटीजी एक्स) = एक्स .

निम्नलिखित सूत्र केवल आर्कटेन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट मानों के सेट पर मान्य हैं:
आर्कटान(टीजी एक्स) = एक्सपर
आर्कसीटीजी(सीटीजी एक्स) = एक्सपर ।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

फ़ंक्शन पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी हमेशा आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटैंजेंट के साथ होते हैं। एक दूसरे का परिणाम है, और त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए कार्यों के जोड़े समान रूप से महत्वपूर्ण हैं।

एक इकाई वृत्त के चित्र पर विचार करें, जो ग्राफिक रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को प्रदर्शित करता है।

यदि हम चाप OA, चाप OC, चाप DE और चाप MK की गणना करें, तो वे सभी कोण α के मान के बराबर होंगे। नीचे दिए गए सूत्र बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके संगत चापों के बीच संबंध को दर्शाते हैं।

आर्क्साइन के गुणों के बारे में अधिक समझने के लिए इसके कार्य पर विचार करना आवश्यक है। अनुसूची समन्वय केंद्र से गुजरने वाले एक असममित वक्र का रूप है।

आर्क्साइन के गुण:

यदि हम ग्राफ़ की तुलना करें पापऔर आर्कसिन, दो त्रिकोणमितीय कार्यों में सामान्य पैटर्न हो सकते हैं।

आर्क कोसाइन

किसी संख्या का आर्ककोस कोण α का मान होता है, जिसकी कोज्या a के बराबर होती है।

वक्र वाई = आर्कोस एक्सआर्क्सिन x ग्राफ़ को प्रतिबिंबित करता है, एकमात्र अंतर यह है कि यह ओए अक्ष पर बिंदु π/2 से होकर गुजरता है।

आइए आर्क कोसाइन फ़ंक्शन को अधिक विस्तार से देखें:

1. फ़ंक्शन को अंतराल पर परिभाषित किया गया है [-1; 1].
2. आर्ककोस के लिए ओडीजेड -।
3. ग्राफ़ पूरी तरह से पहली और दूसरी तिमाही में स्थित है, और फ़ंक्शन स्वयं न तो सम है और न ही विषम है।
4. Y = 0 पर x = 1.
5. वक्र अपनी पूरी लंबाई के साथ घटता जाता है। आर्क कोसाइन के कुछ गुण कोसाइन फ़ंक्शन के साथ मेल खाते हैं।

आर्क कोसाइन के कुछ गुण कोसाइन फ़ंक्शन के साथ मेल खाते हैं।

शायद स्कूली बच्चों को "मेहराब" का ऐसा "विस्तृत" अध्ययन अनावश्यक लगेगा। हालाँकि, अन्यथा, कुछ प्रारंभिक मानक परीक्षा कार्य छात्रों को गतिरोध में ले जा सकते हैं।

अभ्यास 1।चित्र में दिखाए गए कार्यों को इंगित करें।

उत्तर:चावल। 1 - 4, चित्र 2 - 1.

इस उदाहरण में छोटी-छोटी बातों पर जोर दिया गया है। आमतौर पर, छात्र ग्राफ़ के निर्माण और फ़ंक्शंस की उपस्थिति के प्रति बहुत असावधान होते हैं। दरअसल, वक्र के प्रकार को क्यों याद रखें यदि इसे हमेशा परिकलित बिंदुओं का उपयोग करके प्लॉट किया जा सकता है। यह मत भूलिए कि परीक्षण परिस्थितियों में, एक साधारण कार्य के लिए ड्राइंग पर लगने वाला समय अधिक जटिल कार्यों को हल करने में लगेगा।

आर्कटिक

आर्कटिकसंख्याएँ a कोण α का मान हैं जैसे कि इसकी स्पर्शरेखा a के बराबर है।

यदि हम चाप स्पर्शरेखा ग्राफ पर विचार करें, तो हम निम्नलिखित गुणों पर प्रकाश डाल सकते हैं:

1. ग्राफ अनंत है और अंतराल (- ∞; + ∞) पर परिभाषित है।
2. आर्कटेंजेंट एक विषम फलन है, इसलिए, आर्कटैन (- x) = - आर्कटैन x।
3. Y = 0 पर x = 0.
4. संपूर्ण परिभाषा क्षेत्र में वक्र बढ़ता जाता है।

आइए हम एक तालिका के रूप में tg x और arctg x का संक्षिप्त तुलनात्मक विश्लेषण प्रस्तुत करें।

