На уроке мы вспомним, что такое единицы измерения, узнаем какими единицами можно измерять углы, познакомимся с такой единицей измерения, как градус, научимся измерять углы в градусах и чертить их с помощью транспортира. Также мы узнаем о других единицах измерения углов, которые применяются в различных ситуациях.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок и
Какие-то вещи можно измерить, какие-то нельзя. Например, нельзя измерить дружбу или любовь. А расстояние, вес, температуру вполне можно. Чтобы что-то измерять, нужно всем договориться о единицах измерения.
Метр, дюйм, аршин - это и есть такие договоренности при измерении длины. Эталонный метр хранится во Франции, в Палате мер и весов. Килограмм, фунт, пуд - это договоренности для измерения массы. Эталонный килограмм тоже хранится в Палате мер и весов.
Единицы измерения придуманы для конкретных величин. В секундах не измерить вес, а в аршинах - время.
В геометрии такая же ситуация. Есть сантиметры, для измерения длин отрезков, но они не подходят для измерения углов. Для измерения углов есть свои единицы измерения. На этом уроке мы рассмотрим одну из них, а именно градусы.
Разделим полный угол на 360 равных частей. Для этого удобно использовать окружность. Поделим ее на 360 частей и соединим каждое полученное деление с центром. Получим 360 равных углов (см. Рис. 1).
Рис. 1. Окружность, разделенная на 360 равных углов
Один такой маленький угол назовем углом в 1° (см. Рис. 2).
Рис. 2. 1 градус
Не важно, какого размера будет окружность, которую мы делим. Поделим обе окружности на 360 частей, получим равные углы в 1°, хотя стороны одного угла визуально длиннее, чем у другого (см. Рис. 3).
Рис. 3. Углы равны
Стороны углов можно продолжать бесконечно, от этого размер угла не меняется (см. Рис. 4).
Рис. 4. Более явный пример равенства углов
Величина любого угла - это сколько раз в него умещается угол в 1°.
Вот мы видим угол 13° (см. Рис. 5).
Рис. 5. Угол 13°
Понятно, что полный угол состоит из 360 таких углов. То есть он равен 360° (см. Рис. 6).
Рис. 6. Полный угол
Развернутый угол - это половина полного угла. Он равен (см. Рис. 7).
Рис. 7. Развернутый угол
Прямой угол является половиной развернутого и равен 90° (см. Рис. 8).
Рис. 8. Прямой угол
Эталон градуса нет нужды где-то хранить. Если нужно, то всегда можно полный угол разделить на 360 частей, или развернутый - на 180, или прямой - на 90.
Линейка нужна для того, чтобы измерить имеющийся отрезок или начертить отрезок нужной длины. Чтобы измерить угол или начертить угол нужной величины, мы тоже используем линейку, только не прямую, а круглую. Она называется транспортиром (см. Рис. 9).
Рис. 9. Транспортир
Единицы измерения на ней - градусы. Шкала начинается с нуля и заканчивается 180°.То есть максимальный угол, который мы можем измерить или начертить, - это 180°, развернутый.
Транспортиры могут быть разных размеров, но это не влияет на то, какого размера углы ими измеряют. Для более крупного транспортира у углов нужно чертить стороны длиннее.
1. Измерим пару углов.
Прямая часть транспортира совмещается с одной стороной угла, центр транспортира с вершиной угла. Смотрим, где оказалась вторая сторона угла, - 54° (см. Рис. 10, 11).
Рис. 10. Измерение угла
Проделаем то же самое со вторым углом, 137°.
Рис. 11. Измерение угла
Если сторона угла не достает до шкалы, то ее нужно сначала продлить.
2. Начертим углы 29°, 81° и 140°.
Сначала чертим одну сторону угла по линейке (см. Рис. 12).
Рис. 12. Построение одной стороны угла
Отмечаем вершину. Совмещаем с транспортиром. Отмечаем точкой нужное значение угла - 29° (см. Рис. 13).
