21.11.11 08:27

В теории пластического течения определяющие соотношения могут быть получены двумя эквивалентными путями: либо через определение функции нагружения (условия пластичности), либо через определение диссипативной функции. Качественные особенности теорий пластичности удобно рассматривать при ана­лизе формы поверхности нагружения, которую в пространстве на­пряжений определяет функция нагружения. Наглядное представле­ние об условии текучести можно получить, представляя поверх­ность нагружения в пространстве главных напряжений s 1 , s 2 , s 3 или кривую нагружения на плоскости р - Т , где р – гидростатическое давление ; Т –интенсивность касательных напряжений. Если опреде­ляющие соотношения получены из диссипативного потенциала, то и в этом случае восстанавливают функцию нагружения и соответст­вующую ей поверхность нагружения.

По основной гипотезе теории течения функцию нагружения отождествляют с пластическим потенциалом для скоростей пласти­ческих деформаций и из ассоциированного закона находят искомые определяющие соотношения. Ассоциированный закон течения сле­дует из постулата Д. Друккера, согласно которому работа на замк­нутом по напряжениям цикле нагружения неотрицательна. Другое следствие постулата Д. Друккера состоит в том, что вектор скоро­сти пластической деформации направлен по нормали к поверхности или кривой нагружения в той ее точке, которая соответствует действительным напряжениям. Экспериментальные исследования показали, что для реальных процессов деформирования порошковых материалов векторы скоростей пластической деформации ортогональны к поверхности нагружения и для этих материалов также выполняется ассоциированный закон.

Условие пластичности формулируется путем комбинаций инвариантов тензора напряжений. Неоднократно было установлено, что учет третьего инварианта тензора напряжений в теории пластичности несжимаемых тел не дает существенных количественных уточнений. Аналогичный результат получен авторами работы, рассмотревшим влияние третьего инварианта на пластичность пористых тел. Полученные в определяющие соотношения содержат выражения, которые сводятся к эллиптическим интегралам и не могут быть выражены через элементарные функции, поэтому современные теории пластичности сжимаемых тел учитывают только первый и второй инварианты тензора напряжений. Так как рассматриваются условия пластичности, которые не зависят от третьего инварианта тензора напряжений, то ось поверхности нагружения совпадает с гидростатической осью. Условие пластичности несжимаемых материалов не зависит также от среднего напряжения, и поверхность нагружения не замкнута. Она представляет собой либо цилиндр Мизеса, либо призму Треска с образующей, параллельной октаэдрической оси. Пластическое уплотнение при гидростатическом нагружении, свойственное порошковым материалам, может быть описано в рамках моделей, использующих лишь замкнутую поверхность нагружения.

Физически адекватные модели должны отражать следующие основные закономерности пластического течения порошковых материалов:

1) эффект изменения объема при сдвиге (эффект пластической дилатансии);

2) разносопротивляемость порошковых материалов растяжению и сжатию (деформационная анизотропия);

3) двойственный механизм необратимой деформации – межчастичное скольжение или пластическое деформирование частиц.

Важным свойством модели пластического тела является возможность получения однозначной зависимости компонентов тензора напряжений от скоростей деформаций. Это позволяет формулировать задачу в кинематических переменных и использовать для решения вариационные и основанные на них численные методы. Свойством однозначности определяющих соотношений обладают только строго выпуклые поверхности нагружения. С учетом отмеченных требований рассмотрим известные континуальные модели пластического течения порошковых материалов.

Такие свойства дисперсных материалов, как явление дилатансии и значительные изменения объема при пластической деформации, впервые установлены для грунтов. Именно в механике грунтов в 60-х гг. прошлого столетия были предложены многочисленные критерии пластичности, зависящие от гидростатического давления . Подробный анализ этих критериев был выполнен Н.Н. Николаевским в работе. Несколько позднее были предложены еще две модели дилатирующих материалов.

В.В. Дудукаленко и А.Ю. Смыслов на основе статистической модели условия текучести Мизеса-Шлейхера получили поверхность нагружения, которая на плоскости р - Т описывает область, ограниченную сбоку отрезками эллиптических кривых и имеющую плоское дно, которое расположено перпендикулярно оси гидростатического сжатия. Авторы отмечают, что форма теоретической области предельного равновесия близка к экспериментально определенной в форме области предельного равновесия.