आर्कोटैन्जेंट

किसी संख्या का Arcctg - अंतराल (0; π) से एक मान α लेता है जैसे कि इसका कोटैंजेंट a के बराबर होता है।

चाप कोटैंजेंट फ़ंक्शन के गुण:

1. फ़ंक्शन परिभाषा अंतराल अनंत है।
2. स्वीकार्य मानों की सीमा अंतराल (0; π) है।
3. F(x) न तो सम है और न ही विषम है।
4. इसकी पूरी लंबाई के दौरान, फ़ंक्शन का ग्राफ़ घटता जाता है।

ctg x और arctg x की तुलना करना बहुत सरल है; आपको बस दो चित्र बनाने और वक्रों के व्यवहार का वर्णन करने की आवश्यकता है।

कार्य 2.फ़ंक्शन के ग्राफ़ और नोटेशन फॉर्म का मिलान करें।

यदि हम तार्किक रूप से सोचें तो ग्राफ़ से स्पष्ट है कि दोनों फ़ंक्शन बढ़ रहे हैं। इसलिए, दोनों आंकड़े एक निश्चित आर्कटान फ़ंक्शन प्रदर्शित करते हैं। चापस्पर्शज्या के गुणों से यह ज्ञात होता है कि x = 0 पर y=0,

उत्तर:चावल। 1 - 1, अंजीर। 2 – 4.

त्रिकोणमितीय पहचान आर्क्सिन, आर्कोस, आर्कटीजी और आर्कसीटीजी

इससे पहले, हम पहले ही मेहराब और त्रिकोणमिति के बुनियादी कार्यों के बीच संबंध की पहचान कर चुके हैं। इस निर्भरता को कई सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जो किसी को व्यक्त करने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, किसी तर्क की साइन को उसके आर्कसाइन, आर्ककोसाइन या इसके विपरीत के माध्यम से। विशिष्ट उदाहरणों को हल करते समय ऐसी पहचानों का ज्ञान उपयोगी हो सकता है।

आर्कटीजी और आर्कसीटीजी के लिए भी संबंध हैं:

सूत्रों की एक और उपयोगी जोड़ी आर्क्सिन और आर्कोस के योग के साथ-साथ एक ही कोण के आर्कसीटीजी और आर्कसीटीजी के लिए मान निर्धारित करती है।

समस्या समाधान के उदाहरण

त्रिकोणमिति कार्यों को चार समूहों में विभाजित किया जा सकता है: किसी विशिष्ट अभिव्यक्ति के संख्यात्मक मान की गणना करें, किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं, इसकी परिभाषा का डोमेन या ODZ ढूंढें और उदाहरण को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक परिवर्तन करें।

पहले प्रकार की समस्या को हल करते समय, आपको निम्नलिखित कार्य योजना का पालन करना होगा:

फ़ंक्शन ग्राफ़ के साथ काम करते समय, मुख्य बात उनके गुणों और वक्र की उपस्थिति का ज्ञान है। त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए पहचान तालिकाओं की आवश्यकता होती है। विद्यार्थी जितने अधिक सूत्र याद रखेगा, कार्य का उत्तर ढूंढना उतना ही आसान होगा।

मान लीजिए कि एकीकृत राज्य परीक्षा में आपको एक समीकरण का उत्तर ढूंढना है जैसे:

यदि आप अभिव्यक्ति को सही ढंग से रूपांतरित करके वांछित रूप में लाते हैं, तो इसे हल करना बहुत सरल और त्वरित है। सबसे पहले, आइए आर्क्सिन x को समानता के दाईं ओर ले जाएँ।

अगर आपको फार्मूला याद है आर्क्सिन (पाप α) = α, तो हम दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए उत्तरों की खोज को कम कर सकते हैं:

मॉडल x पर प्रतिबंध फिर से आर्क्सिन के गुणों से उत्पन्न हुआ: x के लिए ODZ [-1; 1]. जब ≠0 होता है, तो सिस्टम का हिस्सा एक द्विघात समीकरण होता है जिसके मूल x1 = 1 और x2 = - 1/a होते हैं। जब a = 0, x 1 के बराबर होगा।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "आर्कसाइन। आर्कसाइन की तालिका। सूत्र y=आर्क्सिन(x)"

अतिरिक्त सामग्री
प्रिय उपयोगकर्ताओं, अपनी टिप्पणियाँ, समीक्षाएँ, शुभकामनाएँ छोड़ना न भूलें! सभी सामग्रियों की जांच एंटी-वायरस प्रोग्राम द्वारा की गई है।

1सी से ग्रेड 10 के लिए इंटीग्रल ऑनलाइन स्टोर में मैनुअल और सिमुलेटर
सॉफ्टवेयर वातावरण "1सी: गणितीय कंस्ट्रक्टर 6.1"
हम ज्यामिति में समस्याओं का समाधान करते हैं। अंतरिक्ष में निर्माण के लिए इंटरैक्टिव कार्य

हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. आर्क्साइन क्या है?
2. आर्कसाइन संकेतन।
3. थोड़ा इतिहास.
4. परिभाषा.