Рис. 13. Использование транспортира для построения углов
Убираем транспортир. Соединяем полученную точку с вершиной (см. Рис. 14).
Рис. 14. Угол 29°
Точно так же строим два других угла (см. Рис. 15).
Рис. 15. Построение углов
Итак, мы с вами обсудили, что для измерения углов люди договорились использовать градусы. Градус - это полного угла.
Инструментом для измерения и построения углов является транспортир.
Можно не использовать названия углов - полный, развернутый, прямой. Мы можем просто говорить - 360 градусов, 180 или 90 градусов.
На самом деле бывает, когда мы одни величины измеряем единицами, казалось бы, для них не предназначенными, «чужими» единицами.
Можно ли измерить расстояние в минутах? Да, мы часто используем этот способ. «От моего дома до школы 5 минут». Если быть точнее, то «5 минут пешком». Мы здесь используем известную всем величину - скорость пешехода. И величина «5 минут» на самом деле означает «расстояние, которое пешеход проходит за 5 минут». Скорость пешехода - 5 км/ч, 5 минут - это часа, умножим одно на другое. Получаем примерно 400 метров. Не очень точно, зато удобно.
Точно по такому же принципу устроена другая единица измерения расстояния - световой год. Световой год - расстояние, которое проходит свет за 1 год. С помощью этой единицы меряют расстояния между звездами.
Очень распространенный пример использования «чужой» единицы измерения - это измерять вес в килограммах. На самом деле килограмм - единица измерения массы, а вес - это другая физическая величина. Если хотите подробнее узнать, в чем разница между массой и весом, и почему измерять вес в килограммах не верно, то наберите в поисковой системе «масса и вес» и получите множество пояснений по этому поводу.
Атмосферное давление мы до сих пор измеряем в миллиметрах (миллиметрах ртутного столба).
Хотя для угла есть свои «родные» единицы измерения - градусы, которые мы и проходим на этом уроке, все-таки его можно измерять и с помощью линейных величин, например сантиметров. Если нужно измерить угол , то можно достроить его до треугольника, так чтобы один угол был прямым, и разделить длину одной стороны на другую.
Получим величину угла , которая называется тангенсом.
Если увеличить треугольник, то ничего не изменится (см. Рис. 16).
Рис. 16. Тангенс
Ведь во сколько раз увеличилась одна сторона, во столько и вторая.
То есть величины часто можно измерять «чужими» единицами, но это чуть сложнее, там нужны некоторые дополнительные договоренности.
Существуют и другие единицы измерения углов.
1. Минуты и секунды.
Как и метр можно делить на дециметры, сантиметры, миллиметры для более точных измерений, так и градусы делятся на более мелкие единицы измерения.
Если угол в 1° разделить на 60 равных частей, то величина полученного угла называется минута, 1′.
Если минуту поделить на 60 частей, то полученная величина называется секундой. Секунда - уже очень маленькая величина, но ее тоже можно делить дальше.
Почему вообще стали делить на 360 частей полный угол, ведь это не очень удобно? В древнем Вавилоне была шестидесятеричная система (у нас десятеричная). Им было удобно делить на 60.
2. Грады.
Чтобы сделать измерение углов ближе к нашей десятичной системе счисления, были предложены грады. Для этого прямой угол делится на 100 частей. Полученная величина называется град. Полный угол составляет тогда 400 градов. Система не прижилась, и сейчас ее не используют.
3. Радиан.
Если взять два радиуса окружности так, чтобы кусочек окружности между ними тоже был равен радиусу, то угол между радиусами мы и примем за новую единицу измерения. Он называется 1 рад (радиан). Эта мера используется наравне с градусной. У нее есть свои преимущества и свои недостатки по сравнению с градусами (см. Рис. 17).
Рис. 17. Радианы
Например, теперь полный угол (вся окружность) состоит не из целого числа единичных углов. Полный угол состоит из 6 с лишним единичных углов. Не очень удобно, зато теперь длина дуги (части окружности) и угол хорошо связаны. Если взять окружность радиуса 1 см, то величина угла совпадает с длиной дуги. Угол 1 рад - дуга 1 см, угол 2 рад - длина дуги 2 см.