Э.С. Макаров для обеспечения гибкости при описании процесса деформирования порошковых материалов предложил использовать многопараметрические поверхности нагружения. Эти поверхности нагружения не имеют физического обоснования и представляют собой аналитическую аппроксимацию экспериментальных данных. Для определения эмпирических параметров и их зависимостей от плотности необходимо проводить многочисленные эксперименты по схемам, труднореализуемым для порошковых тел – одноосное растяжение и сжатие, а также кручение.

Рассмотренные критерии пластичности, основанные на условии Кулона-Мора, ориентируются, главным образом, на описание дилатансии грунтов, а не на уплотнение, которое характерно для процессов технологического деформирования порошков. Кроме того, требуются трудоемкие экспериментальные процедуры для построения поверхностей нагружения и определения феноменологических параметров и их зависимостей от плотности.

1. Общие соотношения. Процесс пластической деформации является необратимым, большая часть работы деформации переходит в тепло. Напряжения в конечном состоянии зависят от пути деформирования. В связи с этим уравнения, описывающие пластическую деформацию, в принципе не могут быть конечными соотношениями, связывающими компоненты напряжения и деформации (аналогично соотношениям закона Гука), а должны быть дифференциальными (и притом неинтегрируемыми) зависимостями.

Уравнения теории пластического течения устанавливают связь между бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений, самими напряжениями и некоторыми параметрами пластического состояния.

Рассмотрим исходные положения этой теории:

• 1) Тело изотропно.
• 2) Относительное изменение объема мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению:

Полные приращения составляющих деформации dе ij складываются из приращений составляющих упругой деформации dе ij e , - и пластической деформации dе ij p

Приращения составляющих упругой деформации связаны с приращениями составляющих напряжения законом Гука

4) Девиатор напряжения D у , и девиатор приращений пластической деформации D dе p пропорциональны, т.е.

где dл - некоторый бесконечно малый скалярный множитель. Напряженное состояние определяет мгновенные приращения компонент пластической деформации.

Из (2.4) вытекают соотношения (так как dе p =0)

Вычисляя теперь приращение работы пластической деформации, находим:

Таким образом, множитель d л связан с величиной приращения работы пластической деформации; так как dA p ? 0, то и dл?0. Согласно (2.2) получаем полные приращения компонент деформации:

где приращения компонент упругой деформации следует взять согласно закону Гука (2.3).

dA = dA e + dA p , (2.8)

где dA p дано формулой (2.6), а приращение работы упругой деформации равно dA e = dП, где упругий потенциал

При dл = 0 уравнения (2.7) переходят в закон Гука, написанный в дифференциальной форме. В общем случае уравнения (2.7) не являются полными, так как содержат неизвестный множитель, для определения которого нужно располагать дополнительным соотношением.

2. Теория пластичности Сен-Венана - Мизеса. Если в уравнениях Прандтля - Рейса пренебречь компонентами упругой деформации (что допустимо при развитой пластической деформации), то получим уравнения теории пластичности Сен-Венана - Мизеса.

пропорционален мощности пластической деформации, т.е. характеризует диссипацию. Исключая в последнем соотношении компоненты напряжения с помощью (2.11), легко находим:

Следовательно, уравнения (2.11) можно еще представить так:

Уравнения Сен-Венана-Мизеса широко применяются в математической теории пластичности и различных ее приложениях.

Теория пластического течения строится на аналогии с вязкой жидкостью. Как и деформационная теория пластичности, она является феноменологической теорией, т.е. опирается на опытные данные и не рассматривает механизм процесса.

Постановка задачи предполагает рассмотрение жестко-пластичного материала, т.е. материала, для которого можно пренебречь упругими деформациями по сравнению с пластическими. Это довольно разумная постановка, т.к. в большинстве случаев упругие деформации составляют доли процента, тогда как пластические доходят до десятков процентов.

Аналогично теории пластичности теория пластического течения базируется на трех постулатах:

(5.8)

Если
, то (5.8) превращается в уравнение ньютоновской вязкой жидкости.

(5.9)

где - длина траектории деформирования в пространстве деформаций

(
). Обратим внимание, что, в отличие от теории

пластичности, есть функция длины кривой деформирования, а не длины вектора, определяющего эту кривую.

Последний постулат отпадает при переходе этой теории в теорию вязкой жидкости, т.е. когда
.

Как уже говорилось, интенсивность скоростей деформаций сдвига по определению есть следующая величина:
. Если ее подставить в уравнение (5.8), то получится
или
; теперь перепишем (5.8):

.