6. उदाहरण.

आर्कसाइन क्या है?

दोस्तों, हम पहले ही सीख चुके हैं कि कोसाइन के समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, आइए अब सीखते हैं कि साइन के समान समीकरणों को कैसे हल करें। पाप(x)= √3/2 पर विचार करें। इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको एक सीधी रेखा y= √3/2 बनानी होगी और देखना होगा कि यह संख्या वृत्त को किन बिंदुओं पर काटती है। यह देखा जा सकता है कि सीधी रेखा वृत्त को दो बिंदुओं F और G पर काटती है। ये बिंदु हमारे समीकरण का समाधान होंगे। आइए F को x1 और G को x2 के रूप में पुनः नामित करें। हमने पहले ही इस समीकरण का हल ढूंढ लिया है और प्राप्त किया है: x1= π/3 + 2πk,
और x2= 2π/3 + 2πk.

इस समीकरण को हल करना काफी सरल है, लेकिन उदाहरण के लिए, समीकरण को कैसे हल करें
पाप(x)= 5/6. जाहिर है, इस समीकरण की भी दो जड़ें होंगी, लेकिन संख्या वृत्त पर समाधान के अनुरूप कौन से मान होंगे? आइए हमारे समीकरण पाप(x)=5/6 पर करीब से नज़र डालें।
हमारे समीकरण का समाधान दो बिंदु होंगे: F= x1 + 2πk और G= x2 ​​​​+ 2πk,
जहां x1 चाप AF की लंबाई है, x2 चाप AG की लंबाई है।
ध्यान दें: x2= π - x1, क्योंकि एएफ= एसी - एफसी, लेकिन एफसी= एजी, एएफ= एसी - एजी= π - x1.
लेकिन ये बिंदु क्या हैं?

इसी तरह की स्थिति का सामना करते हुए, गणितज्ञ एक नया प्रतीक - आर्क्सिन (x) लेकर आए। आर्क्साइन के रूप में पढ़ें.

फिर हमारे समीकरण का हल इस प्रकार लिखा जाएगा: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6)।

और सामान्य रूप में समाधान: x= arcsin(5/6) + 2πk और x= π - arcsin(5/6) + 2πk।
आर्कसाइन कोण (चाप लंबाई एएफ, एजी) साइन है, जो 5/6 के बराबर है।

आर्क्साइन का एक छोटा सा इतिहास

हमारे प्रतीक की उत्पत्ति का इतिहास बिल्कुल आर्कोस के समान ही है। प्रतीक आर्क्सिन सबसे पहले गणितज्ञ शेर्फ़र और प्रसिद्ध फ्रांसीसी वैज्ञानिक जे.एल. के कार्यों में दिखाई देता है। लैग्रेंज. कुछ समय पहले, आर्क्साइन की अवधारणा पर डी. बर्नौली ने विचार किया था, हालाँकि उन्होंने इसे विभिन्न प्रतीकों के साथ लिखा था।

ये प्रतीक 18वीं शताब्दी के अंत में ही आम तौर पर स्वीकृत हो गए। उपसर्ग "आर्क" लैटिन "आर्कस" (धनुष, चाप) से आया है। यह अवधारणा के अर्थ के साथ काफी सुसंगत है: आर्कसिन एक्स एक कोण है (या कोई चाप कह सकता है) जिसकी साइन एक्स के बराबर है।

आर्क्साइन की परिभाषा

यदि |a|≤ 1, तो arcsin(a) खंड से एक संख्या है [- π/2; π/2], जिसकी ज्या a के बराबर है।

यदि |a|≤ 1, तो समीकरण पाप(x)= a का एक समाधान है: x= arcsin(a) + 2πk और
x= π - आर्क्सिन(ए) + 2πk

आइए फिर से लिखें:

x= π - आर्क्सिन(ए) + 2πk = -आर्क्सिन(ए) + π(1 + 2k).