Список литературы
- Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. - М.: Мнемозина, 2013.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5 кл. - М.: Мнемозина, 2013.
- Ерина Т.М. Математика 5кл. Раб. тетрадь к уч. Виленкина, 2013. - М.: Мнемозина, 2013.
- Shkolo.ru ().
- Cleverstudents.ru ().
- Festival.1september.ru ().
Домашнее задание
- Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. - М.: Мнемозина, 2013. Стр. 144 № 522.
- Начертите углы: 23°, 167°, 84°.
- Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 5 класса (5-е изд.) - 2010. Стр. 163 № 3.
Как измерить угол?
При решении задач в геометрии мы постоянно сталкиваемся с разными фигурами - плоскими и объемными. Большинство геометрических фигур состоит из сторон и углов. Исключение составляют круг, эллипс, шар. Измерение углов - важная часть решения, иногда только правильное измерение и помогает решить задание и найти верный ответ.
Как же правильно измерить угол?
Транспортир - это специальный прибор, в чем то похожий на линейку, который имеет дугу с нанесенной на нее шкалой. Цифры на этой шкале означают градусы. А в градусах, как известно, и измеряют углы.
Как измерить угол транспортиром
Достаточно приложить центр транспортира к точке - вершине угла. Центр транспортира - это маленькая точка под дугой на прямой линии. В нем часто делают небольшое отверстие, чтобы было удобно накладывать его на вершину угла.
Как измерить угол без транспортира
В некоторых частных случаях угол можно отсчитать по клеткам в тетради. Например, угол 90° рисуется как 2 перпендикулярные линии, выходящие из одной точки. Они совпадают с клетками тетради и по горизонтали, и по вертикали. Если же одна сторона угла 
совпадает с клетками горизонтально, а другая пересекает каждую клеточку ровно по диагонали, то этот угол будет равен 45°.
Есть также способ измерения угла при помощи часов. Если вы вдруг забыли транспортир, а на руке у вас часы со стрелками, то попробуйте приложить центр часов к вершине угла, одну сторону совместить с цифрой 6, а вторую продлить пунктиром. Одна минута будет равна 6 градусам.
Способ, конечно, не очень удобный, но иногда спасает.
Каждый школьник знает, что такое транспортир. Этот, казалось бы, неприглядный инструмент выполняет очень важные функции не только на уроках математики. О том,что он собой представляет, а также как правильно им пользоваться, расскажем далее.
Что такое транспортир?
Транспортиром называют предмет, с помощью которого каждый из нас может не только измерять углы, но и строить их. Внешне он напоминает полукруглую линейку со шкалой и делениями. Внизу, на ровной поверхности, расположена привычная нам прямая линейка для измерения отрезков. В верхней части - полукруг с двойной шкалой для измерений. В каждом из направлений шкала рассредоточена по транспортиру от 0 до 180 градусов.
Правила пользования
В школе объясняют, что такое транспортир, на уроках математики. Именно здесь есть необходимость в измерениях.
Для того чтобы нам узнать, чему равен один градус, нужно окружность поделить на 360 равных частей. Одна из таких частей и будет равна 1 градусу. Величина окружности никак не повлияет на градус! Это легко проверить.
Нарисуем две окружности разного диаметра и поделим каждую на 360 равных частей. Затем наложим меньшую окружность на большую и увидим, что линии совпали.
Измеряем угол
Транспортир помогает построить и измерить угол. Градус - это общепринятая единица, которой пользуются для измерения углов. Встречается несколько разновидностей углов:
- Острый. Таким называют угол до 90 градусов.
- Прямым является угол, равный 90 градусам.
- варьируется в диапазоне от 90 до 180 градусов.
- представляет собой прямую линию или 180 градусов.
- Полный угол выглядит как окружность и составляет 360 градусов.