Отметим частный случай уравнения (5.9), случай идеальной пластичности, который будет рассматриваться в дальнейшем:
, где - предел текучести материала на сдвиг.

В чем же состоит отличие пластического течения от течения вязкой жидкости, или, может быть это одно и то же?

Рассмотрим течение Куэтта, то есть движение вязкой жидкости между двумя соосными цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями. Увеличим поле скоростей, например, в два раза. Так как при этом напряжения в жидкости увеличиваются в два раза, то и прикладываемый к цилиндрам момент необходимо увеличить в два раза.

А что произойдет в аналогичной ситуации в случае пластического течения? Предположим, что материал не упрочняется, т.е.
. В теле имеется поле скоростей
. Напряжения, соответствующие этому полю-
. Увеличим поле скоростей в раз:
, следовательно новая скорость деформаций
, а новая интенсивность
. Но напряжения и деформации связаны формулой
, откуда видно, что напряжения не изменятся:
. Т.е. при пластическом течении напряжения не зависят от скорости деформирования.

Получим выражение для работы, диссипирующейся в среде. Работа изменения формы:
; мощность:
. Используя соотношение (5.8) получим: .

Теорема о простом деформировании.

Если для одной и той же кривой деформации использовать деформационную теорию пластичности и теорию пластического течения, то полученные напряжения будут существенно различными. Возникает вопрос, а существуют ли режимы, при которых результаты этих теорий совпадают? Оказывается существуют.

В случае простых деформаций, т.е. когда деформации растут пропорционально какому- либо одному параметру, напряжения, полученные из деформационной теории пластичности и из теории пластического течения, тождественно совпадают. Докажем это утверждение.

Сперва рассмотрим деформационную теорию. Для простоты будем считать, что упругие деформации много меньше пластических и ими можно пренебречь:
. Деформации растут пропорционально времени:
. Последнее равенство представляется прямой в пространстве деформаций. Напряжения, необходимые для того, чтобы вызвать такие деформации есть:
. Интенсивность деформаций сдвига:
, а интенсивность касательных напряжений есть функция от (третий постулат теории), следовательно
. Таким образом необходимые напряжения выражаются формулой
или, так как
и
, формулой

(*)

Теперь рассмотрим соотношения теории течения. Связь между напряжениями и скоростями деформации дается формулой
. Как и в предыдущем случае деформации пропорциональны времени:
, отсюда:
. Следовательно:
. Теперь рассмотрим закон упрочнения:
.
, а так как
, то
. Так как
- постоянная величина, то после интегрирования получаем:
. Таким образом
. Теперь выражение для напряжений запишется так:
. Перепишем его, учитывая что
. Окончательно получим:
(**).

Сравнивая выражения (*) и (**), видим что они тождественно совпадают.

Все рассуждения, проведенные в предыдущей теореме, относились к малому объему. А как обстоит дело в случае нагружения реального тела системой внешних сил, изменяющихся во времени? Как должны измениться эти силы, чтобы деформации были простыми в любой точке тела? Ответ на эти вопросы дает следующая теорема.

Теорема о простом нагружении.

Будем исходить из деформационной теории пластичности. Пусть, во-первых, материал несжимаем (
), а во-вторых функция упрочнения имеет степенной вид:
. Будем нагружать образец так, чтобы поверхностные силы росли пропорционально времени:
, где
. Если есть массовые силы, пусть они также увеличиваются со временем:
. Допустим в момент времени
решение задано, т.е. выполняются следующие равенства:

причем здесь
, т.к. материал несжимаем. Кроме того выполняется соотношение
. Затем, с течением времени, увеличиваются силы,
, и, следовательно, остальные параметры: напряжения (
), интенсивность касательных напряжений (
). Деформации тоже изменяются, однако не пропорционально времени, а как-то иначе, например пропорционально некоторой величине , которую надо найти:
. Итак, в этом виде и будем искать решение. Тогда
,
, и, следовательно,
. В справедливости этих равенств можно легко убедиться, подставив их в формулы 1), 2) и 3).

Однако кроме этих формул должен выполняться закон упрочнения:
. Подставляем:
. Отсюда следует, с учетом аналогичного соотношения при
, что
. Таким образом мы получили, что смещения и деформации при простом нагружении растут не простым образом, а пропорционально величине
.

Следует отметить, что это доказательство проходит лишь для несжимаемого материала и для степенного закона упрочнения.