दोस्तों, हमारे दो समाधानों को ध्यान से देखें। आप क्या सोचते हैं: क्या उन्हें सामान्य सूत्र का उपयोग करके लिखा जा सकता है? ध्यान दें कि यदि आर्कसाइन के सामने धन चिह्न है, तो π को सम संख्या 2πk से गुणा किया जाता है, और यदि ऋण चिह्न है, तो गुणक विषम 2k+1 है।
इसे ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण पाप(x)=a को हल करने के लिए सामान्य सूत्र लिखते हैं:

ऐसे तीन मामले हैं जिनमें समाधानों को सरल तरीके से लिखना पसंद किया जाता है:

पाप(x)=0, फिर x= πk,

पाप(x)=1, फिर x= π/2 + 2πk,

पाप(x)=-1, फिर x= -π/2 + 2πk.

किसी भी -1 ≤ a ≤ 1 के लिए समानता कायम है: arcsin(-a)=-arcsin(a)।

आइए कोसाइन मानों की तालिका को उल्टा लिखें और आर्कसाइन के लिए एक तालिका प्राप्त करें।

उदाहरण

1. गणना करें: आर्क्सिन(√3/2)।
समाधान: मान लीजिए कि arcsin(√3/2)= x, तो syn(x)= √3/2. परिभाषा के अनुसार:- π/2 ≤x≤ π/2. आइए तालिका में साइन मान देखें: x= π/3, क्योंकि पाप(π/3)= √3/2 और –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
उत्तर: आर्क्सिन(√3/2)= π/3.

2. गणना करें: आर्क्सिन(-1/2)।
समाधान: मान लीजिए आर्कसिन(-1/2)= x, तो पाप(x)= -1/2. परिभाषा के अनुसार:- π/2 ≤x≤ π/2. आइए तालिका में साइन मान देखें: x= -π/6, क्योंकि पाप(-π/6)= -1/2 और -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
उत्तर: आर्क्सिन(-1/2)=-π/6.

3. गणना करें: आर्क्सिन(0)।
समाधान: मान लीजिए कि arcsin(0)= x, तो syn(x)= 0. परिभाषा के अनुसार: - π/2 ≤x≤ π/2. आइए तालिका में साइन के मान देखें: इसका मतलब है x= 0, क्योंकि पाप(0)= 0 और - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. उत्तर: आर्क्सिन(0)=0.

4. समीकरण हल करें: पाप(x) = -√2/2.
x= आर्क्सिन(-√2/2) + 2πk और x= π - आर्क्सिन(-√2/2) + 2πk।
आइए तालिका में मान देखें: आर्क्सिन (-√2/2)= -π/4।
उत्तर: x= -π/4 + 2πk और x= 5π/4 + 2πk।

5. समीकरण हल करें: पाप(x) = 0.
समाधान: आइए परिभाषा का उपयोग करें, फिर समाधान इस रूप में लिखा जाएगा:
x= आर्क्सिन(0) + 2πk और x= π - आर्क्सिन(0) + 2πk। आइए तालिका में मान देखें: आर्क्सिन(0)= 0.
उत्तर: x= 2πk और x= π + 2πk

6. समीकरण हल करें: पाप(x) = 3/5.
समाधान: आइए परिभाषा का उपयोग करें, फिर समाधान इस रूप में लिखा जाएगा:
x= आर्क्सिन(3/5) + 2πk और x= π - आर्क्सिन(3/5) + 2πk।
उत्तर: x= (-1) n - आर्क्सिन(3/5) + πk।

7. असमानता पाप(x) को हल करें: ज्या संख्या वृत्त पर एक बिंदु की कोटि है। इसका मतलब है: हमें ऐसे बिंदु खोजने होंगे जिनकी कोटि 0.7 से कम हो। आइए एक सीधी रेखा y=0.7 खींचें। यह संख्या वृत्त को दो बिंदुओं पर काटता है। असमानता y तब असमानता का समाधान होगा: -π – आर्क्सिन(0.7) + 2πk

स्वतंत्र समाधान के लिए आर्क्साइन समस्याएं

1) गणना करें: ए) आर्क्सिन(√2/2), बी) आर्क्सिन(1/2), सी) आर्क्सिन(1), डी) आर्क्सिन(-0.8)।
2) समीकरण हल करें: ए) पाप(x) = 1/2, बी) पाप(x) = 1, सी) पाप(x) = √3/2, घ) पाप(x) = 0.25,
ई) पाप(x) = -1.2.
3) असमानता को हल करें: ए) पाप (x)> 0.6, बी) पाप (x)≤ 1/2।