Нетрудно разобраться, как измерить угол. Для того чтобы узнать, какова величина угла, нам необходимо установить транспортир таким образом, чтобы его центр располагался в вершине угла, а прямая сторона совпала с одной из его сторон. Шкала укажет нам количество градусов данного угла. Вот таким нехитрым способом мы можем узнать, что за угол перед нами.
Для построения угла с заданным градусом следует приложить прямую часть транспортира к линии, а его центр - к началу линии. Впоследствии эта точка будет являться вершиной угла. Затем на шкале отыскиваем заданное число и ставим точку. Теперь транспортир можно снять и соединить отрезком начало линии (вершину угла) с отмеченной точкой.
Школьные канцтовары, произведенные разными компаниями, отличаются по материалу, цвету, размеру. Так вот: тем, у кого транспортир оказался больше длины угла, и не представляется возможным определить его величину, сторону угла необходимо продлить, используя прямую линейку.
Набор школьника
Неспроста учащиеся младшего звена не знакомы с транспортиром. При его применении должна быть заложена некая база знаний. Для полноценной работы с ним на уроке ребята изучают ряд сопутствующих предметов. Прежде чем узнать, что такое транспортир, школьники должны в совершенстве овладеть прямой линейкой, чертить ровные линии, изучить сложение и вычитание, освоить циркуль, знать геометрические фигуры и так далее. Весь этот процесс занимает время, и только окончив начальную школу, ученик может добавить транспортир в свой
Ученикам сейчас предлагаются школьные канцтовары в огромном выборе. Транспортир не исключение. Производители стараются угодить самым требовательным запросам покупателей. Инструменты изготавливают в различной цветовой гамме. Яркие цвета всегда нравятся детям. Порой даже в одном классе не сыскать одинаковых транспортиров, что облегчает при утрате их поиск. Формы и размеры каждый выбирает на свой вкус.
Большинство таких товаров выпускают из пластмассы, и это значительно уменьшает его стоимость. Но есть деревянные и даже железные транспортиры. Как показывает практика, металлические хоть и непрозрачны, но практичнее в том плане, что шкала не стирается, а это позволяет гораздо дольше применять его в действии, с точностью определяя углы.
Транспортир не так востребован школьниками, как линейка, но он сопровождает учеников вплоть до выпускного экзамена. Некоторые из выпускников школы выбирают специальности, которые связаны с измерением и построением углов, проектированием зданий и сооружений, работой с чертежами. В силу своих профессий им постоянно приходится сталкиваться с транспортирами и его производными. Но и бывшие одноклассники нынешних инженеров, порой даже с глубочайшим гуманитарным уклоном, без труда вспомнят навыки обращения с этим предметом и определят количество градусов у любого угла.
Итог
Сегодня современные дети привыкли добывать любую информацию из интернета. Однако он никак не поможет в измерении углов. Лишь только умение пользоваться транспортиром даст возможность правильно их определять. Будущим инженерам и проектировщикам это бесспорно пригодится в работе, да и каждый образованный человек должен обладать навыками работы с транспортирами, поэтому уметь пользоваться таким инструментом должен каждый!
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
«Специальная школа № 53»
Урок: «Градус. Транспортир. Построение и измерение углов с помощью транспортира. Смежные углы»
Выполнил:
учитель математики
Старикова Ю.С.
Новокузнецк, 2018 г.
Цель урока:
познакомить с новой единицей измерения (градус) и прибором для измерения углов - транспортиром;
составить алгоритм измерения угла;
используя алгоритм измерения угла, научиться измерять разные виды углов;
составить алгоритм для построения угла;
используя алгоритм построения угла, научиться строить разные виды углов;
Задачи:
Обучающая: ввести понятие величины угла. Познакомить с инструментами измерения углов.
Развивающая: формирование навыков и умений выполнять измерение углов, работать с чертежными инструментами, умений обобщать; развитие качеств мышления: гибкость, целенаправленность, критичность.
Воспитывающая: развитие познавательного интереса, воображения, геометрической зоркости в творческой деятельности; Воспитание аккуратности, товарищеской поддержки, интереса к оперированию геометрическими понятиями и образами, привитие интереса к геометрии.
Организационный момент.
Позади уж давно перемена, Пора всем нам дружно Приняться за дело.
Давайте улыбнемся друг другу. Пусть сегодняшний урок принесет нам всем радость общения. Сегодня на уроке, ребята, вас ожидает много интересных заданий, новых открытий, а помощниками вам будут: внимание, находчивость, смекалка.
Устный счет.
«Математические бусы»
Заполни «бусы» правильными дробями с числителем 11.
(правильная дробь – это та дробь, у которой числитель меньше знаменателя)
Основная часть урока.
Ребята, скажите, как можно сравнить отрезки? (Наложением, измерить при помощи линейки).
А углы? Углы, так же как и отрезки можно сравнивать не только наложением, но и с помощью измерения.
Для построения и измерения углов используют специальный прибор – транспортир. Измеряют углы в градусах.
Когда же появился транспортир? Оказывается, это угловая мера угла возникла много тысяч лет тому назад. Предполагают, что это было связано с созданием первого календаря. Древние математики нарисовали круг и разделили его на столько частей, сколько дней в году. Но они думали, что в году не 365 или 366 дней, а 360. Поэтому круг, обозначающий год, они разделили на 360 равных частей. Такое изображение было очень полезным, на нём можно было отмечать каждый прошедший день, и видеть, сколько дней осталось до конца года. Каждой части дали название – градус. Градусная мера сохранилась и до наших дней. Картинку с древним календарём легко сделать, имея транспортир.
Слайд. Итак, шкала транспортира. Она расположена на полуокружности и пронумерована от 0 до 180.
Бывают шкалы двойные: нумерация идет слева направо и справа налево.
Слайд. Также есть круглые транспортиры, шкала идет по кругу от 0 до 360, но она также разделена на две полуокружности.
Центр этой полуокружности отмечен на транспортире точкой или черточкой (центр транспортира). Найдите на своем транспортире центр и покажите его.
Штрихи шкалы транспортира делят полуокружность на 180 равных частей. Лучи, проведенные из центра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен доле развернутого угла. Такие углы называют градусами.
Итак, градусом называют долю развернутого угла. Градусы обозначают знаком °. Каждое деление шкалы транспортира равно 1°.
Слово «градус» – латинское, означает «шаг», «ступень».
Объяснение учителя (с демонстрацией на доске), как с помощью транспортира можно измерить угол.
– Как измеряют углы с помощью транспортира ?
1) Нужно вершину угла совместить с центром транспортира.
2) Одна сторона угла должна проходить через нулевую отметку (0° по шкале).
3) Вторая сторона угла должна пересекать шкалу. Нужно посмотреть, через какую отметку проходит вторая сторона угла. Это и есть величина этого угла.
Если у транспортира есть две шкалы, то надо смотреть на отметку той шкалы, через ноль которой проходит одна из сторон угла.
- Как построить угол с помощью транспортира?
1) Провести прямую линию (длина линии не важна)
2) Расположить центр транспортира на одном из концов проведенной линии. ( Вершина угла, может размещаться в любой точке на линии, просто удобнее использовать крайнюю точку)
3) Отыщите на соответствующей шкале необходимый вам угол – поставить метку. ( Приложите к прямой линии основание транспортира и отметьте на бумаге соответствующее число градусов).
4) Провести вторую сторону угла. (С оединить вершину, со сделанной ранее меткой. В результате у вас получится заданный угол. С помощью транспортира можно измерить угол и убедиться, что все правильно)
Практическая часть урока .
1. Измерить тупой угол с помощью транспортира.
Учащиеся работают с раздаточным материалом. Результат измерения проверяется на слайде.
2. Построить острый, вершиной вверх, угол и измерить его. Вызывается по желанию учащийся, остальные работают в тетрадях.
Что такое смежный угол?
Смежные углы – это углы, у которых одна сторона общая, а две других образуют одну прямую.
Построить смежные углы, измерить их и записать, чему равна сумма углов. Вызывается к доске учащийся, остальные работают в тетрадях.
Итак, СУММА СМЕЖНЫХ УГЛОВ РАВНА 180º.
5. Физкультминутка.
Точка - наклоны головы в стороны.
Показать руками:
Прямой угол;
Острый угол;
Тупой угол;
Развёрнутый угол.
Упражнение для сохранения зрения
Крепко зажмурить глаза на 3-5 секунд, а затем открыть их на такое же время. Повторять 4-5 раз. Быстро моргать в течение 10-12 секунд. Открыть глаза, отдыхать 10-12 секунд. Повторять несколько раз.
6. Подведение итогов. Рефлексия. Выставление оценок.
Транспортир
Транспортир является самым распространенным инструментом, для того чтобы измерить величину углов. Термин «транспортир», что в переводе с французского обозначает «переносить».
Этот инструмент может иметь разный внешний вид, но у любого транспортира есть шкала, которая расположена на полуокружности. Центр этой шкалы отмечен штрихом или отверстием.
А теперь давайте рассмотрим этот полукруглый предмет и найдем отверстие в центре его плоского угла. Отверстие в транспортире является точкой отсчета и с этой точки начинается линия начала отсчета, которая проходит вдоль всей плоской части транспортира.
Транспортир относится к довольно простому ручному инструменту, с помощью которого можно рисовать и измерять любые углы. Научившись им пользоваться, у вас не будет проблем в решении задач, связанных с измерением углов.
Измерение углов
Измерение углов происходит путем сравнения угла измеряемого с углом, который служит единицей измерения. Для этого нужно внутреннюю часть измеряемого угла постепенно заполнить единичными углами, плотно укладывая один к другому. Количество уложенных углов дает меру угла измеряемого. Самым удобным и распространённым инструментом для измерения углов является транспортир.
В качестве единицы измерения угла может выступать любой угол или другая общепринятая единица измерения.
Такой единицей может быть один градус, который составляет 1/180 часть развернутого угла. Поэтому в развернутый угол можно уложить сто восемьдесят углов, равных одному градусу.
Для более наглядного примера берем модель половинки пирога или пиццы, которые разрезаны на сто восемьдесят равных кусочков и плотно уложены один к другому. При этом мы видим, что стороны углов совмещаются со стороной развернутого угла, а дойдя до последней, мы увидим, что она совпадет с другой стороной развернутого угла.
Так на примере картинки в низу, мы видим, что в одну шестую развернутого угла, угол в один градус можно уложить тридцать раз, а в половину развернутого угла – 90 раз.
Если же необходимо измерить угол, который менее одного градуса, то в таких случаях используют другие единицы измерения, например минуты или секунды.
Градусной мерой угла называют положительное число, которое нам показывает то количество раз, которое градус или его части уложились в данном угле.
Но теперь вы уже узнали, что для измерения углов, чаще всего используют такую распространенную единицу измерения, как градус. Его угол равен одной сто восьмидесятой части развернутого угла.
Для удобства измерения углов используют такой чертежный инструмент, как транспортир.
Как измерить угол с помощью транспортира
А сейчас приступим к измерению угла при помощи такого инструмента, как транспортир. Чтобы измерить угол с помощью транспортира, необходимо выполнить несложные действия. Для этого нужно:
Во-первых, отметить на вершине угла, который вы будете измерять, начальную точку отсчета.
Во-вторых, нужно совместить нижнюю линию угла с линией, с которой будет осуществляться начало отсчета.
Далее необходимо отметить на бумаге расположенные цифры, которые бы соответствовали измеряемому углу.
Следующим вашим шагом будет проведение линии, которая пересекает разметку транспортира. Цифра же, расположенная на месте этого пересечения, указывает на угол в градусах.
Так как на некоторых транспортирах имеются две противоположно направленные шкалы, то это позволяет измерять углы, которые направлены в разные стороны.